直线与圆的位置关系和参数

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先确认对象成立，再用圆心距或合法二次方程判断交点。

一、知识点理解概念

1. 真圆、真直线与三个交点情形

圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 要求 $r>0$ ；直线 $Ax+By+C=0$ 要求 $A^2+B^2>0$ 。圆心 $O(a,b)$ 到线的距离为

d=\frac{|Aa+Bb+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}.

$d<r$ 有两个不同公共点，称相交； $d=r$ 有一个公共点，称相切； $d>r$ 无公共点，称相离。含参数时，圆与直线各自成立的条件也须检查，不能把退化方程代入这一分类。

2. 交点数来自一条非负平方关系

从圆心向直线作垂足 $H$ ，取沿线的单位方向向量 $\boldsymbol u$ ，令 $X=H+t\boldsymbol u$ ，其中 $t$ 是有向长度。若 $O\ne H$ 且 $X\ne H$ ，用垂直关系与勾股得 $OX^2=d^2+t^2$ ；若 $O=H$ 或 $X=H$ ，直接计算仍得同一等式，不把零线段说成一条垂线。

$X$ 在圆上等价于

t^2=r^2-d^2.

右侧正、零、负时分别有两个、一个、零个实参数，即三种交点情形。相切时 $t=0$ ，切点就是垂足 $H$ 。相交时两参数互为相反数， $H$ 是弦中点，整弦长度为 $2\sqrt{r^2-d^2}$ ，不能少乘 $2$ 。

3. 联立判别式须保证消元式确为二次

整圆与完整直线的交点分类和弦长通常先比 $d$ 与 $r$ ；需要具体交点、中点或范围时，再联立并回查条件。

若直线的 $B\ne0$ ，可用 $y=-(Ax+C)/B$ 代圆，得到关于 $x$ 的二次方程；二次项系数 $1+(A/B)^2>0$ 。此时 $\Delta$ 正、零、负分别对应两不同根、一个重根、无实根，且每个 $x$ 唯一决定 $y$ ，才能对应两点、切点、无点。

若 $B=0$ ，因是真直线故 $A\ne0$ ，直接代 $x=-C/A$ ，得到关于 $y$ 的二次式，二次系数为 $1$ 。竖直线不必也不能强设有限斜率；参数使 $A=B=0$ 时，不再套直线与圆判别式。

二、考点方法与例题

1. 过圆内定点的直线族，先证明距离上界

找直线族定点 $P$ ，若 $OP^2<r^2$ ，圆心到任意过 $P$ 直线的垂距 $d\le OP<r$ ，所以一定有两个不同交点。垂距为点到线最短距离；也可用 $OP^2=OH^2+HP^2$ （退化位置直接计算）解释。

定点在圆上时，过它的线可相切或相交；定点在圆外时，过它的线可能有零、一个、两个交点，不能仅凭定点在外就宣布所有线相离。

例题 01 一族直线与固定圆

已知直线 $l:y=kx+1$ ，圆 $C:(x-1{)}^{2}+{y}^{2}=4,$ 则直线 $l$ 与圆 $C$ 位置关系为（）

A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定

答案与解析

直线 $y=kx+1$ 恒过 $A=(0,1)$ ，圆心 $C=(1,0)$ 、半径 $r=2$ 。 $CA^2=(0-1)^2+1^2=2<4$ ，所以定点在圆内。

对任意实数 $k$ ，直线的 $y$ 系数为 $-1$ ，始终是真直线；圆心到线的距离 $d\le CA=\sqrt2<2$ ，故有两个不同交点，选 B，排除 A、C、D。

此斜率族不包含竖直线 $x=0$ ，但已涵盖题给全部 $k$ 。若另问所有过 $A$ 的直线，竖直线仍因过圆内点而相交，不影响这条几何结论。

2. 参数题先平方距离，再与对象条件取交集

先列 $R=r^2>0,A^2+B^2>0$ ，再算

d^2=\frac{(Aa+Bb+C)^2}{A^2+B^2}.

相交用 $d^2<R$ ，相切用相等，相离用大于。 $d,r$ 非负，因此平方保持大小关系；绝对值等式平方前也要核两边非负。解完与真圆、真直线及原参数范围取交集，再把候选值回代原距离条件。等号代表相切还是对象退化，要分别解释。

例题 02 与圆相切的参数直线

若直线 $l:mx+y-1=0$ 与圆 ${\left( x-2\right)}^{2}+{y}^{2}=4$ 相切，则 $m=$ （）

A． $-\frac{3}{4}$ B．1 C． $\frac{3}{4}$ D． $-\frac{5}{4}$

答案与解析

圆心 $(2,0)$ ，半径 $2$ 。直线 $mx+y-1=0$ 的 $y$ 系数恒为 $1$ ，所以所有实数 $m$ 都给真直线。

相切要求

\frac{|2m-1|}{\sqrt{m^2+1}}=2.

分母始终正，两边非负，可以等价平方： $4m^2-4m+1=4(m^2+1)=4m^2+4$ 。消去 $4m^2$ 得 $-4m+1=4$ ，再得 $-4m=3$ ，所以 $m=-3/4$ ，选 A。

回代分子为 $5/2$ 、分母为 $5/4$ ，距离确为 $2$ ，没有平方增根。方程化成一次式后只有这个根，其余三个选项不满足相切条件。只证明线上某点位于圆上，并不足以证明整条线相切。