函数不等式：合成输入合法性与等价比较

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把输出比较转为输入比较，必须保证原调用有定义、合成关系可用、两侧位于同一严格单调范围。抽象关系还可能产生新的分式输入，必须证明它留在原域，最后才谈差号、解集和参数。

一、知识点概念与依据

1. 原输入条件不能在合并后消失

原式出现 $f(U(x))$ 、 $f(V(x))$ ，先分别要求 $U(x),V(x)$ 属于函数域。正数域就分别写 $U>0,V>0$ ，域为 $[1,+\infty)$ 就分别写 $U\ge1,V\ge1$ 。

即使关系允许合为 $f(U+V)$ 或 $f(UV)$ ，原条件仍须保留。和为正不保证每一项正，积为正也可能两项都负；合成输入合法不能修复原来无意义的函数调用。若只知道某一区间单调，两个被比较输入还必须同处该区间。

2. 严格单调为什么允许等价比较

$U,V$ 在同一严格递增范围时， $U<V$ 按定义推出 $f(U)<f(V)$ 。反过来，输出小而若 $U=V$ ，输出应相等；若 $U>V$ ，输出应更大，均矛盾，所以必有 $U<V$ 。于是两种比较等价；递减函数的输入、输出方向相反。

非严格单调可能有不同输入给相同输出，不能照搬所有双向比较规则，尤其不能由输出相等推输入相等。来自不同单调段时也不能直接“去掉函数符号”。所有等价步骤都带着合法域与同一区间的前提。

3. 先求真实阈值，再按原关系合成

数值右侧若可由合法赋值得到 $f(c)$ ，就把它改写为同一函数的值，再比较输入。不要猜线性式或对数式代替题给关系。

$f(U)+f(V)=f(U+V)$ 与 $f(U)+f(V)=f(UV)$ 属于两种不同条件，不能因为都是两个输出相加就任意选择。合并输入“属于域”与“超过 $c$ ”也是两回事：正域只要求输入大于0，而与 $f(1)$ 比较时，递增性要求输入大于1，不是大于0。

最终解集是全部原调用合法条件与代数比较条件的交集。因无定义被排除、因严格比较等号被排除、因闭域仍允许的边界，各自说明理由，不机械统一写开端点。

4. 用输出差证明抽象函数方向

任取合法 $u<v$ ，目标是判断 $f(v)-f(u)$ 的严格符号。加法关系 $f(a+b)=f(a)+f(b)$ 可令 $a=u,b=v-u$ ，得到 $f(v)-f(u)=f(v-u)$ ；但 $v-u$ 必须合法，全实数域可用，受限区间不能不查便代。

若每个正输入的输出负，因 $v-u>0$ 得差负，所以函数递减；若正输入的输出正，则递增。决定方向的是输出差，不是函数等式中出现了“加”还是“减”。

需要奇性辅助时，先由合法赋值求 $f(0)$ ，再用相反输入证明 $f(-x)=-f(x)$ ，不能先默认奇性来完成待证推理。

5. 特殊分式输入须证明留在原域

设 $|u|,|v|<1$ 。分式 $z=(u-v)/(1-uv)$ 的分母正，因为 $uv<1$ 。但分母非零或 $z<0$ 都还不足以调用只定义在 $(-1,1)$ 的函数。展开得

1-z^2=\frac{(1-uv)^2-(u-v)^2}{(1-uv)^2}=\frac{(1-u^2)(1-v^2)}{(1-uv)^2}>0,

所以 $|z|<1$ 。若再有 $u<v$ ，分子负，才得到 $z\in(-1,0)$ ，可以使用原负侧条件。

加法型 $w=(u+v)/(1+uv)$ 同样有 $1+uv>0$ ，且

1-w^2=\frac{(1-u^2)(1-v^2)}{(1+uv)^2}>0,

所以合成输入仍在 $(-1,1)$ 。把一个输入换号，就把加法型变成差型。这里“留在原域”的证明同时保证每次关系调用有意义，不是只算符号的附属步骤。

6. 全部条件先求相容，不能只保留方便的条件

多条题设必须同时成立。若已证明奇性，又知道负输入输出正，就能推出全部正输入输出负；某个附加正输入却被赋正输出，条件便矛盾。此时从其中部分条件算出的数字，只是形式运算，不能作为完整题目的合法数值答案。

