条件概率与条件乘法

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“已知”改变了比较的范围。把条件写在竖线右边，先保留条件内的结果并重新归一，再讨论联合事件、逆向信息和连续步骤。

知识点

在正概率的条件范围内重新归一

在同一随机试验中，已知 $A$ 发生后 $B$ 的概率定义为

P(B\mid A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)},\qquad P(A)>0.

$AB$ 是交集 $A\cap B$ 的简写。分子为条件内也满足目标的部分，分母为整个条件范围。条件不必在时间上先发生，也不自动表示因果关系。 $P(A)=0$ 时这个比值未定义，不能把 $0/0$ 记成0。

有限等可能模型中，共同的原空间分母消去，得到 $P(B\mid A)=n(AB)/n(A)$ 。若原基本结果权重不同，筛选后不能把各类别强行均分，仍须按概率比计算。

同一条件下仍有概率的基本性质

因为 $AB\subseteq A$ ，故 $0\le P(AB)\le P(A)$ ，除以正分母得 $0\le P(B\mid A)\le1$ 。

条件与目标的关系	在 $P(A)>0$ 下的结论
$A\subseteq B$	$P(B\mid A)=1$
$A,B$ 互斥	$P(B\mid A)=0$
目标为条件自身	$P(A\mid A)=1$
$B_1,B_2$ 互斥	$P(B_1\cup B_2\mid A)=P(B_1\mid A)+P(B_2\mid A)$
目标与其补集	$P(\overline B\mid A)=1-P(B\mid A)$

后两式由 $AB_1,AB_2$ 仍互斥，以及 $AB,A\overline B$ 恰覆盖 $A$ 得到。不能把不同条件下的概率直接用这两式相加或取补。

即使两个无条件概率都严格在 $(0,1)$ 内，条件概率仍可为0或1。若 $P(A)>0$ ，独立当且仅当 $P(B\mid A)=P(B)$ ，将等式乘回 $P(A)$ 即得独立判据。

一般乘法保留条件，不要求独立

将定义两边乘回正分母，得到

P(AB)=P(A)P(B\mid A).

若 $P(B)>0$ ，也等于 $P(B)P(A\mid B)$ 。只有已知或证明独立，才可将条件概率换成无条件概率。

若 $P(A)>0$ 且 $P(AB)>0$ ，再把 $AB$ 作为条件，有

P(ABC)=P(AB)P(C\mid AB) =P(A)P(B\mid A)P(C\mid AB).

后一步要保留此前整个历史，而不只是最近一个事件。某历史概率为0，其联合分支也为0，应停止该分支计算，不写“0乘未定义的条件概率”。

考点

按条件筛选，再计算目标份额

先用文字说明条件及目标，核条件概率为正，再计算交事件与条件事件。至少一人、恰一人、只某一人是不同事件，不能交换。

例题 01 两人活动小组

题目

某医学院校计划从5名男生和3名女生中选派2人参加义诊活动，则在派出的2人中有男生的条件下，另一人恰好是女生的概率是（）

A． $\frac{3}{4}$ B． $\frac{4}{5}$ C． $\frac{3}{5}$ D． $\frac{2}{5}$

答案与解析

解析

按所有二人小组等可能的抽取模型，条件“有男生”含两男与一男一女，共 $\binom52+5\times3=10+15=25$ 组。目标“一男一女”占15组，所以条件概率 $15/25=3/5$ 。全部 $\binom82=28$ 组中有三组两女已被条件排除，不能仍用28作分母；其余选项均不是目标在条件内的份额。

本题结论

C，3/5。

例题 02 已知靶被射中

题目

甲、乙分别用弓箭对准同一个弓箭靶，两人同时射箭.已知甲、乙中靶的概率分别为0.5和0.4，且两人是否中靶互不影响，若弓箭靶被射中，则只被乙射中的概率为（）

A． $\frac{3}{8}$ B． $\frac{1}{4}$ C． $\frac{3}{7}$ D． $\frac{2}{7}$

答案与解析

解析

记甲中为 $A$ 、乙中为 $B$ ，条件是 $C=A\cup B$ ，目标是 $\overline A B$ 。题已给独立，所以

P(C)=1-(1-0.5)(1-0.4)=0.7,\qquad P(\overline A B)=(1-0.5)\times0.4=0.2.

