圆的定点与动点轨迹

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先消元得到候选，再逆向还原原条件。轨迹不等于一条未检查范围的方程。

一、知识点理解概念

1. 轨迹要求两边的点集恰好相等

轨迹是满足原几何条件的全部动点集合。推得圆方程，先只说明原动点落在该圆上；还要从任意方程点恢复原变量，核实原条件，才可说整个圆都是轨迹。原条件若有区间、侧向、分母非零或非退化要求，最终方程还应带上相应限制。

直接法把距离、垂直等几何条件写成关系式；定义法在原条件就是到定点等距时识别圆；相关点法则从已知轨迹点与目标点的对应关系入手。这三种方法都需要必要性与充分性。

2. 中点变换：反求原点坐标

固定点为 $N$ ，原动点为 $Q$ ，中点为 $P$ ，则

P=\frac{Q+N}{2}\iff Q=2P-N.

把右边代入原圆，再逆向构造 $Q$ ，可证明没有漏点或多点。若原圆心为 $C$ 、半径为 $r$ ，中点轨迹圆心为 $(C+N)/2$ ，半径为 $r/2$ ；这是一种缩放，不是保半径的反射。其他比例关系若含分母，须一路保留分母非零及原点的范围。

3. 非负距离等式可以等价平方

距离等式两边非负时，平方后可由非负平方根恢复，因而不必凭空删掉距离为零的点。只有实际除过某个距离，或原条件确有两条非零方向等要求，才需要核查相应例外。配方后还要判断半径平方：大于零才是真圆，等于零是单点，小于零无实点。

4. 过定点要求对所有合法参数成立

将方程写成 $tG(x,y)+H(x,y)=0$ 。若合法参数至少有两个不同值，同一点对所有参数成立就必须有 $G=H=0$ ：用两个参数的等式相减即可证明。反之， $G=H=0$ 的点必满足每个参数方程。先核合法参数及真圆条件；若合法参数只剩一个值，就不能强拆系数，而应研究那一个圆的点集。

二、考点方法与例题

1. 定点、相关点与距离条件的解题顺序

定点问题先配方检验参数范围，再拆参数系数，解出候选点后回代全部参数。轨迹问题先设所求点坐标，保留原范围；再用可逆映射或非负距离等式消元。最后配方判真圆，并从任意候选点逆构原对象。每个被删点都要说明违反哪条原条件，每个保留点都要有恢复理由。

写出中点坐标关系后，别忘了用反求关系检查圆上的任意点。

例题 01 固定点与圆上动点的中点

已知点 $M$ 是圆 $C:{x}^{2}+{y}^{2}=1$ 上的动点，点 $N\left( 2,0\right)$ ，则 $MN$ 的中点 $P$ 的轨迹方程是（）

A． ${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{4}$ B． ${(x-1)}^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{2}$

C． ${(x+1)}^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{2}$ D． ${(x+1)}^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{4}$

答案与解析

设 $M(u,v)$ ，则 $x=(u+2)/2,y=v/2$ ，即 $u=2x-2,v=2y$ 。代入 $u^2+v^2=1$ 得

4(x-1)^2+4y^2=1\iff(x-1)^2+y^2=\frac14.

反过来，对此圆上任意 $P(x,y)$ ，取 $M(2x-2,2y)$ ，就有 $M$ 在单位圆上且 $P$ 恰为 $MN$ 中点。因此轨迹是整个圆，选 A。其半径为 $1/2$ ，半径平方才是 $1/4$ ；B 把半径平方写错，C、D 还把圆心横坐标写成了负数。固定点 $N(2,0)$ 不在单位圆上，故这里也不存在 $M=N$ 的重合情形。

3. 含参数的圆如何寻找共同点

“恒过”不是挑一个参数求交点，而是用同一点满足所有合法参数方程。

例题 02 含参数的圆方程

圆 $C:x^{2}+y^{2}+ax-2ay-5=0$ 恒过的定点为（）

A． $\left( -2,1\right),(2,-1)$ B． $\left( -1,-2\right),(2,1)$

C． $\left( -1,-2\right),(1,2)$ D． $\left( -2,-1\right),(2,1)$

答案与解析

配方得

\left(x+\frac a2\right)^2+(y-a)^2=5+\frac54a^2>0,

故每个实数 $a$ 都给出真圆。原式写成

a(x-2y)+(x^2+y^2-5)=0.

对所有 $a$ 恒成立，等价于 $x-2y=0$ 且 $x^2+y^2-5=0$ 。于是 $x=2y$ ， $5y^2=5$ ，得 $(-2,-1),(2,1)$ 。两点都使两个系数同时为零，回代任何 $a$ 都成立，选 D。A、B、C 各自至少有一点不满足 $x-2y=0$ ，不能成为这组恒过点。

4. 比例距离从必要走到充分

先说明平方合法，再检查是否真正发生过除以距离的步骤。

例题 03 两定点的距离关系

已知 $A\left( 2,0\right)$ ， $B\left( -1,1\right)$ ，动点 $H\left( x,y\right)$ 满足 $\sqrt{3}\left| HA\right|=\sqrt{2}\left| HB\right|$ ，记动点 $H$ 的轨迹为曲线 $C$ ，则曲线 $C$ 的方程为（）

A． ${x}^{2}+{y}^{2}+16x-4y+8=0$ B． ${x}^{2}+{y}^{2}-8x+4y+8=0$

C． ${x}^{2}+{y}^{2}-16x+4y+8=0$ D． ${x}^{2}+{y}^{2}+16x-4y-8=0$

答案与解析

两边均非负，因此原式等价于

3[(x-2)^2+y^2]=2[(x+1)^2+(y-1)^2].

展开移项得 $x^2+y^2-16x+4y+8=0$ ，选 C，配方为

(x-8)^2+(y+2)^2=60.

反过来，此圆上每一点都满足平方后的距离等式，取非负平方根就恢复 $\sqrt3\,HA=\sqrt2\,HB$ ，所以整个圆都是轨迹。计算中没有除以 $HA$ 或 $HB$ ，不能额外加上题目未给的距离非零条件。给定点 $A,B$ 代入候选圆式分别得 $-20,30$ ，本来也不在该圆上，无须再人为删除。其他选项的一次项或常数项与正确展开式不符。