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向量求二面角：保留指定半平面

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先辨较小面角还是指定二面角，再决定是否取绝对值。

一、知识点 理解概念

1. 指定半平面的角，不一定是两平面的较小角

二面角由公共棱和两个指定半平面组成。P−l−QP-l-Q 表示两面中分别朝 P,QP,Q 的一侧；在垂直棱的截面内，从棱上点朝两侧的射线夹角就是平面角 θ\theta。两个不同相交平面通常给 0<θ<π0<\theta<\pi；若讨论共面退化边界，同向或反向半平面可给 0,π0,\pi。

同两个相交平面组成四个二面角，相邻者互补。“两平面的较小夹角” φ∈[0,π/2]\varphi\in[0,\pi/2]，真实相交时大于零。它可能等于指定角 θ\theta，也可能等于 π−θ\pi-\theta，不能把所有指定二面角都当锐角。

2. 减去沿棱分量，得到保留半平面朝向的射线

取棱上点 OO、非零棱方向 k⃗\vec k，并取各指定半平面内不在棱上的 P,QP,Q。令

r⃗P=OP⃗−OP⃗⋅k⃗k⃗⋅k⃗k⃗,r⃗Q=OQ⃗−OQ⃗⋅k⃗k⃗⋅k⃗k⃗.\vec r_P=\vec{OP}-\frac{\vec{OP}\cdot\vec k}{\vec k\cdot\vec k}\vec k,\qquad \vec r_Q=\vec{OQ}-\frac{\vec{OQ}\cdot\vec k}{\vec k\cdot\vec k}\vec k.

两向量点积 k⃗\vec k 均为零，故垂棱；只减去沿棱分量，仍在对应平面方向内，且不会跨到另一半平面。点不在棱上保证它们非零，正好是指定平面角的两条射线方向，所以

cos⁡θ=r⃗P⋅r⃗Q∣r⃗P∣∣r⃗Q∣.\cos\theta=\frac{\vec r_P\cdot\vec r_Q}{|\vec r_P||\vec r_Q|}.

保留符号：正、零、负分别表示锐角、直角、钝角。换棱上基点或把 k⃗\vec k 反向不会改变这两个射线方向；把 r⃗P\vec r_P 反向却会换半平面，不是同一个操作。

3. 法向量绝对值只保留较小夹角

若只求较小面角，可用有效非零法向量：

cos⁡φ=∣n⃗1⋅n⃗2∣∣n⃗1∣∣n⃗2∣.\cos\varphi=\frac{|\vec n_1\cdot\vec n_2|}{|\vec n_1||\vec n_2|}.

两法向量都垂直公共棱，在垂棱截面内又分别垂直各自平面角射线。任取法向量方向，它们的夹角可能为 θ\theta 或 π−θ\pi-\theta，绝对值只留下较小者。求指定角时必须另按半平面判断原角还是补角，不能只看图形像锐角。

二、考点 方法与例题

1. 题已限定锐二面角时，用法向量求较小角

先确认题问锐二面角而非指定两侧；分别求两个真实非零法向量，取余弦绝对值。任意反向法向量不能改变所求锐角。

例题 01 长方体中的斜截面与底面

在长方体ABCD−A1B1C1D1ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}中，AB=2AB=2，BC=6BC=6，AA1=4A{A}_{1}=4，点EE为BB1B{B}_{1}的中点，则平面A1ED{A}_{1}ED与平面ABCDABCD所成的锐二面角的余弦值为（   ）

A．2222\frac{\sqrt{22}}{22} B．23\frac{2}{3} C．33\frac{\sqrt{3}}{3} D．32222\frac{3\sqrt{22}}{22}

答案与解析

沿长方体三条互垂棱建立以 AA 为原点的直角坐标系。

长方体原解析建系图
长方体原解析建系图

A1=(0,0,4),E=(2,0,2),D=(0,6,0)A_1=(0,0,4),E=(2,0,2),D=(0,6,0)，故面内两不共线方向为 A1D⃗=(0,6,−4),A1E⃗=(2,0,−2)\vec{A_1D}=(0,6,-4),\vec{A_1E}=(2,0,-2)。