目标已包含于条件，故所求 $0.2/0.7=2/7$ ，选D。不能把条件“有人中”换成“乙中”，也不能把目标写成两人都中。

筛选后原独立性不保留： $P(A\mid C)=5/7$ ， $P(B\mid C)=4/7$ ，而 $P(AB\mid C)=2/7\ne20/49$ 。

本题结论

D，2/7。

换方向先还原共同交事件

$P(A\mid B)$ 与 $P(B\mid A)$ 的分子都是 $P(AB)$ ，分母却不同。先乘条件分母求交，再除新条件分母；不能直接调换字母。参数题同样先设联合量，再检查

0\le P(AB)\le\min\{P(A),P(B)\},\qquad P(A)+P(B)-P(AB)\le1.

各条件分母还必须正；只求一方向或联合概率，不必凭空增加未知独立性。

例题 03 两个方向的条件概率

题目

已知事件 $A$ 发生的概率为0.4，事件 $B$ 发生的概率为0.5，若在事件 $B$ 发生的条件下，事件 $A$ 发生的概率为0.6，则在事件 $A$ 发生的条件下，事件 $B$ 发生的概率为（）

A．0.85 B．0.8 C．0.75 D．0.7

答案与解析

解析

已知 $P(A\mid B)=0.6$ ，其分母是 $P(B)=0.5$ ，所以 $P(AB)=0.6\times0.5=0.3$ 。换向时分母为 $P(A)=0.4$ ，故 $P(B\mid A)=0.3/0.4=0.75$ ，选C。交概率不大于两个边际，且并概率 $0.4+0.5-0.3=0.6\le1$ ，合法。其他三个选项不等于此比值。

本题结论

C，0.75。

例题 04 由条件比例求联合概率

题目

已知事件 $A,B$ ，若 $P\left( \left. B\right|A\right)=\frac{3}{4}$ ， $P\left( A\right)=\frac{1}{3}$ ，则 $P\left( AB\right)=$ （）

A． $\frac{1}{4}$ B． $\frac{1}{2}$ C． $\frac{2}{3}$ D． $\frac{3}{4}$

答案与解析

解析

$A$ 占全部试验的 $1/3$ ，其中 $B$ 占 $3/4$ ，所以 $P(AB)=(1/3)(3/4)=1/4$ ，选A。这里使用一般条件乘法，不要求独立，也没有把 $P(B\mid A)$ 当成 $P(B)$ 。交概率不超过 $P(A)=1/3$ ；B、C、D均大于该边际，亦可排除。

本题结论

A，1/4。

例题 05 条件公式的恒真判断

题目

假设A，B是两个事件，且 $P\left( A\right)>0$ ， $P\left( B\right)>0$ ，则下列结论一定正确的是（）

A． $P\left( A\left| B\right.\right)P\left( B\right)=P\left( AB\right)$ B． $P\left( A\mid B\right)=P\left( B\left| A\right.\right)$

C． $P\left( A\left| B\right.\right)\le P\left( A\right)P\left( B\right)$ D． $P\left( A\left| B\right.\right)\le P\left( A\right)$

答案与解析

解析

A由条件概率定义乘回 $P(B)>0$ ，必然成立。

B不恒真：如上一题型 $P(A)=0.4,P(B)=0.5,P(AB)=0.3$ ，则两个方向分别0.6、0.75。

C、D可用同一骰子反例： $A$ 为点数偶数， $B$ 为点数至少4。二者概率均 $1/2$ ，交事件为4、6，概率 $1/3$ ，故 $P(A\mid B)=2/3$ 。它既大于 $P(A)P(B)=1/4$ ，也大于 $P(A)=1/2$ 。明确的严格反例足以否定两个“必然不超过”。

本题结论

A。

多阶段路径：更新剩余组成与来源权重

每条路径先记来源、前次结果、后续剩余对象，再乘对应条件概率。无放回抽中目标时，目标数与总数同时减一；抽中其他对象只减总数。放回恢复组成，但独立还需随机机制支持。若多个互斥路径通向目标，分别乘再相加；最终所问仍带条件，还须再除条件事件概率。

例题 06 选袋后连续取球

题目

甲袋中有3个白球和2个红球，乙袋中有2个白球和3个红球.先随机取一只袋，再从该袋中先后随机取2个球.

