成本、用料与实际总量的最值模型

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先把实际关系列对，再谈最值。整批费用与每件费用、每间面积与总面积、实际用料与购买规格不是同一个目标；图中连接关系与标注决定模型，不能用画面比例代替条件。

一、知识点概念与依据

1. 变量、总量、目标与允许范围一起定义

先写变量代表件数、质量还是长度，以及单位。件数通常为正整数，非退化尺寸为正实数；墙长上限、门口不用材料、不同单价、内长严格大于内宽等已给限制都须进入模型。题干没给的损耗、生产能力或形状比例则不自行添加。

求出数学界以后，解取等方程并核全部实际范围。连续模型的取等点未必是允许整数；购买选项的最短可用规格也不等于连续几何周长的精确最小值。最后分别报告方案与目标，带正确单位。

2. 固定成本分摊与随批量增加的存留费

设每批固定成本 $F>0$ 元，一次制作 $N$ 件， $N$ 为正整数。若每件存留费是 $qN$ 元， $q>0$ ，整批为 $qN^2$ 元，平均每件才是

C(N)=\frac{F+qN^2}{N}=\frac FN+qN\ge2\sqrt{Fq}.

取等 $F/N=qN$ ，正根 $N_0=\sqrt{F/q}$ 。如果是允许整数，才直接给实际最优方案。

若 $N_0$ 不是整数，不能只凭四舍五入。对 $N_2>N_1>0$ ，

C(N_2)-C(N_1)=(N_2-N_1)\left(q-\frac F{N_1N_2}\right).

两点均不超过 $N_0$ 时差负，均不小于 $N_0$ 时差正。因此允许所有正整数时，只需比较夹住 $N_0$ 的两个正整数； $N_0<1$ 时最优为 $1$ 。有额外范围或可选批量缺档时，须按实际允许集合重查。

3. 每一条实际施工边只计一次

靠墙边不施工，共用隔栏只施工一次，但仍要材料。不能只算整体外围漏掉内隔栏，也不能直接加每间周长而重复共用边。先确定四间是排一行还是两行两列，再按方向数边段；“四间”本身不能决定系数。

设数得材料长度 $L=\alpha x+\beta y$ ， $\alpha,\beta,x,y>0$ 。若每间面积 $xy=S$ 固定，则

L\ge2\sqrt{\alpha\beta S},

取等 $\alpha x=\beta y$ ，联立得 $x=\sqrt{\beta S/\alpha},y=\sqrt{\alpha S/\beta}$ 。若材料 $L=\ell$ 固定，则

(\alpha x-\beta y)^2=\ell^2-4\alpha\beta xy\ge0,

所以 $xy\le\ell^2/(4\alpha\beta)$ ，取等 $x=\ell/(2\alpha),y=\ell/(2\beta)$ 。完整带系数项相等，不一定长宽相等。

若只给 $L\le\ell$ ，且没有妨碍放大的尺寸限制，不用完材料可将正尺寸同比放大提高面积，最优才用满；有额外墙长等限制时不能无条件改成等号。相同 $n$ 间总面积为 $nxy$ ，每间仍是 $xy$ 。

4. 三角形、无盖水池与外矩形分别列实际总量

直角三角形的两直角边 $x,y>0$ 、面积 $A$ 给 $xy=2A$ ，斜边因题设直角才是 $\sqrt{x^2+y^2}$ 。由 $x+y\ge2\sqrt{2A}$ 、 $x^2+y^2\ge4A$ ，周长至少 $2\sqrt{2A}+2\sqrt A$ ，两处同时取等须 $x=y$ 。若额外条件排除等腰，该界不能称可取最小值。

无盖长方体深 $h$ 固定、容积 $V$ 固定，给 $xy=V/h$ ；底面一个 $xy$ ，四壁面积 $2hx+2hy$ ，没有顶面。底与壁异价要分别计费；墙统一正单价才使最低费用等价于最小 $x+y$ ，若侧面异价应重新加权。

内矩形面积 $A$ 、尺寸 $x,y$ ，外长总增量 $p$ 、外宽总增量 $q$ ，则

(x+p)(y+q)=A+pq+qx+py=A+pq+qx+\frac{pA}{x}.