设法向量 (x,y,z)(x,y,z)，得 6y−4z=0,2x−2z=06y-4z=0,2x-2z=0。取 z=1z=1 得 n⃗1=(1,2/3,1)\vec n_1=(1,2/3,1)，代回两点积都是零。底面法向量 n⃗2=(0,0,1)\vec n_2=(0,0,1)。

∣n⃗1∣2=22/9,∣n⃗2∣2=1,n⃗1⋅n⃗2=1,|\vec n_1|^2=22/9,\quad |\vec n_2|^2=1,\quad \vec n_1\cdot\vec n_2=1,

cos⁡φ=∣1∣22/9=32222.\cos\varphi=\frac{|1|}{\sqrt{22/9}}=\frac{3\sqrt{22}}{22}.

选 D，其他三项均不同。题干明确“锐二面角”，取绝对值有依据；若把 n⃗1\vec n_1 取反，点积为负而锐角不变。这不能不加区分推广到所有指定二面角。

2. 完整综合题：平行、指定二面角与距离存在性

先按原条件完成平行证明；附加长度条件出现后再建系。二面角去掉棱分量并保留半平面方向；线段上存在性用闭参数区间，距离取绝对值，最后回代并筛去越界解。

例题 02 四棱锥中的中点与动点

如图，在四棱锥P−ABCDP-ABCD中，平面PDC⊥PDC\perp平面ABCD,AD⊥DC,ABABCD,AD\perp DC,AB ∥\parallel DC,AB=12CD=AD=1,MDC,AB=\frac{1}{2}CD=AD=1,M为棱PCPC的中点.

原资料配图
原资料配图

(1)证明：BMBM ////平面PADPAD；

(2)若PC=5,PD=1PC=\sqrt{5},PD=1，

（i）求二面角P−BM−DP-BM-D的余弦值；

（ii）在棱PAPA上是否存在点QQ，使得点QQ到平面BDMBDM的距离是5618\frac{5\sqrt{6}}{18}？若存在，求出PQPQ的长；若不存在，说明理由.

答案与解析

(1) 证明线面平行。 取 PDPD 中点 NN，连接 AN,MNAN,MN。

原中点辅助线图
原中点辅助线图

三角形 PCDPCD 中，MN∥CD,MN=CD/2MN\parallel CD,MN=CD/2；又 AB∥CD,AB=CD/2AB\parallel CD,AB=CD/2，所以四边形 ABMNABMN 为平行四边形，BM∥ANBM\parallel AN。

ANAN 在平面 PADPAD 内。由于四棱锥顶点 PP 不在底面，平面 PADPAD 与底面相交于 ADAD，而非退化底面中的 B∉ADB\notin AD，故 B∉B\notin 平面 PADPAD，从而 BMBM 不包含于该面。由线面平行判定，BM∥BM\parallel 平面 PADPAD。

原解析把“BM⊂BM\subset 平面 PADPAD、MN⊂MN\subset 平面 PADPAD”写作依据，这是错误的；应使用 BMBM 不包含于该面、ANAN 包含于该面、BM∥ANBM\parallel AN，不能一边把线放在面内，一边宣布严格平行。

(2) 建立合法坐标系。 附加条件给 PC2=5=PD2+DC2PC^2=5=PD^2+DC^2，故 PD⊥DCPD\perp DC。平面 PDCPDC 与底面垂直、交线为 DCDC，且 PDPD 在 PDCPDC 内垂直交线，所以 PD⊥PD\perp 底面。结合 AD⊥DCAD\perp DC，沿 DA,DC,DPDA,DC,DP 建三轴确实互垂。

原解析空间坐标图
原解析空间坐标图

D=(0,0,0),P=(0,0,1),A=(1,0,0),C=(0,2,0),D=(0,0,0),P=(0,0,1),A=(1,0,0),C=(0,2,0),

B=(1,1,0),M=(0,1,1/2).B=(1,1,0),\qquad M=(0,1,1/2).