应保留原题，说明矛盾具体发生在哪个合法输入；不自行改一个符号或数值，把它变成另一题。没有矛盾时继续原目标；发现矛盾时区分此前条件下已证的性质与新增条件后的无解状态。

二、考点方法与例题

方法一：三张条件清单取交

写原调用域，写关系合成所需的域，写同一严格单调范围中的输入比较。求阈值时明确赋值，合并时明确原关系。解代数不等式之后与前两类条件取交，再逐端点回查。

方法二：差式、闭合、符号、相容

先求必要初值和奇偶关系，再对任意有序输入写输出差。特殊合成输入先证分母合法、大小仍在域内，再用已知符号判方向。附加条件出现时，先核它是否与已证性质冲突，不能只追求算出原参考数字。

已知定义域为 $\left( 0,+\infty \right)$ 的增函数 $f\left( x\right)$ 满足 $f\left( x+y\right)=f\left( x\right)+f\left( y\right)$ ，且 $f\left( \frac{1}{2}\right)=1$ ，则不等式 $f\left( x+3\right)+f\left( {x}^{2}-4\right)>2$ 的解集为（）

A． $\left( -3,-2\right)\cup \left( 2,+\infty \right)$ B． $\left( -\infty ,-2\right)\cup \left( 1,+\infty \right)$

C． $\left( -3,-2\right)$ D． $\left( -3,-2\right)\cup \left( 1,+\infty \right)$

答案与解析

解析

两个原调用分别要求 $x+3>0$ 、 $x^2-4>0$ ，共同合法范围为 $(-3,-2)\cup(2,+\infty)$ 。

原加法关系取两输入都为 $1/2$ ，得 $f(1)=2f(1/2)=2$ 。只在原调用合法的前提下，左侧合为 $f(x^2+x-1)$ 。正域严格增，所以输出大于 $f(1)$ 等价于

x^2+x-1>1\iff(x+2)(x-1)>0,

得 $x<-2$ 或 $x>1$ 。与原合法范围取交，仍为 $(-3,-2)\cup(2,+\infty)$ ，选 A。

B 含 $x\le-3$ 与 $1<x\le2$ 的非法调用；C 漏掉整个正数解支；D 也误收 $1<x\le2$ ，均错误。

原解析条件勘误。所给资料条件组仅写合成输入 $x^2+x-1>0$ ，它只说明合法，不能替代比较所需的 $>1$ 。本题最终答案碰巧不变，是因为原两输入的共同合法范围已经满足更强比较；错误中间条件不能因此变成通则。

本题结论

A， $(-3,-2)\cup(2,+\infty)$ 。

例题 02 乘法输入关系与两个原正数条件

题目

已知函数 $f(x)$ 是定义在区间 $(0,+\infty )$ 上的增函数，满足 $f(xy)=f(x)+f(y),f(3)=1$ ．

(1)求 $f(1)$ 和 $f(9)$ 的值

(2)解关于 $x$ 的不等式 $f(3x+6)+f(x)<2$ ．

答案与解析

解析

（1）初值。取两输入1，得 $f(1)=2f(1)$ ，所以 $f(1)=0$ ；取两输入3，得 $f(9)=2f(3)=2$ 。

（2）原调用条件。要求 $x>0$ 且 $3x+6>0$ ；在正 $x$ 下后一条自动成立。此时才可按题给乘法输入关系合为 $f(x(3x+6))$ ，比较 $f(9)$ 。

严格增性给 $3x^2+6x<9$ ，除以正数3并移项得到 $(x+3)(x-1)<0$ ，即 $-3<x<1$ ；再交 $x>0$ ，解集为 $(0,1)$ 。

0使原 $f(x)$ 无定义，1使两侧输出相等，都排除。不能只查合成乘积为正，就反推两个原输入都正；两个负输入的乘积也会为正，却不能调用本题函数。

本题结论

（1） $f(1)=0,f(9)=2$ ；（2） $(0,1)$ 。

例题 03 闭定义域上的增性与参数范围

题目

已知函数 $f\left( x\right)=x+\frac{4}{x+1}$

(1)用定义法证明函数 $f\left( x\right)$ 在区间 $\left[ 1,+\infty \right)$ 上是增函数；

(2)若函数 $f\left( x\right)$ 的定义域为 $\left[ 1,+\infty \right)$ ，且 $f\left( {m}^{2}-m-1\right)<f\left( 11-2m\right)$ ，求实数 $m$ 的取值范围.

