位置向量与分点：系数、方向和长度比

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固定公共起点，点的位置就能转成向量表达式。分点系数带方向，线段长度不带方向；“系数和为1”能表示一条直线，却不是任意共线表示都能反推出的无条件结论。

一、知识点概念与依据

1. 位置向量统一了不同起点的箭头

固定参考点O，从O指向P的 $\overrightarrow{OP}$ 是P的位置向量。由首尾相接，

\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}.

这是终点的位置向量减起点的位置向量，不要求建立直角坐标系。各项改成同一公共起点后才能直接合并；不同起点的几条箭头，不能只看系数就读长度比。

2. 一个带符号参数描述整条分点直线

A、B不同，若 $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AB}$ ，则

t	P的位置	方向信息
$t<0$	A的外侧	AP与AB反向
$t=0$	A	AP为零向量
$0<t<1$	线段AB内部	AP、PB与AB同向
$t=1$	B	PB为零向量
$t>1$	B的外侧	AP与AB同向，PB与AB反向

由数乘的模公式， $AP=|t|AB$ 、 $PB=|1-t|AB$ 。不在端点时，正长度比为 $AP:PB=|t|:|1-t|$ ；端点处某段长为0，不可再将相应零长度作分母。内分时才可去掉两个绝对值。

3. 分点公式来自先到A再到P

任取O，代入分点关系得

\begin{aligned} \overrightarrow{OP} &=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{AP}\\ &=\overrightarrow{OA}+t(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA})\\ &=(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}. \end{aligned}

若P内分AB且 $AP:PB=m:n$ ，其中m、n正， $AB=AP+PB$ 给 $t=m/(m+n)$ ，所以

\overrightarrow{OP}=\frac n{m+n}\overrightarrow{OA} +\frac m{m+n}\overrightarrow{OB}.

A的系数对应PB，B的系数对应AP，次序相反。P越靠近A，AP越小，B的系数也越小。中点时两系数均为1/2，即端点位置向量的平均值；上述正向推导不要求O离开直线AB。

4. 系数和为1：正向与反向条件不同

若A≠B，标准式 $(1-t)\overrightarrow{OA}+t\overrightarrow{OB}$ 必定表示直线AB上一点，不论O在哪里。

反过来，若已经给出 $\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\mu\overrightarrow{OB}$ ，再从P、A、B共线推出“这两个给定系数”满足 $\lambda+\mu=1$ ，需O不在直线AB上，使OA、OB不共线。此时将它与标准分点式比较系数，才有 $\lambda=1-t,\mu=t$ 。

若O在直线AB上，表示不唯一。例如O=A、P=B，则 $\overrightarrow{OA}=\vec0$ ，对任意λ都可写 $\overrightarrow{OP}=\lambda\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$ ；点当然共线，但系数和λ+1不一定为1。不能将正向成立的条件直接照搬成反向结论。

5. 重心的平均式来自三条中线

在非退化三角形ABC中，D为BC中点，有 $\overrightarrow{AD}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})/2$ 。取

\overrightarrow{AG}=\frac{\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}}3 =\frac23\overrightarrow{AD},

则G在中线AD上且 $AG:GD=2:1$ 。从B、C出发同样可得对应中线上的2:1关系，所以该点是三条中线的交点，即重心。

换任意公共起点O，可写

\overrightarrow{OG}=\frac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}}3 \quad\Longleftrightarrow\quad \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\vec0.

把 $\overrightarrow{GA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OG}$ 等三式相加即得两种形式的等价性。若只给 $\overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GD}$ ，必须还知道D为BC中点，才能据此判G为重心；任意线段上的2:1分点不自动是重心。

6. 单位边向量的和指向内角平分线

令 $\vec u=\overrightarrow{AB}/|\overrightarrow{AB}|$ 、 $\vec v=\overrightarrow{AC}/|\overrightarrow{AC}|$ 。它们都是从A出发、长为1的箭头，以它们为邻边作平行四边形得到菱形，和向量沿从A出发的对角线。菱形对角线平分邻边夹角，因此

\overrightarrow{AP}=t(\vec u+\vec v),\qquad t\ge0,

描述内角平分射线，经过三角形内心；t遍历全体实数则描述整条角平分线。三角形两边非零且不反向，保证归一化合法、和向量非零。

若不先归一化， $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AD}$ 只指向中线方向，一般不是角平分线。重心看中线，内心看内角平分线；外心需要等距条件，垂心需要高线的垂直条件，不能仅凭系数或点名混用。

二、考点方法与例题

1. 向量倍数先统一公共起点

先明确倍数关系中的哪条线段共线、哪个箭头非零，再将各项改成同一公共起点的差。单个倍数可控制方向与模，多个不同方向的线性组合系数却不能直接当作线段长度比。

例题 01 分点条件改为同一起点

题目

在 $\triangle ABC$ 中， $\vec{BC}=3\vec{BD}$ ，则 $\vec{AC}=$ （）

A． $4\vec{AD}-3\vec{AB}$ B． $3\vec{AD}-4\vec{AB}$ C． $3\vec{AD}-2\vec{AB}$ D． $2\vec{AD}-3\vec{AB}$

答案与解析

解析

分点关系在BC上，统一表达时选A为公共起点。

由 $\overrightarrow{BC}=3\overrightarrow{BD}$ ，D在B到C的三分之一处。改为A起点，

\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB} =3(\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}).

