焦半径、焦点三角形与准线

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分支决定距离符号；定义压缩未知长度，再以真实三角形与距离比反核。

一、知识点理解概念

1. 两支的焦半径先统一为绝对值

横轴型 $x^2/a^2-y^2/b^2=1$ ， $a,b>0,c=\sqrt{a^2+b^2}$ ，左右焦点为 $F_1=(-c,0),F_2=(c,0)$ ， $e=c/a>1$ 。焦半径是实际非负长度。

将 $y^2=b^2x^2/a^2-b^2$ 代入距离平方，得

PF_1^2=(ex+a)^2,\qquad PF_2^2=(ex-a)^2,

所以全曲线为 $PF_1=|ex+a|,PF_2=|ex-a|$ 。右支 $x\ge a$ 上 $ex-a\ge c-a>0$ ，故分别为 $ex+a,ex-a$ ；左支 $x\le-a$ 上两括号均负，分别为 $-ex-a,-ex+a$ 。右支前者减后者为 $2a$ ，左支反过来，不能让长度变负。

2. 下界、全范围与额外限制

右支近焦半径范围为 $[c-a,+\infty)$ ，远焦半径为 $[c+a,+\infty)$ ，最小值都在右顶点取得；左支互换焦点。不是只有下界：每个 $x\ge a$ 都有实际曲线点 $y=\pm b\sqrt{x^2/a^2-1}$ ，焦半径随 $x$ 线性覆盖整个区间。

若题限定象限、排顶点或另有条件，必须在该范围内再筛，不能拿无约束顶点代所有等号点。

3. 焦点三角形的乘积与面积

只有 $P,F_1,F_2$ 不共线才是非退化三角形，夹角 $\theta=\angle F_1PF_2\in(0,\pi)$ 。实轴两顶点为退化点，面积零，不套其三角形内角推导。

设两焦半径 $r_1,r_2$ ，定义给 $(r_1-r_2)^2=4a^2$ ，所以 $r_1^2+r_2^2=4a^2+2r_1r_2$ 。对焦距边用余弦定理：

4c^2=4a^2+2r_1r_2(1-\cos\theta),\qquad r_1r_2=\frac{2b^2}{1-\cos\theta}.

非退化内角保证分母正。面积因此为

S=\frac12r_1r_2\sin\theta =\frac{b^2\sin\theta}{1-\cos\theta} =b^2\cot\frac\theta2.

最后等式由半角恒等式来，是同一推导，不是脱离条件的万能公式。也可用焦距作底，横轴型 $S=c|y|$ ，纵轴型 $S=c|x|$ ；坐标高法在顶点直接给零。

4. 焦点与准线的距离比（拓展）

横轴型两准线为 $x=\pm a^2/c$ ，与同侧焦点配对。对右焦点，

PF_2=|ex-a|=e\left|x-\frac{a^2}{c}\right|.

右侧绝对值是点到右准线的垂距。 $a^2/c<a<c$ ，曲线 $|x|\ge a$ 不落准线上，准线也不经过其焦点，所以比值有定义且为 $e>1$ 。左侧同理。

反向从该距离比出发，分母非零且两边非负，平方展开得到标准式；其上点自动避准线，非负根恢复原比式，给完整两支，不是指定有向差的一支。这是可用拓展，题中也可直接列点点/点线距离，不必先背准线公式。

二、考点方法与例题

1. 两未知长度先压成和平方与乘积

题出现两焦点、曲线点、夹角、垂直、等腰或面积，先核非退化，读 $a^2,b^2,c^2$ 与焦距 $2c$ 。支明时有向差，支未明且目标对换焦点不敏感时用平方差。

接余弦定理先求 $r_1r_2$ ，再求面积；给面积与直角则反求半轴。坐标已知可改用焦距乘垂高。最后验正长度、严格三角不等式、参数正、指定支/象限及构型存在，不只验代数等式。

例题 01 已知两焦半径夹角

已知 ${F}_{1}$ ， ${F}_{2}$ 分别是双曲线C： $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$ 的左、右两个焦点，点P在双曲线C上，且满足 $\angle {F}_{1}P{F}_{2}={60}^{\circ}$ ，则 $\triangle {F}_{1}P{F}_{2}$ 的面积是（）

A．1 B． $\sqrt{3}$ C．3 D． $3\sqrt{3}$

答案与解析

$a^2=4,b^2=3,c^2=7$ ，焦距平方为 $28$ 。定义给 $(r_1-r_2)^2=16$ ，余弦定理给

28=16+2r_1r_2-2r_1r_2\cos60^\circ=16+r_1r_2.