答案与解析

解析

（1）按定义证明。任取 $1\le u<v$ ，两分母都正，通分并提取输入差得

f(v)-f(u)=(v-u)\frac{(u+1)(v+1)-4}{(u+1)(v+1)}.

因 $u+1\ge2,v+1>2$ ，乘积严格大于4，故差严格正。证明包括合法边界1，不因严格增而删去它。

（2）两个内层输入均至少为1：

m^2-m-1\ge1\iff(m-2)(m+1)\ge0,

所以 $m\le-1$ 或 $m\ge2$ ；另一条 $11-2m\ge1$ 给 $m\le5$ 。在这些条件下，输出比较等价于

m^2-m-1<11-2m\iff(m+4)(m-3)<0,

即 $-4<m<3$ 。三条件取交，得 $(-4,-1]\cup[2,3)$ 。

−1与2使第一个输入等于1，仍属于闭域，且比较成立；−4与3使两个输入相等，严格小于失败。开闭来自不同条件，不能把所有端点一概排除。

本题结论

（1）严格递增，证明见解析；（2） $(-4,-1]\cup[2,3)$ 。

例题 04 加法恒等、奇性与输出差不等式

题目

已知函数 $f\left( x\right)$ 的定义域为R，并且满足下列条件：对任意 $x,y\in R$ ，都有 $f\left( x+y\right)=f\left( x\right)+f\left( y\right)$ ， $f\left( 2\right)=-2$ ，当 $x>0$ 时， $f\left( x\right)<0$ .

(1)求 $f\left( 0\right),f\left( -2\right)$ ；

(2)证明： $f\left( x\right)$ 为奇函数；

(3)解不等式 $f\left( {x}^{2}-2x\right)-f\left( 3x+4\right)+2>0$ .

答案与解析

解析

（1）初值。代 $x=y=0$ 得 $f(0)=2f(0)$ ，所以 $f(0)=0$ ；代 $x=2,y=-2$ 得 $0=-2+f(-2)$ ，所以 $f(-2)=2$ 。

（2）奇性。对任意实数 $x$ ，相反输入都合法， $f(x)+f(-x)=f(0)=0$ ，所以 $f(-x)=-f(x)$ ，为奇函数。

（3）先证方向。任取 $u<v$ ，差 $v-u>0$ 合法，题设给 $f(v-u)<0$ 。加法关系得 $f(v)-f(u)=f(v-u)<0$ ，所以全实数域严格递减。

利用 $2=-f(2)$ ，原式大于0等价于

f(x^2-2x)>f(3x+4)+f(2)=f(3x+6).

两输入均属全实数域，严格减性使输入方向反转： $x^2-2x<3x+6$ ，即 $(x+1)(x-6)<0$ ，所以 $-1<x<6$ 。两根对应等号，都排除。

原资料中间一处写“ $+2>$ ”漏掉右边0；原题所比较的是大于0，这里完整保留正确比较，不从残缺符号猜另一个阈值。

本题结论

（1）0、2；（2）奇函数；（3） $(-1,6)$ 。

例题 05 受限区间上的分式合成关系

题目

定义在 $\left( -1,1\right)$ 上的函数 $f\left( x\right)$ 满足：对任意的 $x,y\in \left( -1,1\right)$ ，都有 $f\left( y\right)-f\left( x\right)=f\left( \frac{y-x}{1-xy}\right)$ ，且当 $x\in \left( -1,0\right)$ 时， $f\left( x\right)<0$ .