(1)求随机取到的是甲袋且从中取出的两球均为白球的概率；

(2)求第一次取出的是白球的概率；

(3)求第一次取出的是白球的前提下，第二次取出的依然是白球的概率；

答案与解析

解析

题面没有明确放回与否。以下沿原解按两袋等可能选取、袋内不放回均匀取球计算，不把额外口径悄悄写成题给事实。记袋来源为 $A_1,A_2$ ，两次白球为 $W_1,W_2$ 。

来源	选袋概率	首白条件概率	首白后再白	来源且两白
甲	$1/2$	$3/5$	$2/4$	$3/20$
乙	$1/2$	$2/5$	$1/4$	$1/20$

（1）目标包含选甲袋，所以 $P(A_1W_1W_2)=(1/2)(3/5)(2/4)=3/20$ ，不能漏选袋权重。

（2）按来源相加， $P(W_1)=(1/2)(3/5)+(1/2)(2/5)=1/2$ 。

（3）两白联合概率为 $3/20+1/20=1/5$ ，所以

P(W_2\mid W_1)=\frac{1/5}{1/2}=\frac25.

也可先更新袋的来源：已知首白，甲袋后验为 $[(1/2)(3/5)]/(1/2)=3/5$ ，乙为 $2/5$ ，再计算 $(3/5)(2/4)+(2/5)(1/4)=2/5$ 。

两个白球的无条件边际都为 $1/2$ ，但联合为 $1/5\ne1/4$ ，不能因边际相等称独立。若每次放回且在所选袋内独立抽取，则（1）变为 $9/50$ ，（2）仍 $1/2$ ，（3）为 $13/25$ ；来源未知也使整体两次不必独立。

本题结论

按不放回模型：（1）3/20；（2）1/2；（3）2/5。

坑点

零分母不是零概率，严格不等式另有条件

若 $P(A)=0$ ，只能由包含关系推出 $P(AB)=0$ ，不能定义此处 $P(B\mid A)$ 。若 $P(A)>0$ 而 $B$ 不可能，才有条件概率0。

一般有 $P(B\mid A)\ge P(AB)$ ，因为分母在 $(0,1]$ ；要严格大于，还需 $P(A)<1$ 且 $P(AB)>0$ ，不能遗漏交事件正概率条件。

辨析 01 条件概率的边界

题目

下列说法正确的是（）

A． $P\left( B\left| A\right.\right)<P\left( AB\right)$ B． $P\left( B\left| A\right.\right)=\frac{P\left( B\right)}{P\left( A\right)}$ 是可能的

C． $0<P\left( B\left| A\right.\right)<1$ D． $P\left( A\left| A\right.\right)=0$

答案与解析

解析

所有条件式先以 $P(A)>0$ 为前提。A与一般关系 $P(B\mid A)\ge P(AB)$ 相反，不正确。B可能成立，例如 $B\subseteq A$ 时 $AB=B$ ，便有 $P(B\mid A)=P(B)/P(A)$ 。C错误排除了0、1，例如互斥时为0， $A\subseteq B$ 时为1。D由 $AA=A$ 知 $P(A\mid A)=1$ ，不是0。

原解把条件不可能时也写成0，并将一般关系写作严格大于，都需修正：条件概率为0的分母仍须正，严格大于也另需交概率正。

本题结论

B。

先后顺序不证明独立，条件筛选也不保独立

射箭例题中原事件独立，但限定“有人中”后不独立；两袋取球中，观察首球颜色同时改变剩余组成与来源后验。一般式始终保留历史条件，只有独立依据允许时才简化。