分式、绝对值与分段判号

约 4730 字大约 16 分钟

分式先保留原定义域，绝对值先辨内部符号。把数轴分成条件确定的范围，在每支内作等价变形，再将有效分支合并；不要让去分母、约分或去绝对值扩大了原题的允许范围。

一、知识点概念与依据

1. 分子零点与分母禁值的身份不同

将两边相减，使目标成为 $P(x)/Q(x)$ 与零比较。 $P,Q$ 代表完整表达式，须先各自有意义且 $Q(x)\ne0$ 。多项式分子分母只额外排分母零点；若含根号、对数，还须保留它们各自的定义域。

分子为零且分母非零，分式值才为零，非严格号可收入。分母为零则原式无定义，有没有等号都不能收。一个数兼有两种身份时，禁值优先。

右端不为零，移项后比较的是整个差，不是原分子。多个分母先登记各自禁值。约去公因子只在该因子非零的原范围内等价，不能用化简后的较大定义域覆盖原范围。

2. 去分母为什么可乘正平方

原范围 $Q\ne0$ 保证 $Q^2>0$ 。因此

\frac PQ\ge0\iff\frac PQ Q^2\ge0\iff PQ\ge0\qquad(Q\ne0).

正数同乘不反向；反过来同除 $Q^2$ 也成立，所以是等价关系。 $>,<,\le$ 同理。非严格乘积条件可能收进 $Q=0$ 的点，末尾仍须删除。

另一方法按分母正负完整分类：

\{Q>0,\ P\ge0\}\quad\text{或}\quad\{Q<0,\ P\le0\}.

负分母一支反向。每支内部同时满足，取交集；任一支成立即可，支间取并集。直接将 $P/Q\ge0$ 写成 $P\ge0$ ，偷偷假定了 $Q>0$ ，不仅可能多收，还会漏收。

3. 全部因子决定符号表，不限于二次式

分解后登记所有实零点、分母禁值、重数和总常数系数，按大小排序。一次因子 $x-r$ 在根左负、右正；一般 $a(x-r)$ 还须乘 $a$ 的符号。相邻临界点之间，各因子符号不变，故积或商符号不变。代一合法点可核查，但证明整段符号的依据是因子本身，不是单点实验。

一个负因子使符号翻转，两负抵消，总负系数也要计入。先选择开放段，再单独检查临界点。三根、四根应列四段、五段，不能硬套“二根内外”的口令。最后与额外范围取交，并把满足的各段取并。

不可分成实一次因子的二次式，可先配方或用判别式确定自身符号，再加入表格；不是把高次式的示意曲线当成抛物线。含参数时，系数为零、根序变化或根重合必须先分类。

4. 重数与约分不能凭画线省略

$(x-r)^m$ 在根左有 $m$ 个负因子，右侧全正。 $m$ 为奇数才过根变号，偶数则两侧不变号。分子分母在同一点有多重因子时，两侧符号按合计次数的奇偶判断，根本身仍按原定义域处理。

分母偶重根虽然不改变左右正负，却仍是空点；约分后图线似乎“接上”，也不能补原禁点。这是代数定义与因子符号直接推出的规则，本组原题没有专门的重根或约分题，不另编卡片。

5. 绝对值是非负距离，先看阈值

实数 $u$ 满足 $|u|=u$ （ $u\ge0$ ）或 $|u|=-u$ （ $u<0$ ）。它是 $u$ 到零的距离，仅在 $u=0$ 时为零。 $|x-h|$ 是 $x$ 到中心 $h$ 的距离，两点先后相减不影响距离。

对 $r>0$ ，若 $|u|<r$ ：在非负支有 $0\le u<r$ ；在负支有 $-u<r$ ，乘 $-1$ 反向后与 $u<0$ 合为 $-r<u<0$ 。两支合并正是 $-r<u<r$ 。外侧条件则是左右任一支成立：

条件， $r>0$	等价内部条件	集合连接
$\lvert u\rvert<r$	$-r<u<r$	两边同时，交
$\lvert u\rvert\le r$	$-r\le u\le r$	两边同时，交
$\lvert u\rvert>r$	$u<-r$ 或 $u>r$	任一分支，并
$\lvert u\rvert\ge r$	$u\le-r$ 或 $u\ge r$	任一分支，并

令 $u=x-h$ ，两边同加 $h$ ，中间为以 $h$ 为中心的区间，外侧为中心两边。例如非严格外侧为 $x\le h-r$ 或 $x\ge h+r$ 。严格性决定距离等于阈值的边界是否收入。