(1)求证： $f\left( x\right)$ 是奇函数；

(2)判断 $f\left( \frac{1}{2}\right)+f\left( -\frac{1}{3}\right)$ 的正负，并说明理由.

答案与解析

解析

先核关系合法： $|x|,|y|<1$ 时 $1-xy>0$ ，记 $z=(y-x)/(1-xy)$ 。除知识部分的平方恒等式外，还可分别写

1-z=\frac{(1-y)(1+x)}{1-xy}>0,\qquad1+z=\frac{(1+y)(1-x)}{1-xy}>0,

故 $-1<z<1$ ，合成后确留在原域。

（1）奇性。取 $x=y=0$ ，得 $f(0)-f(0)=f(0)$ ，所以 $f(0)=0$ ；固定 $y=0$ 、任意合法 $x$ ，得 $-f(x)=f(-x)$ 。原域对称，因此奇。

（2）目标符号。先用奇性改为差，再代原关系 $y=1/2,x=1/3$ ：

f(1/2)+f(-1/3)=f(1/2)-f(1/3) =f\left(\frac{1/2-1/3}{1-(1/2)(1/3)}\right)=f(1/5).

分子 $1/6$ 还要除以分母 $5/6$ ，不能直接当成新输入。因为 $-1/5\in(-1,0)$ ，题设保证 $f(-1/5)<0$ ，故 $f(1/5)=-f(-1/5)>0$ 。这是完整合法调用，不仅是“合成输入为正”的猜测。

本题结论

（1）奇函数；（2）所求和大于0。

例题 06 三问中的恒等关系与附加条件

题目

定义在 $(-1,1)$ 上的函数 $f(x)$ 满足：①对任意 $x,y\in (-1,1)$ 都有 $f(x)+f(y)=f\left( \frac{x+y}{1+xy}\right)$ ；②当 $x<0$ ， $f(x)>0$ .

(1)判断函数 $f(x)$ 的奇偶性，并说明理由；

(2)判断函数 $f(x)$ 在 $\left( 0,1\right)$ 上的单调性，并说明理由；

(3)若 $f\left( \frac{1}{5}\right)=\frac{1}{2}$ ，试求 $f\left( \frac{1}{2}\right)-f\left( \frac{1}{7}\right)$ 的值.

答案与解析

解析

（1）在条件①②下判断奇偶性。对原域输入， $1+xy>0$ ，且知识部分的恒等式证明 $z=(x+y)/(1+xy)\in(-1,1)$ 。可合法代 $x=y=0$ 得 $f(0)=0$ ；再代 $y=-x$ ，分母 $1-x^2>0$ 、合成输入为0，所以 $f(-x)=-f(x)$ ，函数奇。

（2）在条件①②下证明方向。任取 $0<u<v<1$ ，用 $(u,-v)$ 代①并用已证奇性，得

f(u)-f(v)=f\left(\frac{u-v}{1-uv}\right).

分母正、分子负，且闭合证明保证该输入大于−1，所以它在 $(-1,0)$ 内。条件②使右侧严格正，即 $f(u)>f(v)$ ，故在 $(0,1)$ 严格递减。

（3）先核全部条件。对任意正输入 $t\in(0,1)$ ， $-t$ 在负侧，条件②给 $f(-t)>0$ ；奇性因而给 $f(t)=-f(-t)<0$ 。特别 $f(1/5)$ 必须负，但本问附加 $f(1/5)=1/2>0$ 。这两项直接矛盾，不存在同时满足完整题设的函数，因此第三问没有合法数值答案。

原资料数值与勘误。原解给出的“1”来自只使用①、奇性及附加数值的形式计算：

\frac{1/2-1/7}{1-1/14}=\frac5{13},\qquad \frac{1/5+1/5}{1+1/25}=\frac5{13}.

所以形式上目标为 $f(5/13)=2f(1/5)=1$ 。两次分数计算本身正确，却不能消除②带来的矛盾。前两问在原先①②下的性质证明与新增条件后的无解状态应分开说明，不自行把②或附加值改号来配合参考答案。

本题结论

（1）在①②下为奇函数；（2）在①②下递减；（3）附加条件不相容，无合法数值答案。原解形式值1不能作为全题答案。