$p,q$ 是相对两侧增量的总和，不是每侧宽。 $p,q>0$ 时两变量项定积 $pqA$ ，取等还须原尺寸限制通过。求草坪面积须再减内面积 $A$ ，不能与外面积混答。

5. 相反方向两次过程，先分别写平衡关系

只有实际关系推出 $A=kr,B=k/r$ ， $k,r>0$ ，才能用 $AB=k^2$ 固定估计总量。两次测量不自动互为倒数，必须逐次核已知量所在侧和比例规律。天平在同一重力环境下用“质量乘正有效力臂相等”，力臂为零或没有平衡时不能照套。

若确有上述结构，

A+B\ge2k,\qquad A+B-2k=k\frac{(r-1)^2}{r}.

等号恰为 $r=1$ ；原条件排除它时只能说严格大于，不能说 $2k$ 是取得的最小值。若任意正比值均可而仅排 $1$ ，令 $r=1+h,h>0$ ，差为 $kh^2/(1+h)$ ，对任意正 $\varepsilon$ 取 $0<h<\sqrt{\varepsilon/k}$ ，差小于 $\varepsilon$ ，说明只是最佳下界。若比例另有限制不可接近 $1$ ，不能套这段逼近结论。

两次砝码不同可能给 $ur+v/r$ ， $u,v>0$ ，下界改为 $2\sqrt{uv}$ ，取等 $r=\sqrt{v/u}$ ，一般不等于 $1$ 。实际总量会随比值变，但相对同一基准的大小关系可能始终不变。

二、考点方法与例题

方法一：总量先按题意逐项算，再构造最值

列出固定量、变量量与单位，保留整数和尺寸限制。写完整目标后选正的定和或定积项；每一次放缩的取等要同时满足，再用原总量复算方案。

方法二：图读连接关系，答案区分模型与规格

逐边、逐面计数，靠墙与共用边分别说明。图不按比例量尺寸。若选购买规格，先求实际理论最少用料，再从题给选项选够用且最少者，不能把规格倒称为精确数学最小值。

例题 01 两次交换托盘后的黄金总量

题目

一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金 $100g$ ，售货员先将 $50g$ 砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将 $50g$ 砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　）

A．小于 $100g$ B．等于 $100g$

C．大于 $100g$ D．与左右臂的长度有关

答案与解析

解析

设左、右有效力臂为 $x,y>0$ ，且 $x\ne y$ ；两次黄金质量分别为 $a,b$ 克。第一次砝码在左，平衡给 $50x=ay$ ；第二次砝码在右，平衡给 $bx=50y$ 。因此

a=\frac{50x}y,\quad b=\frac{50y}x,\quad a+b=50\left(\frac xy+\frac yx\right)\ge100.

两个正比值积为 $1$ 。取等要求 $x/y=y/x$ ，正性给 $x=y$ ，被题设排除，所以总量严格大于 $100$ 克。A 方向相反，B 只在等臂情况下可能，原答案为 C。

选项措辞歧义须保留。 D“与左右臂的长度有关”若按实际总质量是否依赖臂长比理解，也是真话，表达式确实含 $x/y$ 。原 C 指“无论不等臂的具体比例，均大于100克”，不等于“总质量不随比例变化”。因此 C 是所求相对大小关系，不能为了单选答案把 D 的字面数值含义判假。

本题结论

相对于 $100$ 克，必严格大于，原答案 C；D 的实际数值依赖含义存在措辞歧义。

例题 02 每件成本与每批总成本

题目

已知某糕点店制作一款面包的固定成本为400元，每次制作 $x$ 个，每天每个面包的存留成本为1元，若每个面包的平均存留时间为 $0.25x$ 天，为了使每个面包的总成本最小，则每天应制作（）

A．20个 B．30个 C．40个 D．50个

答案与解析

解析

$x$ 是每次制作个数，为正整数。每个面包平均存留 $x/4$ 天，每天每个 $1$ 元，所以每件存留费 $x/4$ 元，整批为 $x^2/4$ 元。加一次固定成本，整批为 $400+x^2/4$ 元；每件平均总成本才是

C=\frac{400}x+\frac x4\ge2\sqrt{100}=20\text{ 元/个}.

