固定响应样本和尺度，分清SSE、SST、R²以及相关系数所回答的问题。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

与总用均值预测作比较

同一组响应 $y_i$，均值 $\bar y$，模型拟合 $\hat y_i$。定义

$$SSE=\sum(y_i-\hat y_i)^2,\qquad SST=\sum(y_i-\bar y)^2.$$

当 $SST>0$ 时，$R^2=1-SSE/SST$。它比较当前模型与“总预测为样本均值”的平方误差；不是预测正确的概率、因果强度或未来准确率。

指标	衡量内容	比较限制
$SSE$	样本拟合偏离的平方和	同一响应样本、同单位与尺度才直接比较
$SST$	响应相对自身均值的总变异	响应常量时为0
$R^2$	相对均值基准的样本拟合改善	分母须正，定义域和模型条件另核
$r$	有方向的线性关联	强弱比较 $\lvert r\rvert$，不能只看带符号大小

含截距OLS的平方和分解

一元普通含截距OLS，$x$ 不全相同。令 $r_i=y_i-\hat y_i$、$SSR=\sum(\hat y_i-\bar y)^2$。由 $\hat y_i-\bar y=\hat b(x_i-\bar x)$ 及 $\sum(x_i-\bar x)r_i=0$，

$$\sum(\hat y_i-\bar y)r_i=\hat b\sum(x_i-\bar x)r_i=0.$$

把 $y_i-\bar y=(\hat y_i-\bar y)+r_i$ 平方求和，交叉项消失，故

$$SST=SSR+SSE.$$

两项都非负，$SST>0$ 时得 $0\le R^2=SSR/SST\le1$。

记 $S_{xx}=\sum(x_i-\bar x)^2,S_{xy}=\sum(x_i-\bar x)(y_i-\bar y),S_{yy}=SST$，则

$$SSR=\hat b^2S_{xx}=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}},\qquad R^2=\frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}}=r^2.$$

这里需 $S_{xx},S_{yy}>0$ 且是同一响应样本的一元含截距OLS；$R^2$ 是指标名称，不是把任意模型的某个相关系数先平方就定义了它。

可比性与边界

同一响应样本的 $SST$ 固定且正，所以SSE小与R²大对应，指样本内更贴近。改变样本、样本量、响应单位或把响应改为 $\ln y$，不可直接用两个原始SSE数字比较可靠性。响应乘非零 $u$，残差乘 $u$、SSE乘 $u^2$，单纯数字缩小不是改进；SST也乘 $u^2$，因而同样拟合的R²不变。

只改变解释变量而仍拟合同一列原响应，可以在共同的 $y$ 尺度上比较残差平方和。对数响应拟合最小化的却是对数尺度损失，回代后须另算原尺度残差。

无截距、任意候选线或新测试样本，不自动有上述正交分解和 $[0,1]$ 保证；按 $1-SSE/SST$ 计算甚至可能为负。响应全相同使 $SST=0$，这个比值未定义，不能强填0或1。高样本内R²不排除外推、群体变化，也不证明因果。

考点

指标判断四步

1. 先核同一响应、样本、单位与尺度。
2. 检查分母和含截距、一元OLS等条件。
3. 固定SST后按SSE与R²反向变化判断；相关强弱用 $|r|$。
4. 最后分开样本拟合、未来预测和因果。$\chi^2$ 是分类变量独立性检验量，不替代回归的SSE、R²。

例题 01 四个拟合命题

题目

以下说法错误的是（    ）

A．用样本相关系数$r$来刻画成对样本数据的相关程度时，若$\left| r\right|$越大，则成对样本数据的线性相关程度越强

B．经验回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$一定经过点$\left( \overline{x},\overline{y}\right)$

