简单随机抽样：实施规则与三种抽中概率

约 3033 字大约 10 分钟

“第几次抽到”“已知还未抽到”“最终进名单”问的是不同事件。先写放回规则和已知条件，再选分母。

一、知识点概念与依据

简单随机抽样首先是一套逐次规则

有限总体有 $N$ 个单位， $N$ 为正整数。每一步在给定此前抽取结果后，按指定方式让可抽单位有同样机会，才是这里的简单随机抽样实现。

不放回：第 $j$ 次开始剩 $N-j+1$ 个，每个剩余单位条件抽中率 $1/(N-j+1)$ ，已抽者为0。 $1\le n\le N$ ，得到 $n$ 个不同单位； $n=N$ 时全体入样，相当于普查， $n>N$ 不可行。
放回：每次恢复总体，给定过去后各单位条件抽中率仍 $1/N$ ，允许同一单位重复。正整数 $n$ 可超过 $N$ ，有 $n$ 条记录但不同单位数可更少。

最终每个单位概率相同只是必要特征，不能代替正确的逐次等可能规则。按身高排序或就近取样含指定偏好；不同类型也可以简单随机抽，只是某些目标更适合分层。抽签适合较小总体是操作便利，不是定义要求总体必须小。

位置概率为什么仍是1/N

不放回抽取 $n$ 次，固定抽取位置满足 $1\le j\le n\le N$ 。固定单位在前 $j-1$ 次都未抽中， $j\ge2$ 时的条件概率连乘为

\frac{N-1}{N}\frac{N-2}{N-1}\cdots\frac{N-j+1}{N-j+2}=\frac{N-j+1}{N}.

$j=1$ 时前0次未抽到概率1，同式仍成立。再乘从剩余总体抽中它的条件概率，得

P(\text{第 }j\text{ 次抽中})=\frac{N-j+1}{N}\frac1{N-j+1}=\frac1N.

问题（不放回）	概率	需要区别的条件
已知前 $j-1$ 次未抽中，第 $j$ 次抽中	$1/(N-j+1)$	已知该单位仍在剩余总体
抽样开始前问固定第 $j$ 次抽中	$1/N$	先乘此前未抽中的概率
最终进入 $n$ 人样本	$n/N$	$n$ 个抽中位置互斥，相加
已知此前已抽中，下一次再抽中	0	已移出不放回总体

放回且每次给定过去仍均匀时，各次条件及无条件率为 $1/N$ ；至少入样一次的概率是

1-\left(1-\frac1N\right)^n,

来自“每次都没抽到”的补事件，不能用可能超过1的 $n/N$ 。

二、考点方法与例题

抽签与随机数实施流程

一一编号且位数一致，范围从000还是001开始依题给规定，不漏号重复号。
号签形状质地无区别，容器不透明且充分混匀；或用指定范围中等可能随机整数替代。不能挑顺眼的号码。
先定随机数表的起点、方向、换行方式，列通常指单个数字位置；印刷空格不是编号边界。从起点按所需位数连续分组，不重叠滑动。
越界号码舍去，不放回还舍已接受的重复号码；舍弃不改变后续分组起点。放回方案允许重复记录，不照搬去重。
不放回时接受 $n$ 个不同合法编号；放回时计满 $n$ 条抽样记录，再还原单位，核记录数、范围和重复情况。

起点与方向必须预定或随机独立决定，不能先看数字再选满意位置。公平性依赖生成机制，不是说固定印刷表中某段已知数字本身仍在随机变化；拒绝后下一个接受号应在剩余合法编号中等可能。

例题 01 辨别抽取安排

题目

下列抽样方法是简单随机抽样的是（）

A．在某年明信片销售活动中，规定每100万枚为一个开奖组，号码的后四位是2709的为三等奖

B．某车间包装一种产品，在自动包装传送带上，每隔30分钟抽一包产品，称其重量是否合格

C．从8台电脑中逐个不放回地随机抽取2台，进行质量检验，假设8台电脑已编好号，对编号随机抽取

D．仓库中有1万支奥运火炬，从中一次性就近抽取100支火炬进行质量检查

答案与解析

解析

A采用指定尾号规则，不是逐次对全部可抽编号等可能抽取。B按固定时间间隔安排，不是本题的逐次均匀随机抽，生产若有周期还可能影响代表性。C明确编号、逐个不放回随机抽取，满足这里的规则，选C。D的“就近”偏向方便位置，不具等可能保证；错因不是单凭“一次性”三个字就能断定所有批量随机选样都不公平。