取等 $400/x=x/4$ ，乘正 $4x$ 得 $x^2=1600$ ，正根 $x=40$ 恰为允许整数。每件为 $20$ 元，整批为 $800$ 元，不能混报成同一量。

选项逐一代回： $x=20,30,40,50$ 时每件成本依次为 $25,125/6,20,41/2$ 元，故 C 最优。

题干用“每天应制作”，给定费用模型按每次批量 $x$ 建立；此处沿题设模型解释，不自行增加每日生产次数、销售或库存限制。

本题结论

C，每次制作 $40$ 个时，平均每件总成本最小为 $20$ 元。

例题 03 三角形实际周长与可选铁管规格

题目

制作一个面积为1 ${m}^{2}$ 且形状为直角三角形的铁支架，则较经济（够用，又耗材最少）的铁管长度为（）

A．4.6m B．4.8m C．5m D．5.2m

答案与解析

解析

设两直角边为 $x,z>0$ 米，面积为 $1$ 平方米给 $xz=2$ ；斜边由勾股定理为 $\sqrt{x^2+z^2}$ 。两处估计分别为

x+z\ge2\sqrt2,\qquad x^2+z^2\ge2xz=4\Rightarrow\sqrt{x^2+z^2}\ge2.

因此周长 $P\ge2\sqrt2+2$ 米。两次取等都要求 $x=z$ ，联立面积得 $x=z=\sqrt2$ ，斜边 $2$ ，故最小周长实际可取。

原解析写小数约 $4.82$ ，但精确值为 $2\sqrt2+2\approx4.828427$ ，四舍五入到百分位应为 $4.83$ ，这一笔误不影响用精确值选项。

$4.6,4.8$ 米均小于理论最少用料； $5,5.2$ 米均够用，其中 $5$ 米较少，按题给规格选 C。可精确核 $\sqrt2>1.4$ （平方 $2>1.96$ ）与 $\sqrt2<1.5$ （平方 $2<2.25$ ），所以 $4.8<P_{\min}<5$ 。

购买规格 $5$ 米不是几何周长的精确最小值；题目“够用”按可用给出的铁管制作支架理解，不凭空添加切割损耗。

本题结论

C，选择 $5$ 米规格；实际最小周长为 $2\sqrt2+2$ 米。

例题 04 无盖水池的底面与四壁分开计费

题目

某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 $4800{m}^{3}$ ，深为 $3m$ ．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元，那么贮水池的最低总造价是（）

A．160000元 B．179200元

C．198400元 D．297600元

答案与解析

解析

设底面长宽 $x,y>0$ 米，深为 $3$ 米。容积 $3xy=4800$ 给 $xy=1600$ 平方米。底面费为 $100xy=160000$ 元；没有顶盖。两块长侧面共 $6x$ 平方米，两块短侧面共 $6y$ 平方米，墙面费为 $80(6x+6y)=480(x+y)$ 元。

因此总造价

C=160000+480(x+y)\ge160000+480\cdot2\sqrt{1600}=198400\text{ 元}.

取等 $x=y=40$ 米，深 $3$ 米；原容积 $4800$ ，底面积 $1600$ ，四壁面积 $480$ ，费用 $160000+38400=198400$ 元，全部实际约束满足。

C 正确。A 只有底面费用，漏墙；B 低于已证下界；D 比实际可达的最优费用高，都不能作为最低总价。

本题结论

C，最低总造价 $198400$ 元；底面 $40\text{ 米}\times40\text{ 米}$ ，深 $3$ 米。

例题 05 内花园与两方向草坪增量

题目

如图，某规划组计划建设一个矩形花草园，在矩形 $ABCD$ 的中心位置建造一个面积为 $50{m}^{2}$ 的矩形 $EFGH\left( EF>EH\right)$ 花园，在矩形 $EFGH$ 的四周铺设草坪，要求南北两侧的草坪宽 $0.5m$ ，东西两侧的草坪宽 $1m$ ，则矩形 $ABCD$ 面积的最小值为 ${m}^{2}$ ．

外矩形 ABCD 包围内矩形 EFGH，东西草坪各宽 1 米，南北草坪各宽 0.5 米，并标出四个方向

答案与解析

解析

图中东西各增 $1$ 米，合计外长增 $2$ 米；南北各增 $0.5$ 米，合计外宽增 $1$ 米。令内长 $EF=x>0$ 米，由面积 $50$ 得内宽 $EH=50/x$ 。额外条件 $EF>EH$ 给 $x^2>50$ ，即 $x>5\sqrt2$ 。

外面积为

S=(x+2)(50/x+1)=52+x+100/x\ge72\text{ 平方米}.