C．用残差平方和来刻画模型的拟合效果时，若残差平方和越小，则相应模型的拟合效果越好

D．用决定系数${R}^{2}$来刻画模型的拟合效果时，若${R}^{2}$越小，则相应模型的拟合效果越好

答案与解析

解析

在题目的普通含截距OLS、相同响应样本和尺度下，选D。

A：$r$ 有定义时，$|r|$ 越大表示线性程度越强；负相关同样适用。

B：$\hat a=\bar y-\hat b\bar x$，所以拟合线过 $(\bar x,\bar y)$；任意候选线或无截距拟合不必有此性质。

C：同一响应样本及单位、尺度下，SSE越小样本偏离越小。若跨不同数据或单位比较，单凭SSE大小不能下结论。

D：当 $SST>0$ 固定，$R^2=1-SSE/SST$，因此应为R²越大，样本拟合越好，原说法反了。若响应恒定，R²未定义。此处不涉及未来保证、因果或分类变量的 $\chi^2$ 检验。

本题结论

D（按同样本同尺度的通常口径）

例题 02 由五组成对数拟合直线

题目

观测两相关变量得如下数据：则两变量间的回归直线方程为（     ）

X	$-1$	$-2$	$-3$	$-4$	$-5$
Y	$-9$	$-7$	$-5$	$-3$	$-1$

A．$\hat{y}=\frac{1}{2}x-1$ B．$\hat{y}=-2x-11$

C．$\hat{y}=2x+\frac{1}{3}$ D．$\hat{y}=-2x+4$

答案与解析

解析

均值 $\bar x=-3,\bar y=-5$，配对偏差及乘积如下：

$x_i$	$u_i$	$v_i$	$u_iv_i$
-1	2	-4	-8
-2	1	-2	-2
-3	0	0	0
-4	-1	2	-2
-5	-2	4	-8

$S_{xx}=10>0,S_{xy}=-20$，所以斜率-2、截距 $-5-(-2)(-3)=-11$，选B。五点回代都满足 $y=-2x-11$，残差全0、SSE=0；响应总平方离差 $SST=40$，所以 $R^2=1-0/40=1$。

选项A、C、D在 $x=-3$ 时分别给-2.5、$-17/3$、10，只有B给-5，因此本题单用中心也足以选B；一般过中心只是必要条件，若多条都过中心还要算斜率或目标。

本题结论

B（ŷ=-2x-11）

例题 03 指数曲线的回代

题目

在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线$y={e}^{bx+a}$的周围．令$\hat{z}=\ln y$，求得线性回归方程为${z}^{\land }=0.25x-2.58$，则该模型的非线性回归方程为________．

答案与解析

解析

规范地记逐点变换 $z_i=\ln y_i$，需 $y_i>0$；$\hat z=0.25x-2.58$ 是拟合值，不应把每个实际 $\ln y_i$ 都直接等同于拟合值。原题将变换和拟合符号混写，但其回代意图明确。

对拟合值取指数，得到 $\hat y=e^{\hat z}=e^{0.25x-2.58}>0$。这与原填空的曲线表达一致，但用帽号明确它是模型预测。

对数尺度残差为 $\ln y_i-\hat z_i$，原尺度残差为 $y_i-e^{\hat z_i}$；不能比较两种SSE的原数字宣称更好。

拓展：若 $\ln Y=\mu(x)+\varepsilon$，且相应期望存在，则

$$E(Y\mid x)=e^{\mu(x)}E(e^\varepsilon\mid x).$$

即使 $E(\varepsilon\mid x)=0$，后一因子也不必为1。例如误差在 $-1,1$ 各占一半，平均0，但 $E(e^\varepsilon)=(e^{-1}+e)/2>1$。所以指数回代的趋势值不自动等于原响应条件算术均值；不额外假定误差分布便作此承诺。

本题结论

$\hat y=e^{0.25x-2.58}$

坑点

比值不替代条件

R²的分母为0就未定义；负值可能表示候选预测不如均值基准，而非计算必错。$R^2=r^2$ 有具体的一元含截距OLS条件，不能推广到所有模型。

指标不能跨尺度背书

不同单位、不同样本、原响应与对数响应的SSE不能只比数字。换解释变量但保留同一原响应时，应回到共同尺度评价。高R²不等于因果；$\chi^2$ 不属于这些回归拟合指标。

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