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先把收入和成本统一到整批口径，再找合法最优方案。分段函数要逐段比较，整数产量要核实际可达性，不能让代数式取代题设的经营条件。
单价 p、单位成本 c、数量 Q、固定总成本 B 给
L=pQ−(cQ+B)=(p−c)Q−B.
若题目给 G(Q) 已是变动总成本，就用 pQ−G(Q)−B，不再把 G 乘数量。每万部收入为 R(x) 万元、年产 x 万部时，总收入是 xR(x) 万元，不是 R(x)，也不再额外乘10000。
比例变化分别从各自基数计算：新成本是原成本乘 1+成本增幅，售价和销量也各自更新。单件利润乘新销量才是总利润。模型的输入域还须包含分段范围、分母条件、容量和整数要求。
二次式配方后先查顶点是否在该段；若不在，用该段单调方向选边界。正数型 Ax+B/x 用基本不等式取等，也必须检查取等点范围。变换 t=x+c 时，区间一起平移，最后换回原输入。
全部分支的候选都需比较，局部最大可能输给别段。公共端点只按实际归属式计算，题目没有说连续，不能强行拼接。开端点的逼近值不一定可取。
连续顶点不一定是合法产量。对开口向下二次式，离顶点越近输出越大，可比较相邻合法整数；恰落在两整数中间时可能并列，不应只四舍五入取一个。
整数输入只能给离散输出。即使最大、最小值恰与连续模型相同，中间所有实数也不一定可取；连续近似的区间值域与精确整数的输出集合要分开写。题目没有要求不亏本，亏损输入仍可属于模型。
逐项写出新单位成本、新单价、新销量，先算单件利润，再乘数量。展开时保留两个交叉项，配方后回代方案和整数性。
题目
某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为10000辆，本年度为适应市场需求，计划适度增加投入成本，提高产品的档次.若每辆车投入成本增加的比例为x(0<x<1)，则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.
(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；
(2)投入成本增加的比例多大时，本年度预计的年利润最大？最大值是多少？
解析
（1）每辆成本 1+x 万元，售价 1.2(1+0.75x)=1.2+0.9x 万元，单辆利润 0.2−0.1x 万元；年销量为 10000(1+0.6x) 辆。因此
y=(0.2−0.1x)10000(1+0.6x)=2000+200x−600x2,0<x<1.
其中一次项是 1200x−1000x，不能漏其中一个。
（2）配方 y=−600(x−1/6)2+6050/3，顶点 1/6 合法，最大为 6050/3 万元。此时销量11000辆，单辆利润 11/60 万元，乘积也为 6050/3。
若精确销量要求整数，须 6000x 为整数；最优 1/6 仍满足。预计销量按连续模型分析与实施方案检验不是同一个步骤。
本题结论
y=200(−3x2+x+10)，0<x<1；增成本比例 1/6 时最大 6050/3 万元。
实际数据先判断在哪个输入段，再代收入减成本的完整关系。解出参数后，写完整分段目标；各段的顶点或取等点逐个验证，比较目标值而非输入大小。
题目
某学习机公司生产学习机的年固定成本为20万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款学习机x万部并全部销售完，每万部的销售收入为R(x)万元，且
R(x)=⎩⎨⎧a−4x,0<x≤15x5300−x2b,x>15
.当该公司一年内共生产该款学习机8万部并全部销售完时，年利润为1196万元；当该公司一年内共生产该款学习机20万部并全部销售完时，年利润为2960万元.
(1)求a，b；
(2)写出年利润W（万元）关于年产量x（万部）的函数解析式；
(3)当年产量为多少万部时，公司在该款学习机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.
解析
（1）总收入是 xR(x)，成本为 20+16x。8在第一段：8(a−32)−20−128=1196，得 8a=1600，a=200。20在第二段：20(265−b/400)−20−320=2960，得 4960−b/20=2960，b=40000。
（2）因此
W(x)={−4x2+184x−20,5280−16x−40000/x,0<x≤15,x>15.
15只归第一段，题设不要求两式连接连续，不能另加条件。
（3）第一段配方为 −4(x−23)2+2096，顶点23不在本段，因此本段递增，最大在15为1840万元。
第二段 16x,40000/x 均正，积640000，故 W≤5280−1600=3680；取等 16x=40000/x 的正解为50，确在第二段。比较 3680>1840，全局最优为50万部。它对应500000部，整数也能实施。
本题结论
a=200,b=40000；分段利润如上，年产50万部最大利润3680万元。
题目
在辽阔的中华大地上，农村的医疗服务一直是国家关注的焦点.随着时代的进步和社会的发展，国家正致力于提高农村医疗服务水平，以保障广大农民的健康权益.某公司为了满足市场需求，进一步增加市场竞争力，计划自主研发新型基础型CT机.已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为200台.每生产x台，需另投入成本G(x)万元，且
G(x)=⎩⎨⎧x2−2x,0<x≤80151x+x+8052900−6200,80<x≤200
.由市场调研知，该产品每台的售价为150万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完.
