物理中的向量：合力、渡河与恒力做功

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先认清对象、方向、参考系与单位，再选择向量加法、数乘或数量积。合量先相加向量再求模；平衡用合力为零，恒力做功则用力与总位移的数量积。

一、知识点概念与依据

1. 物理对象不同，数学运算也不同

力、位移、速度、动量带大小与方向，适合用向量；质量、时间和功是数量。数学自由向量可平移，但实际力还须注明作用物体、作用点。本节力的合成与平衡讨论同一质点的共点力，不能将不同物体或不同位置的力随意搬到一起判平衡。

对象或目标	向量关系	使用前提
共点力合力	$\vec F=\vec F_1+\vec F_2+\cdots$	同一质点，统一力单位
质点平衡	$\vec F=\vec0$	所有力都计入；不代表每个力为零
位移	$\vec s=\overrightarrow{AB}$	A为初位置，B为末位置
匀速运动	$\vec s=t\vec v$	同一参考系，t>0，速度向量恒定
质量m的动量	$\vec p=m\vec v$	m>0，单位kg·m/s，方向同速度
恒力做功	$W=\vec F\cdot\vec s$	使用恒力及总位移，单位一致

位移模是始末点的直线距离，通常不是实际路程。变速时不能把某一瞬时速度乘总时间当总位移。多个物体的总动量是向量和，速度须在同一参考系中，不能将质量、力、功等不同类型量混在同一加法中。

目标	方向选择	不能混淆的条件
能到正对岸时的最短航程	实际速度垂直河岸，船头偏上游	要求u>v，航程为河宽d
可在对岸任意点登陆时的最短时间	船头垂直河岸，使横渡分速度最大	通常被水流带偏，实际航程不是河宽

4. 恒力功是带正负的数量

恒力F与非零位移s的夹角为θ时，沿位移方向的带符号分力为 $|\vec F|\cos\theta$ ，所以

W=|\vec F||\vec s|\cos\theta=\vec F\cdot\vec s.

F、s都非零时， $0\le\theta<\pi/2$ 做正功；θ=π/2做零功； $\pi/2<\theta\le\pi$ 做负功。同向和反向两端也包含在内。F或s为零则直接W=0，不需要夹角。

力用N、位移用m时，功的单位为J。功没有方向，不能把模乘积不加余弦就当成功。恒力沿曲线路径做功也由总位移决定；力变化时需另分段或采用后续方法，不能机械套同一个恒力式。

5. 单位换算与起终点都属于模型

速度为km/h、河宽为m时，先将宽度除以1000变为km，再以距离除速度得到小时，乘60变为分钟。力、位置坐标及题目指定的功单位要一致；题目没有指明具体单位时，只按统一的题设单位计算，不任意补单位。

从A到B的位移是B−A；改成A−B会反转位移，并使同一恒力的功变号。多个恒力做总功可先合力，因数量积满足分配律：

(\vec F_1+\vec F_2)\cdot\vec s=\vec F_1\cdot\vec s+\vec F_2\cdot\vec s.

二、考点方法与例题

1. 平衡先合力，再逐分量抵消

给坐标时先求所有已知力之和，再整体取相反向量；给模和夹角时，先由点积求合力模，平衡力的模与它相同。注意模平方还不是模。

例题 01 第四个力使质点平衡

题目

已知三个力 $\vec{{F}_{1}}=\left( 3,4\right)$ ， $\vec{{F}_{2}}=\left( 2,-5\right)$ ， $\vec{{F}_{3}}=\left( 3,1\right)$ 同时作用于某质点上，若对该质点再施加一个力 $\vec{{F}_{4}}$ ，该质点恰好达到平衡状态（合力为零），则 $\vec{{F}_{4}}=$ （）

A． $\left( 8,0\right)$ B． $\left( 8,-8\right)$ C． $\left( -8,0\right)$ D． $\left( -8,8\right)$

答案与解析

解析

三个已知力的合力为

\vec F_1+\vec F_2+\vec F_3=(3+2+3,4-5+1)=(8,0).

为使总合力为零， $\vec F_4=-(8,0)=(-8,0)$ ，选C。A使总力为(16,0)，B使总力为(16,−8)，D使总力为(0,8)，均不平衡。必须两个分量都归零，不能只看一个分量。

题目未列具体力单位，结果沿用题设统一单位，不另补数值单位。

本题结论

选C， $\vec F_4=(-8,0)$ 。

平面上三个力 $\vec{{F}_{1}}$ ， $\vec{{F}_{2}}$ ， $\vec{{F}_{3}}$ 作用于一点且处于平衡状态， $\left| \vec{{F}_{1}}\right|=1N,\left| \vec{{F}_{2}}\right|=\sqrt{2}N$ ， $\vec{{F}_{1}}$ 与 $\vec{{F}_{2}}$ 的夹角为45°，则 $\left| \vec{{F}_{3}}\right|$ 的大小为（）

A． $\sqrt{3}N$ B．5N C． $\sqrt{5}N$ D． $\sqrt{6}N$

答案与解析

解析

由平衡条件， $\vec F_3=-(\vec F_1+\vec F_2)$ ，相反向量模相同。两已知力夹45°，不是同向，因此

|\vec F_3|^2=1^2+(\sqrt2)^2+2\times1\times\sqrt2\cos45^\circ=1+2+2=5,

故 $|\vec F_3|=\sqrt5\,\mathrm N$ ，选C。A漏掉交叉项，B把模平方数值当模，D算错交叉项。直接相加两个模会得 $1+\sqrt2$ ，但只有同向合力才取该上界。