故乘积为 $12$ ，面积为 $(1/2)\cdot12\cdot\sin60^\circ=3\sqrt3$ ，选 D。A/B/C 均不是该乘积与夹角的面积；差的平方 $16$ 不是平方和，焦距也不是该夹角的邻边。

存在可另核：取右支 $P=(8/\sqrt7,3\sqrt3/\sqrt7)$ ，回代 $x^2/4-y^2/3=16/7-9/7=1$ ；由 $ex= (\sqrt7/2)(8/\sqrt7)=4$ 得 $r_1=6,r_2=2$ 。乘积 $12$ ，余弦 $(36+4-28)/(2\cdot6\cdot2)=1/2$ ，夹角为 $60^\circ$ ，高度法也给 $3\sqrt3$ 。

图中额外字母不另加题设条件；计算只用题给焦点、曲线和夹角。

例题 02 由直角与面积反求双曲线

已知双曲线的中心在原点，两个焦点 ${F}_{1},{F}_{2}$ 分别为 $\left( -\sqrt{5},0\right)$ 和 $\left( \sqrt{5},0\right)$ ，点 $P$ 在双曲线上，且 $P{F}_{1}\perp P{F}_{2}$ ， $\triangle P{F}_{1}{F}_{2}$ 的面积为1，则双曲线的方程为（）

A． $\frac{{x}^{2}}{2}-\frac{{y}^{2}}{3}=1$ B． $\frac{{x}^{2}}{3}-\frac{{y}^{2}}{2}=1$

C． ${x}^{2}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$ D． $\frac{{x}^{2}}{4}-{y}^{2}=1$

答案与解析

焦点给 $c^2=5$ 、焦轴横向。两焦半径 $t_1,t_2$ 在 $P$ 垂直，由勾股 $t_1^2+t_2^2=(2c)^2=20$ ；面积 $1$ 给乘积 $t_1t_2=2$ 。故

(2a)^2=(t_1-t_2)^2=20-2\cdot2=16,

得到 $a^2=4,b^2=c^2-a^2=1>0$ ，方程 $x^2/4-y^2=1$ ，选 D。A/B/C 的实半轴平方不是 $4$ 。

原解利用对称可将 $P$ 取第一象限，不涉及互换两轴。实际取 $P=(2\sqrt{6/5},1/\sqrt5)$ ，曲线左侧 $6/5-1/5=1$ ； $\overrightarrow{PF_1}\cdot\overrightarrow{PF_2}=x^2+y^2-c^2=24/5+1/5-5=0$ ，面积 $c|y|=1$ ，给真正构型。

例题 03 定点距离与定直线距离的比

动点 $M\left( x,y\right)$ 与定点 $F\left( 3,0\right)$ 的距离和它到定直线 $l:x=\frac{4}{3}$ 的距离的比是 $\frac{3}{2}$ ，则动点M的轨迹方程为（）

A． $\frac{{x}^{2}}{5}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$ B． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$ C． $\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{9}=1$ D． $\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{5}=1$

答案与解析

点到直线距离为 $|x-4/3|$ ，原条件先排 $x=4/3$ 。列

\sqrt{(x-3)^2+y^2}=\frac32\left|x-\frac43\right|.

两边非负，平方等价。展开为 $x^2-6x+9+y^2=9x^2/4-6x+4$ ，消去线性项得 $5x^2/4-y^2=5$ ，所以 $x^2/4-y^2/5=1$ ，选 B。

反向该曲线 $|x|\ge2$ ，自动避 $x=4/3$ ；非负平方根恢复等式，再除非零垂距恢复原比值，确为完整两支。A/C/D 不满足展开得到的系数关系。用拓展公式核 $a=2,c=3,e=3/2$ 、右准线 $x=a^2/c=4/3$ ，与直接法一致。