(i) 直接保留 P,DP,D 两侧的平面角。 取棱点 MM，棱方向 k⃗=MB⃗=(1,0,−1/2)\vec k=\vec{MB}=(1,0,-1/2)，∣k⃗∣2=5/4|\vec k|^2=5/4；MP⃗=(0,−1,1/2),MD⃗=(0,−1,−1/2)\vec{MP}=(0,-1,1/2),\vec{MD}=(0,-1,-1/2)，与 k⃗\vec k 的点积依次为 −1/4,1/4-1/4,1/4。去掉沿棱分量得到

r⃗P=(1/5,−1,2/5),r⃗D=(−1/5,−1,−2/5).\vec r_P=(1/5,-1,2/5),\qquad \vec r_D=(-1/5,-1,-2/5).

它们分别朝题给两个半平面，均非零且垂直棱。点积为 4/54/5，各自模平方为 6/56/5，所以

cos⁡∠(P−BM−D)=4/56/5=23.\cos\angle(P-BM-D)=\frac{4/5}{6/5}=\frac23.

正号独立证明指定角是锐角，不凭图猜。

法向量交叉核对： 平面 BDMBDM 内 DM⃗=(0,1,1/2),DB⃗=(1,1,0)\vec{DM}=(0,1,1/2),\vec{DB}=(1,1,0) 不共线；方程 y+z/2=0,x+y=0y+z/2=0,x+y=0 给非零法向量 n⃗=(1,−1,2)\vec n=(1,-1,2)。平面 PBMPBM 内 PM⃗=(0,1,−1/2),PB⃗=(1,1,−1)\vec{PM}=(0,1,-1/2),\vec{PB}=(1,1,-1) 不共线；方程 b−c/2=0,a+b−c=0b-c/2=0,a+b-c=0 给 m⃗=(1,1,2)\vec m=(1,1,2)。两个模平方都是 66，点积为 44，得到法向量夹角余弦 2/32/3，与已确认的指定锐角一致。若将 m⃗\vec m 取反，法向量余弦变 −2/3-2/3，但指定几何角不变，因此不能直接把任意法向量夹角当题给二面角。

(ii) 线段上的点与距离。 设 PQ⃗=λPA⃗\vec{PQ}=\lambda\vec{PA}，取棱所对应闭线段 0≤λ≤10\le\lambda\le1，则 Q=(λ,0,1−λ)Q=(\lambda,0,1-\lambda)。DD 在真实非退化平面 BDMBDM 上，因此点面距离是法向分量长：

d(Q,BDM)=∣DQ⃗⋅n⃗∣∣n⃗∣=∣2−λ∣6.d(Q,BDM)=\frac{|\vec{DQ}\cdot\vec n|}{|\vec n|}=\frac{|2-\lambda|}{\sqrt6}.

等于给定值时 ∣2−λ∣=5/3|2-\lambda|=5/3。若暂不限制范围，有 λ=1/3,11/3\lambda=1/3,11/3；后者超出线段，必须舍去。区间内 2−λ≥12-\lambda\ge1，可直接去绝对值得唯一合法值 λ=1/3\lambda=1/3。

回代距离为 (5/3)/6=56/18(5/3)/\sqrt6=5\sqrt6/18，且 PA=2PA=\sqrt2，故存在这样的 QQ，PQ=2/3PQ=\sqrt2/3。端点 λ=0,1\lambda=0,1 也已纳入检查，都不满足。原解思路写开区间、后文用闭区间；这里按棱的完整线段核查，所得内点对两种口径均合格。

三、坑点 辨析与纠错

1. 三种方向信息不要混在一起

平面本身无定向，法向量可任意反向；指定半平面则携带题意，垂棱射线不能随便反向。一律给法向量点积取绝对值，只会得到较小面角，可能把指定钝角改成补锐角。上传知识资料明确记载，原相关范围说明针对两平面的较小夹角，并非给指定二面角一律取绝对值的规则；这里只据这项文字记录辨明对象，不把两种角混称。

2. 正弦相等不代表选中了同一个二面角

互补的指定角正弦相同、余弦相反。只算正弦或含糊说“面面角”，不能判定哪一侧。用有向垂棱射线的点积符号可以区分；所取点若在棱上，投影为零，不能求夹角。随便取两条面内方向也不够，平面角的两射线必须垂棱。