6. 零、负阈值与一次系数另外分类

阈值	$\lvert u\rvert<r$	$\lvert u\rvert\le r$	$\lvert u\rvert>r$	$\lvert u\rvert\ge r$
$r=0$	无解	$u=0$	$u\ne0$	全部允许值
$r<0$	无解	无解	全部允许值	全部允许值

理由是绝对值非负。这里“全部”指内部有定义且符合题设的值，不自动等于 $\mathbb R$ ；绝对值不会修复分母零或负数实开方。零阈值不能用长度为零的中间区间代替所有判断。

内部 $u=\alpha x+\beta$ ： $\alpha\ne0$ 才能除，负系数须反向； $\alpha=0$ 时直接比较常数 $|\beta|$ 与 $r$ 。也可令 $c=-\beta/\alpha$ ，由乘积绝对值性质得到

|\alpha x+\beta|=|\alpha|\,|x-c|.

$|\alpha|>0$ ，正阈值对应距离界 $r/|\alpha|$ ，这样可统一正负非零系数。若阈值含参数或变量，先区分其正、零、负，各支条件必须随解集保留。

7. 多项绝对值按定义分段，不逐项套距离口诀

多个绝对值的和差不能用一个固定中心的内外区间直接处理。一次内部式的零点是候选分界；若内部含分式、根式或参数，还要加入禁值和符号改变处。系数为零时内部成为常数，不能除零求“零点”。

排序后分段，每段覆盖全域且不漏端点。确认内部 $u<0$ 时用 $-u$ ，不能只删竖线；外面还有减号时保留括号。例如 $u<0,v<0$ 下

|u|-|v|=(-u)-(-v)=-u+v.

每支新不等式的解是候选，必须与该支范围和原定义域取交。交集空表示此支无解，不是其他支也无解。各支有效解取并集。

内部零点只标记替换公式改变处，不一定是最终解集边界，也不必被严格号排除。最后应代回原目标，检查是内部为零还是整个差恰为零。

8. 两个绝对值比较可用非负平方核验

若题目是 $|u|>|v|$ ，两边非负，平方保序：

|u|>|v|\iff u^2>v^2\iff(u-v)(u+v)>0.

依据是对非负 $s,t$ ， $s^2-t^2=(s-t)(s+t)$ ；两数不等时 $s+t>0$ ，故差同号。非严格比较仍保序，但 $s=t=0$ 时不能除以 $s+t$ ，应单独承认两边相等。

若右边是可能为负的 $r(x)$ ，不能直接平方。 $r(x)<0$ 时 $|u|>r(x)$ 对有定义的 $u$ 已真； $r(x)\ge0$ 才能按非负两边比较。平方和分段是不同方法，共同要求变形可逆。

二、考点方法与例题

方法一：先统一与零比较，再列整张符号表

记原禁值 → 左减右并通分 → 展开核因式分解 → 排序所有临界点 → 逐因子定号 → 单独处理零点与禁点 → 交回原范围。可用分母正负两支或乘正平方互相检查。

方法二：先判阈值，再判是否需要分段

单个绝对值对固定数，先用阈值三分类；多个绝对值或变量阈值，按内部和右侧的符号分支。各支先交、最终再并，检查所有分界点。两个绝对值直接比较时，还可用平方差独立复算。

例题 01 分子与分母的两个临界点

题目

不等式 $\frac{2x+1}{x-1}\ge 0$ 的解集为（）

A． $\left[ -\frac{1}{2},1\right]$ B． $\left[ -\frac{1}{2},1\right)$

C． $\left( -\infty ,-\frac{1}{2}\right]\cup \left[ 1,+\infty \right)$ D． $\left( -\infty ,-\frac{1}{2}\right]\cup \left( 1,+\infty \right)$

答案与解析

解析

原定义域为 $x\ne1$ 。在此范围乘 $(x-1)^2>0$ ，得

(2x+1)(x-1)\ge0,\qquad x\ne1.

因子根为 $-1/2,1$ ，正二次项在两外侧非负；删分母根 $1$ ，保留分子根 $-1/2$ ，解为 $(-\infty,-1/2]\cup(1,+\infty)$ 。

另一法： $x>1$ 时要求 $2x+1\ge0$ ，全部 $x>1$ 成立； $x<1$ 时同乘负分母反向，要求 $2x+1\le0$ ，得 $x\le-1/2$ 。两支取并相同。

D 正确。A、B 错选中间，A 另收无定义点；C 虽选外侧，却收了 $x=1$ 。若只求 $2x+1\ge0$ ，会多收 $x=0$ （原值 $-1$ ），也漏收 $x=-1$ （原值 $1/2$ ）。这不是只改端点括号能修正的错误。