(1)写出年利润W(x)（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式.（利润=销售收入−成本）
(2)当该产品的年产量为多少时，该公司所获年利润W(x)最大？最大年利润是多少？
解析
（1）G 是另投入总成本，不再乘 x。总收入 150x，故
W(x)=150x−G(x)−400={−x2+152x−400,5800−x−52900/(x+80),0<x≤80,80<x≤200.
产量为正整数，80归第一段。
（2）第一段 W=−(x−76)2+5376，76是合法整数，最大5376。第二段令 t=x+80∈(160,280]，得
W=5880−(t+t52900)≤5880−460=5420.
取等 t=230，换回 x=150，合法且不超产能。5420高于5376，故全局最优150台。回代 G(150)=151×150+52900/230−6200=16680，收入22500，扣固定400后为5420。
原模型 G(1)=−1 万元，若按“另投入成本”通常非负含义则不合理。不能暗改原式；若另加 G≥0 的限制，最优150仍合法，最大结论不变。这里是题设数学优化，不提供医疗采购判断。
本题结论
年产150台，最大年利润5420万元。
用配方确定距离顶点最近的合法整数，并逐个回算，不把连续顶点输出冒充实际可达到的最大值。
题目
某公司生产某种仪器的固定成本为4000元，每生产一台仪器需增加投入500元，已知总收入R（单位：元）关于月产量x（单位：台，0≤x≤100，x∈N）满足函数：R(x)=3000x−20x2，利润是总收入与总成本之差．
(1)将利润（单位：元）表示为月产量x的函数P(x)；
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？
解析
（1）总成本为 4000+500x，所以
P(x)=3000x−20x2−(4000+500x)=−20x2+2500x−4000,
保留 x∈{0,1,…,100}。x=0 时仍有固定成本，利润 −4000；不能以亏损为由删去题设允许输入。
（2）配方 P=−20(x−62.5)2+74125。62.5不是整数，最近的合法整数62、63到顶点距离均为0.5，其他整数距离至少1.5，故这两个方案并列最优，利润 74125−20×0.25=74120。
74125只是连续上界，不是实际最大利润。
本题结论
P(x)=−20x2+2500x−4000，x=0,1,…,100；62或63台均得最大74120元。
若单位进价为 c+k/Q 且 Q>0，总利润为 (p−c−k/Q)Q=(p−c)Q−k。p>c 只超过固定部分；正利润要 (p−c)Q>k，不亏本则允许等号。先写公式合法与题设允许域，额外经营假设另说。
题目
临近新年，车厘子、榴梿等高档水果受到人们青睐.老张水果店瞄准商机，准备新进一大批车厘子来满足市场需求，同时为提高销售量，老张水果店特准备举办一场车厘子促销活动.据市场调查发现，当每斤车厘子的售价定为x元时，销售量为(120−0.8x)斤.现批发商为配合老张水果店的活动，将供货价格分为固定价格与浮动价格两部分，即：供货价格＝固定价格＋浮动价格，其中固定价格为50元/斤，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：斤）成反比，比例系数为20.
(1)试将总利润y表示成关于x的函数；
(2)当每斤车厘子售价定为多少时，总利润最大，为多少？
解析
（1）按原解将浮动部分理解为每斤进价 20/Q，其中 Q=120−0.8x。单位利润乘销量得
y=(x−50−20/Q)Q=(x−50)(120−0.8x)−20=−0.8x2+160x−6020.
约分前 Q>0 要求 x<150。售价按非负量理解，题干直接支持 0≤x<150；原解另加 x>50 得 (50,150)，未被题干明确授权为全部可行域。
若要求利润严格为正，则配方后 −0.8(x−100)2+1980>0，得
100−599<x<100+599.
这比单纯 x>50 强，三种范围不能混同。
（2）配方 y=−0.8(x−100)2+1980，上述各口径下100都合法。此时销量40斤，每斤进价50.5元，单斤利润49.5元，乘40得1980元。最优结果相同并不消除定义域差别。原题浮动价格的单位写法不严谨，本解明确沿原解的单位进价解释。
本题结论
沿原题模型最佳售价100元/斤、最大1980元；定义域与盈利约束须分口径说明。
原电脑模型以 x 千台计，另投入 R(x)=700x−10000/x−1250 万元，固定200万元，每台售价1.1万元，年产4000至10000台且全部卖出。总收入为 1100x 万元，利润
L(x)=1100x−R(x)−200=400x+10000/x+1050,4≤x≤10.
两正项相等给 x=5、最小5050；作差 (v−u)(400−10000/(uv)) 说明5之前减、之后增。两端 L(4)=5150,L(10)=6050，故最大6050。连续近似下 [5,10] 连续递增，取遍整个 [5050,6050]。
精确台数 N∈Z,4000≤N≤10000 时，实际利润集合是
{400(N/1000)+10000/(N/1000)+1050:N∈Z, 4000≤N≤10000},
并不等于完整区间。5000和10000台仍实现同样极值，不能据此把有限输出说成连续。
此外 R(4)=−950 万元与通常非负“另投入”含义冲突。按原式的结论与这个合理性缺口分别保留；若另加非负投入要求，5与10仍合法，原最小最大仍可达，但输入集合须重审。