两变量项正且积为 $100$ ，取等 $x=100/x$ ，正根 $x=10$ 。内宽为 $5$ ，满足严格长大于宽；外尺寸为 $12$ 米与 $6$ 米，面积确为 $72$ 。

题目问整个外矩形面积，不是仅草坪面积；草坪应另减内面积 $50$ ，那是不同目标。也不能把取等变量 $x=10$ 当成面积答案，或把相对两侧合计增量误当每侧宽。

本题结论

$72$ 平方米；内花园 $10\text{ 米}\times5\text{ 米}$ ，外矩形 $12\text{ 米}\times6\text{ 米}$ 。

例题 06 靠墙矩形的两个不同优化目标

题目

如图，为了开展劳动教育，某校在“一米农庄”内计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形育苗区.设育苗区的长为x米，宽为y米.

(1)若育苗区面积为8平方米，则x，y为何值时，所用篱笆总长最小；

(2)若使用的篱笆总长为10米，求 $\frac{2x+y}{xy}$ 的最小值.

答案与解析

解析

图中上边靠墙不用篱笆，下边一条长 $x$ ，左右各一条长 $y$ ，所以实际总长 $L=x+2y$ 米，面积 $xy$ 平方米， $x,y>0$ 。

（1） $xy=8$ ，两正项 $x,2y$ 的积为 $16$ ，故 $L\ge8$ 米。取等 $x=2y$ ，接面积给 $2y^2=8$ ，得 $y=2,x=4$ 。代回面积 $8$ 、篱笆 $4+2+2=8$ 米，墙足够长，无额外限制。

（2）本问共同长度约束是 $x+2y=10$ ，但目标不再是面积。拆分并乘准确的 $1$ ：

\frac{2x+y}{xy}=\frac1x+\frac2y =\frac1{10}\left(\frac1x+\frac2y\right)(x+2y) =\frac1{10}\left(5+\frac{2y}x+\frac{2x}y\right)\ge\frac9{10}.

两交叉项正、积为 $4$ 。取等 $x=y$ ，与长度给 $x=y=10/3$ ，原分式确为 $9/10$ ，单位为每米。

“长、宽”在这里是两个方向名称，原条件没有严格 $x>y$ ，不能自行排除正方形。两问的取等分别为 $x=2y$ 与 $x=y$ ，由不同目标决定，不能直接复用。

本题结论

（1） $x=4,y=2$ 米，篱笆最短 $8$ 米；（2）最小值 $\frac9{10}$ 每米，在 $x=y=\frac{10}3$ 米取得。

例题 07 四间虎笼的外边与共用隔栏

题目

如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成，每间虎笼的长为a（单位： $m$ ）、宽为b（单位： $m$ ）（a，b都为正数）.

(1)现有可围 $36m$ 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？

(2)若使每间虎笼面积为 $24{m}^{2}$ ，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间笼的钢筋网总长最小？最小值为多少？

答案与解析

解析

先按图两行两列数边：上边靠墙不计，底边 $2a$ 、中间横隔栏 $2a$ ，横向合计 $4a$ ；左右外边及中间竖隔栏各长 $2b$ ，纵向合计 $6b$ 。所以总网长 $L=4a+6b$ ，每间面积 $S=ab$ 。

可用另一方法复核：四间完整周长相加为 $8a+8b$ ，减靠墙两段共 $2a$ ，再减重复算的一次共用横隔栏 $2a$ 和竖隔栏 $2b$ ，仍为 $4a+6b$ 。共用边是只算一次，不是不施工。

（1） $L=36$ ，即 $2a+3b=18$ 。两正项定和， $6ab\le(18/2)^2=81$ ，故每间面积 $ab\le27/2$ 。取等 $2a=3b=9$ ，得 $a=9/2,b=3$ 米。回算总网长 $18+18=36$ 米，每间面积 $27/2$ 平方米。

（2）每间 $ab=24$ ，两正项 $4a,6b$ 的积为 $24ab=576$ ，故 $L\ge48$ 米。取等 $4a=6b$ ，接面积得到 $a=6,b=4$ 米，原面积 $24$ 、总网长 $24+24=48$ ，下界可取。

原解析第（2）问思路和过程将 $a>0$ 写成了残缺的 $a>$ ，题干已经明确两尺寸为正，按题干使用 $a>0$ 并非另加假设。本题最大面积是每间的，不是四间总面积，若改问总面积才另乘 $4$ 。

本题结论

（1）每间 $a=\frac92,b=3$ 米，最大面积 $\frac{27}2$ 平方米；（2） $a=6,b=4$ 米，总网长最短 $48$ 米。