本题结论

选C，平衡力大小 $\sqrt5\,\mathrm N$ 。

2. 航行先定实际方向，再求船头与速度

写清相对水、相对岸两个速度，按目标将合速度方向转为分量或点积条件。正对岸时抵消水流分量，再求实际速度模；时间用实际路径长度与相应速度计算，单位一致后才能除。

例题 03 向正北港口航行的实际速度

题目

某货船执行从 $A$ 港口到 $B$ 港口的航行任务， $B$ 港口在 $A$ 港口的正北方向，已知河水的速度为向东 $2m/s$ ．若货船在静水中的航速为 $4m/s$ ，船长调整船头方向航行，使得实际路程最短．则该船完成此段航行的实际速度为（）

A． $2m/s$ B． $2\sqrt{3}m/s$ C． $4m/s$ D． $2\sqrt{5}m/s$

答案与解析

解析

船相对水速度需要向西分量抵消东向水流。

以东为x正向、北为y正向，水速为(2,0)。为使实际航程沿AB直线正北，船相对水速度的横分量必须为−2。其模为4，北向分量取正，故为 $\sqrt{4^2-2^2}=2\sqrt3$ 。

实际速度向量为 $(0,2\sqrt3)$ ，方向正北，大小 $2\sqrt3\,\mathrm{m/s}$ ，选B。也可由合速度与水流垂直列

4\times2\cos\theta+2^2=0,

得cosθ=−1/2，θ=2π/3，再展开合速度模平方 $16+4-8=12$ 。

A仅减两模，C仍当作静水速，D对应船头与水流垂直的情况，均不满足实际航程正北。

本题结论

选B，实际速度向正北，大小 $2\sqrt3\,\mathrm{m/s}$ 。

例题 04 最短航程下逐项判断速度与时间

题目

如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度 ${{v}_{1}}^{\to }$ 的大小为 $|{{v}_{1}}^{\to }|=8km/h$ ，水流速度 ${{v}_{2}}^{\to }$ 的大小为 $|{{v}_{2}}^{\to }|=2km/h$ ，船的速度与水流速度的合速度为 ${v}^{\to }$ ，那么当航程最短时，下列说法正确的是（）

A．船头方向与水流方向垂直 B． $\cos <{{v}_{1}}^{\to },{{v}_{2}}^{\to }>=-\frac{1}{4}$

C． $|{v}^{\to }|=2\sqrt{17}km/h$ D．该船到达对岸所需时间为3分钟

答案与解析

解析

水流向右，船头须向上游偏。

静水速8大于水速2，可以抵消沿岸分量。最短航程为河宽0.4 km，实际速度垂直河岸。由 $\vec v=\vec v_1+\vec v_2$ 且 $\vec v\cdot\vec v_2=0$ ，得

8\times2\cos\theta+2^2=0,\qquad\cos\theta=-\frac14.

因此B正确。船头必须向上游偏，不能与水流垂直，A错误。实际速度大小为 $\sqrt{8^2-2^2}=2\sqrt{15}\,\mathrm{km/h}$ ，C误用了平方和，错误。

渡河时间

t=\frac{0.4}{2\sqrt{15}}\times60=\frac{4\sqrt{15}}5\text{分钟}\approx3.098\text{分钟}.

这不是精确3分钟，D错误。3分钟对应船头垂直河岸、允许漂到别处的最短时间，而不是本题最短航程所需时间。

本题结论

选B；实际速度模 $2\sqrt{15}\,\mathrm{km/h}$ ，时间 $4\sqrt{15}/5$ 分钟。

3. 合力与位移做点积，不把功当向量

恒力已知，先求从初位置到末位置的位移；多个恒力可先合成，也可各算功再相加。最后所得是有正负的数，按题目给出的单位作答，不取绝对值。

例题 05 对数分量的两个共点力做总功

题目

共点力 $\vec{{F}_{1}}=\left( lg5,1\right),\vec{{F}_{2}}=\left( lg4,0\right)$ 作用在物体 $M$ 上，产生位移 $\vec{S}=\left( 1,lg5\right)$ ，则这两个共点力对物体 $M$ 做的功为（　　）

A． $1$ B． $2$ C． $2lg5$ D． $5lg2$

答案与解析

解析

常用对数满足 $\lg5+\lg4=\lg20$ ，所以合力为 $(\lg20,1)$ 。总功

W=(\vec F_1+\vec F_2)\cdot\vec S =\lg20+\lg5=\lg100=2.

选B。分开算也有 $W_1=2\lg5,W_2=\lg4$ ，相加仍为2。A数值不符，C漏掉第二个力的功，D为 $5\lg2=\lg32\ne\lg100$ 。题目未指定具体单位，因此只给题设数值2，不额外假定为2 J。

本题结论

选B，总功数值为2。

例题 06 初末位置决定恒力功的符号

题目

一物体在力 $\vec{F}$ 的作用下，由 $A\left( 16,6\right)$ 移动到 $B\left( 10,2\right)$ .已知 $\vec{F}=\left( 2,-1\right)$ ，则 $\vec{F}$ 对该物体所做的功为（） $J$

A． $-8$ B．26 C．8 D．18

答案与解析

解析

从A到B的位移为

\overrightarrow{AB}=(10-16,2-6)=(-6,-4).

恒力与位移的点积

W=(2,-1)\cdot(-6,-4)=-12+4=-8\,\mathrm J,

选A。C的+8对应反向位移，B、D都不是完整两分量点积。题目以J为功单位，按一致的N、m单位计算。

负功表示这份恒力在总位移方向上的分量反向，不表示路程或位移模为负；功也不是一个负方向的向量。

本题结论

选A， $W=-8\,\mathrm J$ 。