本题结论

选 D。

例题 02 三个临界点的商

题目

不等式 $\frac{\left( x+3\right)\left( x-2\right)}{x-1}\ge 0$ 的解集为（）

A． $\left[ -3,1\right)\cup \left[ 2,+\infty \right)$ B． $\left( -\infty ,-3\right]\cup \left( 1,2\right]$ C． $\left[ -3,1\right)\cup \left( 1,2\right]$ D． $\left( -\infty ,-3\right]\cup \left[ 2,+\infty \right)$

答案与解析

解析

定义域 $x\ne1$ ，三个临界点排序为 $-3<1<2$ 。

因子或商	$x<-3$	$-3<x<1$	$1<x<2$	$x>2$
$x+3$	−	+	+	+
$x-2$	−	−	−	+
$x-1$	−	−	+	+
整个商	−	+	−	+

选正段，再收入分子根 $-3,2$ ，不收分母根 $1$ ，得到 $[-3,1)\cup[2,+\infty)$ 。可用 $-4,0,3/2,3$ 核查各段，但整段依据是每个一次因子符号固定。

分母分类也给相同结论： $x>1$ 需 $(x+3)(x-2)\ge0$ ，交得 $x\ge2$ ； $x<1$ 需该积 $\le0$ ，交得 $-3\le x<1$ 。

A 正确。B 的正负段整体相反；C 收入 $(1,2)$ 的负值却漏掉 $x>2$ ；D 收入 $x<-3$ 的负值又漏 $(-3,1)$ 。

本题结论

选 A。

例题 03 距离条件与分式条件

题目

求下列不等式的解集：

(1) $\left| x-1\right|\ge 4$ ；

(2) $\frac{x-3}{2x+1}<0$ ．

答案与解析

解析

（1） $|x-1|\ge4$ 表示离 $1$ 至少 $4$ ，所以 $x-1\le-4$ 或 $x-1\ge4$ ，得 $x\le-3$ 或 $x\ge5$ 。两端距离都恰为 $4$ ，允许等号，均收入。左右是“或”，不是要求同一个数同时在两侧。

（2）原分母要求 $x\ne-1/2$ 。同乘 $(2x+1)^2>0$ ，等价于 $(x-3)(2x+1)<0$ ，中间负，得 $(-1/2,3)$ 。分母根本来禁用；分子根 $3$ 因严格号也不收。核 $x=0$ 原值 $-3$ ，两外侧的 $x=-1,4$ 都为正，与判号一致。

本题结论

（1） $(-\infty,-3]\cup[5,+\infty)$ ；（2） $(-1/2,3)$ 。

例题 04 三种结构分别还原

题目

求下列不等式的解集：

(1) ${x}^{2}-3x-4<0$

(2) $\left| 2x-3\right|>0$

(3) $\frac{2x+1}{x+2}\ge 1$

答案与解析

解析

（1） $x^2-3x-4=(x-4)(x+1)$ ，两根 $-1,4$ 。正二次项小于零取中间，严格排根，得 $(-1,4)$ 。

（2）绝对值非负， $|2x-3|>0$ 恰等价于内部非零。解 $2x-3\ne0$ ，得 $x\ne3/2$ 。零阈值不是正阈值的两个分离外侧区间，直接用零值条件最清楚。

（3）原禁值 $x\ne-2$ 。右端是 $1$ ，必须先相减通分：

\frac{2x+1}{x+2}-1=\frac{2x+1-(x+2)}{x+2}=\frac{x-1}{x+2}\ge0.

同乘正平方 $(x+2)^2$ ，得 $(x-1)(x+2)\ge0$ ，并保留 $x\ne-2$ 。两外侧选出后删 $-2$ ，得 $(-\infty,-2)\cup[1,+\infty)$ 。 $x=1$ 原分式等于 $1$ 可收， $x=-2$ 原式无定义。

本题结论

（1） $(-1,4)$ ；（2） $\mathbb R\setminus\{3/2\}$ ；（3） $(-\infty,-2)\cup[1,+\infty)$ 。

例题 05 分式通分与绝对值分支

题目

求下列不等式的解集：

(1) $\frac{5-x}{x+3}>0$

(2) $\frac{2{x}^{2}+3x-7}{{x}^{2}-x-2}\ge 1$

(3) $2x-\left| x-1\right|>2$ ．

答案与解析

解析

（1） $x\ne-3$ 。同乘正平方得 $(5-x)(x+3)>0$ ，乘 $-1$ 反向后为 $(x-5)(x+3)<0$ ，故 $-3<x<5$ 。两端分别无定义或使值为零，均不收。

（2）原分母 $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$ ，禁值为 $-1,2$ 。先减 $1$ ：

\frac{2x^2+3x-7}{x^2-x-2}-1 =\frac{(2x^2+3x-7)-(x^2-x-2)}{x^2-x-2} =\frac{x^2+4x-5}{x^2-x-2} =\frac{(x+5)(x-1)}{(x-2)(x+1)}.

