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外观

两面垂直的判定与性质

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判两面垂直时找一条面垂线；用两面垂直时，先找交线，再找面内垂交线的方向。

一、知识点 理解概念

1. 面内含一条垂线，就能判两面垂直

两个相交平面所成二面角为 90∘90^\circ，称两面垂直。判定为：若 b⊂βb\subset\beta 且 b⊥αb\perp\alpha，则 β⊥α\beta\perp\alpha。

理由： 设 bb 与 α\alpha 的交点为 OO，它也在 β\beta 内，所以在两面的交线 ll 上。在 α\alpha 内过 OO 作 a⊥la\perp l。bb 垂直 α\alpha，故既垂直 ll 又垂直 aa；a,ba,b 形成二面角的平面角，且为 90∘90^\circ。因此两面垂直。

2. 面面垂直怎样推出具体面垂线

α⊥β,α∩β=l,a⊂α,a⊥l⟹a⊥β.\alpha\perp\beta,\quad\alpha\cap\beta=l,\quad a\subset\alpha,\quad a\perp l\quad\Longrightarrow\quad a\perp\beta.

四项条件必须齐全。因为 a,la,l 同面且垂直，交于某点 OO；在 β\beta 内过 OO 作 b⊥lb\perp l。二面角为直角，故 a⊥ba\perp b；又已知 a⊥la\perp l，b,lb,l 在 β\beta 内相交，双线判定得 a⊥βa\perp\beta。

3. 判定与性质的任务不同

判定是“一个面包含另一个面的垂线”；性质是“两面已垂直，一面内垂直交线的线才垂另一个面”。从性质得到具体面垂线后，才能进一步得到线线垂直，或构造射影、距离垂足。两面垂直不是说一面内每个方向都垂另一面。

二、考点 方法与例题

1. 将面面目标化成一条面垂线

在其中一面找出一条可能的垂线，再用另一面内相交双线证明它确实垂面。题给线线垂直与已有面垂线各提供一个方向，不用证明面内所有线都垂另一面。

例题 01 矩形底四棱锥的两个侧截面

如图，四棱锥P−ABCDP-ABCD的底面是矩形，PD⊥PD\perp底面ABCDABCD，MM为BCBC的中点，且PB⊥AMPB\perp AM．证明：平面PAM⊥PAM\perp平面PBDPBD.

原资料配图
原资料配图
答案与解析

PD⊥PD\perp 底面 ABCDABCD，而 AMAM 在底面内，所以 PD⊥AMPD\perp AM。题设另给 PB⊥AMPB\perp AM。

PD,PBPD,PB 在面 PBDPBD 内相交于 PP，由相交双线判定得 AM⊥AM\perp 面 PBDPBD。又 AM⊂AM\subset 面 PAMPAM，故面 PAM⊥PAM\perp 面 PBDPBD。

PB⊥AMPB\perp AM 是独立题设，不能从“底面矩形、MM 是中点”直接猜得。判定只需面 PAMPAM 包含这一条面垂线，不需声称它的每条线都垂直面 PBDPBD。

例题 02 正方形侧边与侧面内中线

如图，在四棱锥P−ABCDP-ABCD中，底面ABCD为正方形，侧面ADP是正三角形，侧面ADP⊥底面ABCD，M是DP的中点．证明：AM⊥AM\perp平面CDP．

原资料配图
原资料配图
答案与解析

面 PADPAD 与底面垂直，交线为 ADAD。CDCD 在底面内，又由正方形得 CD⊥ADCD\perp AD，故面面垂直性质给 CD⊥CD\perp 面 PADPAD，从而 CD⊥AMCD\perp AM。

等边三角形 PADPAD 中，MM 是 PDPD 中点，中线 AMAM 同时为高，故 AM⊥PDAM\perp PD。CD,PDCD,PD 同在面 PCDPCD 内并交于 DD，双线判定得 AM⊥AM\perp 面 PCDPCD。

两组垂直来自不同理由：AM⊥CDAM\perp CD 用完整面面性质；AM⊥PDAM\perp PD 用等边三角形中线。不能把前一个理由泛化成面 PADPAD 内任意线都垂直底面。

2. 充分性与必要性分开验证

正向使用定理时把附加条件全部带入；反向不成立则给满足全部已知的反例。不要把“本例不必要”误解成原定理条件可以删去。

例题 03 两面垂直与两线垂直的条件关系

已知mm，nn，ll是三条不同的直线，α\alpha，β\beta是两个不同的平面，m⊂αm\subset \alpha，n⊂βn\subset \beta，α∩β=l\alpha \cap \beta =l，m⊥lm\perp l，则“α⊥β\alpha \perp \beta”是“m⊥nm\perp n”的（   ）

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

答案与解析

充分性： 若 α⊥β\alpha\perp\beta，结合交线 ll、m⊂αm\subset\alpha、m⊥lm\perp l，性质给 m⊥βm\perp\beta。n⊂βn\subset\beta，故 m⊥nm\perp n。

非必要性： 可令 n∥ln\parallel l 且不与 ll 重合。由 m⊥lm\perp l 就有 m⊥nm\perp n，并不要求两面垂直。具体取 α:z=0\alpha:z=0，β:z=y\beta:z=y，交线 ll 为 xx 轴；令 mm 为 yy 轴，nn 为直线 y=z=1y=z=1。三线不同，m⊂α,n⊂β,m⊥l,m⊥nm\subset\alpha,n\subset\beta,m\perp l,m\perp n 全部满足，但两面并不垂直。

所以是充分不必要条件，选 A。B 错在否定充分性，C 错在声称必要，D 同样错在否定充分性。若删去原题的 m⊥lm\perp l，正向充分性也不再保证成立，不能混为一谈。

三、坑点 辨析与纠错

1. 面内任意线不都垂另一面

交线本身同时在两个面内，已是最直接的反例。面内沿交线方向的线或斜交于交线的线，都不能用面面垂直性质判作面垂线。若待证线甚至不在所用平面内，也没有应用这条性质的资格。

2. 每次写全交线与线的归属

依次检查“两面垂直→交线是哪条→原线在哪个面→原线是否垂交线”。图上边画成直角只是示意，不能替代条件与证明。面面判定只需含一条合法垂线，面面性质却有面内和垂交线两项限制，不能交换使用方式。