展开并将AB移项，得 $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{AB}$ ，选C。

A、B、D的系数不能满足原分点关系。AD与AB不共线，系数表达唯一，因此不能用其它系数组合代替。这里BC是BD的3倍，即BD是BC的1/3，不能据此说AD与AC共线或长度成三倍。

本题结论

选C， $\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{AD}-2\overrightarrow{AB}$ 。

例题 02 内分比例与箭头正负

题目

点 $C$ 在线段 $AB$ 上，且 $\frac{AC}{CB}=\frac{5}{2}$ ，则下列选项正确的是（）

A． $\vec{AC}=\frac{5}{7}\vec{AB}$ B． $\vec{AC}=\frac{2}{5}\vec{CB}$

C． $\vec{BC}=\frac{2}{7}\vec{AB}$ D． $\vec{BC}=-\frac{5}{2}\vec{BA}$

答案与解析

解析

C在线段AB内部， $AC:CB=5:2$ ，故把AB分成7份，AC占5份、CB占2份。AC与AB同向，BC则与AB反向。

选项	应有关系	判断
A	$\overrightarrow{AC}=5\overrightarrow{AB}/7$	正确
B	$\overrightarrow{AC}=5\overrightarrow{CB}/2$	题中倒置比值
C	$\overrightarrow{BC}=-2\overrightarrow{AB}/7$	题中漏负号
D	$\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BA}/7$	题中方向和倍率均不符

所以选A。正确的等式链是 $\overrightarrow{BC}=\frac27\overrightarrow{BA}=-\frac27\overrightarrow{AB}$ ，不能把中间BA误写成CA：CA只占AB长度的5/7，再乘2/7便不等于BC。

本题结论

选A。

2. 两种交点表示，用非共线参照比较

对每条分点直线，先设一个带符号参数，标明内分或外分范围。
将交点改写成同一公共起点下的线性组合。
只有参照不共线时才逐项比较；若用系数和为1，说明公共起点在线外或直接从标准分点式推导。
还原长度比时取绝对值，并确认所求是部分对整体还是两部分之比。

例题 03 交点两种表示中的系数和

题目

如图，设 $\vec{AB}=x\vec{AD}$ ， $\vec{AC}=y\vec{AE}$ ，线段 $DE$ 与 $BC$ 交于点F，且 $\vec{BF}=\frac{1}{5}\vec{BC}$ ，则 $4x+y=$ （）

A．4 B．3 C． $\frac{5}{2}$ D．5

答案与解析

解析

先由BC上的分点条件，

\begin{aligned} \overrightarrow{AF} &=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BF}\\ &=\overrightarrow{AB}+\frac15(\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB})\\ &=\frac45\overrightarrow{AB}+\frac15\overrightarrow{AC}\\ &=\frac{4x}5\overrightarrow{AD}+\frac y5\overrightarrow{AE}. \end{aligned}

F又在DE上，设 $\overrightarrow{DF}=t\overrightarrow{DE}$ ，则

\overrightarrow{AF}=(1-t)\overrightarrow{AD}+t\overrightarrow{AE}.

图中A、D、E不共线，AD、AE可比较系数，得 $4x/5=1-t,y/5=t$ 。相加即 $(4x+y)/5=1$ ，故 $4x+y=5$ ，选D；A、B、C都不满足两种交点表示。

$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BC}/5$ 对应 $BF:FC=1:4$ ，不是1:5。以DE为端点的系数已经变为 $4x/5,y/5$ ，不能把x:y直接当DF:FE。

本题结论

选D， $4x+y=5$ 。

例题 04 系数相等不一定对应边的中点

题目

在 $\triangle ABC$ 中，M为边 $BC$ 中点，N为 $AM$ 的中点， $\vec{AN}=\lambda \vec{AB}+\mu \vec{AC}$ ，则 $\lambda +2\mu =$ （　　）

A． $\frac{1}{4}$ B． $\frac{1}{2}$ C． $\frac{3}{4}$ D．1

答案与解析

解析

先确认N所在的是哪一条线段。

M为BC中点， $\overrightarrow{AM}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})/2$ ；N为AM中点，再除以2，得到

\overrightarrow{AN}=\frac14\overrightarrow{AB}+\frac14\overrightarrow{AC}.

AB与AC不共线，所以 $\lambda=\mu=1/4$ ， $\lambda+2\mu=3/4$ ，选C。A仅取λ，B漏掉目标中的2，D也不符合两次中点关系。

两系数虽相等，和却为1/2而不是1，N不在BC上。不能从 $1/4:1/4$ 就称N为BC中点；真正的BC中点是M，N只是中线AM的中点。

本题结论

选C， $\lambda+2\mu=3/4$ 。