本题结论

例题 02 设计班级抽签方案

题目

某班有50名学生，现选取6名学生参加一个讨论会，每名学生被选到的机会相等．请用抽签法设计一个选取方案．

答案与解析

解析

依次实施：

为50名学生编唯一号码01至50。
将号码写在形状、大小、质地相同且无法从外观辨认号码的号签上。
放入不透明容器充分混匀。
逐个不放回抽6签，记录号码，邀请相应6名不同学生。

同质、遮蔽、混匀维持剩余号签等可能，编号使签与学生一一对应。每人最终入样概率 $6/50$ 。仅说“随机选6人”没有完成题目要求的实施设计。

本题结论

编号、制同质签、不透明容器混匀、逐个不放回抽6签并还原学生。

例题 03 按指定位置读随机数表

题目

某高校对中文系新生进行体测，利用随机数表对400名学生进行抽样，先将400名学生进行编号，001，002，……，399，400．从中抽取40个样本，如图提供随机数表的第4行到第6行，若从表中第5行第6列开始向右读取数据，则得到的第4个样本编号是（）

32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78

84 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68

32 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77

A．328 B．253 C．007 D．860

答案与解析

解析

编号001至400需要3位。第5行去印刷空格后的开头为844212533134……，第6个单独数字是2，从此连续每3位分组，不能按原印刷的两位空格读。

读到的号码	处理	接受次序
253	合法、首次	1
313	合法、首次	2
457、860、736	超过400，舍弃	不增加
253	已接受过，舍弃	不增加
007	合法、首次，前导0保留	3
328	合法、首次	4

第4个被接受的编号为328，选A。B的253是第1个，C的007是第3个，D越界。舍弃不会将读取指针重新移位，也不是第4个读到的三位数组。

本题结论

A，328

抽样机会先分时点与条件

读出总体 $N$ 、次数 $n$ 、所问位置 $j$ ，确认是否放回、是否已知前面结果。最终入样用互斥位置求和，反求 $N=n/p$ 时也须核正概率、整数人数及 $n\le N$ 。各层机会还应按实际配额与层容量另算。

例题 04 第一次与第五次

题目

用抽签法从学号为1到50的50名学生（其中含学生李华）中不放回抽取5名学生进行问卷调查，每次抽取一个号码，共抽取5次，设李华第一次被抽到的概率为 $a$ ，第五次被抽到的概率为 $b$ ，则（）

A．a = $\frac{1}{50}$ ， $b=\frac{1}{10}$ B．a = $\frac{1}{50}$ ， $b=\frac{1}{50}$

C．a = $\frac{1}{10}$ ， $b=\frac{1}{46}$ D．a = $\frac{1}{10}$ ， $b=\frac{1}{10}$

答案与解析

解析

第一次 $a=1/50$ 。第五次是在抽样开始前询问李华位于第5个抽中位置的概率，前4次须都避开他：

b=\frac{49}{50}\frac{48}{49}\frac{47}{48}\frac{46}{47}\frac1{46}=\frac1{50}.

所以选B。 $1/46$ 是已知前4次没抽中时的条件率， $5/50=1/10$ 是最终进入5人名单的概率，均不是题问的无条件第5次率。已经抽中的人下一次为0，不可将“各位置概率相同”误读成抽中后仍可再抽。

本题结论

例题 05 进入家访名单的机会

题目

某班级有 $40$ 名学生，班主任用不放回的简单随机抽样的方法从这 $40$ 名学生中抽取 $5$ 人进行家访，则同学 $a$ 被抽到的可能性为（）

A． $\frac{1}{40}$ B． $\frac{1}{4}$ C． $\frac{1}{5}$ D． $\frac{1}{8}$

答案与解析

解析

问最终5人名单是否含同学 $a$ 。5个可能抽中位置互斥，每个无条件率为 $1/40$ ，相加得 $5/40=1/8$ ，选D。A仅给一个固定位置的率，B、C也不等于所求抽样比。

本题结论