因子或商	$x<-5$	$-5<x<-1$	$-1<x<1$	$1<x<2$	$x>2$
$x+5$	−	+	+	+	+
$x-1$	−	−	−	+	+
$x-2$	−	−	−	−	+
$x+1$	−	−	+	+	+
整个商	+	−	+	−	+

五段逐因子合成，正段收入。 $-5,1$ 使新分子零且分母非零，对应原分式等于 $1$ ，可收入； $-1,2$ 始终禁用。所以解为 $(-\infty,-5]\cup(-1,1]\cup(2,+\infty)$ 。

符号示意线在负5与1为实心点，在负1与2为空心点，五个区间依次位于数轴上、下、上、下、上方

这是原解析的符号示意图，弯线只表示正负，不是原有理式的按比例函数图像。空实点须按原定义域解释，不能从弯线推连续性。

（3）分界为 $x=1$ 。当 $x\ge1$ ， $2x-|x-1|=x+1>2$ 给 $x>1$ ，与本支相交仍为 $(1,+\infty)$ 。当 $x<1$ ，左边为 $2x-(1-x)=3x-1$ ，大于 $2$ 也给候选 $x>1$ ，但它与本支无交，故此支无解。两支合并 $(1,+\infty)$ ； $x=1$ 原左边恰为 $2$ ，严格号不收。

本题结论

（1） $(-3,5)$ ；（2） $(-\infty,-5]\cup(-1,1]\cup(2,+\infty)$ ；（3） $(1,+\infty)$ 。

例题 06 相反分母、两个绝对值与三次式

题目

解下列关于x的不等式．

(1) $\frac{1}{x-4}\le 1-\frac{x}{4-x}$ ；

(2) $\left| 2x-1\right|-\left| x+1\right|>0$ ；

(3) ${x}^{3}+2{x}^{2}-x-2>0$ ．

答案与解析

解析

（1）两原分母互为相反数，禁值都是 $x=4$ 。在原范围内完整作左减右：

\frac1{x-4}-\left(1-\frac{x}{4-x}\right) =\frac1{x-4}-1-\frac{x}{x-4} =\frac{1-(x-4)-x}{x-4} =\frac{5-2x}{x-4}\le0.

同乘 $-1$ 反向，得 $(2x-5)/(x-4)\ge0$ ，再按两根判商符号，得 $x\le5/2$ 或 $x>4$ 。 $5/2$ 使原两边相等， $4$ 无定义。

（2）方法一：分段。内部零点为 $-1,1/2$ ，逐段保持外面减号：

分段范围	原差的等价表达式	解候选后与本段相交
$x<-1$	$-(2x-1)-[-(x+1)]=2-x$	$x<2$ ，交得 $x<-1$
$-1\le x\le1/2$	$-(2x-1)-(x+1)=-3x$	$x<0$ ，交得 $[-1,0)$
$x>1/2$	$(2x-1)-(x+1)=x-2$	$x>2$ ，交得 $(2,+\infty)$

总解 $(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$ 。

方法二：非负两边平方。原式等价于 $|2x-1|>|x+1|$ ，两边非负，故

(2x-1)^2-(x+1)^2=[(2x-1)-(x+1)][(2x-1)+(x+1)]=3x(x-2)>0.

除正数 $3$ ，仍得 $x<0$ 或 $x>2$ 。最终边界 $0,2$ 使两个绝对值相等，不收；内部零点 $-1$ 使差为 $3>0$ ，应收， $1/2$ 使差为 $-3/2$ ，不收。

原资料答案栏勘误：答案栏写第二支 $x>1/2$ ，而其展开详解最后写 $x>2$ 。独立两法都得到后者。代 $x=1$ ，原差 $1-2=-1$ ，能直接否定错误区间；不能照抄答案栏。

（3）分组提取：

x^3+2x^2-x-2=x(x^2-1)+2(x^2-1)=(x+2)(x+1)(x-1).

按 $-2<-1<1$ 分四段，积的符号依次为负、正、负、正，严格号排三个根，得 $(-2,-1)\cup(1,+\infty)$ 。

也可按原资料的两块分支： $x+2>0$ 且 $x^2-1>0$ ，交出 $(-2,-1)\cup(1,+\infty)$ ； $x+2<0$ 且 $x^2-1<0$ ，即 $x<-2$ 且 $-1<x<1$ ，交集空。两法一致。

本题结论

（1） $(-\infty,5/2]\cup(4,+\infty)$ ；（2） $(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$ ；（3） $(-2,-1)\cup(1,+\infty)$ 。