组合体、接触面与挖孔

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体积关心还剩哪些实体，表面积关心还露出哪些边界。把这两张清单分开，拼接和挖孔就不会混算。

一、知识点理解概念

组合体由基本几何体拼接、截去或挖去而成。描述时不仅列名称，还要说明接触面和去除区域。各块内部不重叠时体积相加；挖去包含在原体内的部分时体积相减。若两体内部重叠，直接相加将重叠体积算两次，需减去一次重叠体积。

边界面、棱或点本身不占体积，因此仅沿边界接触不会改变体积加法。表面积却取决于哪些面仍是剩余体与空区的边界。

两实体内部重叠时，不能仅用“减两倍公共面”处理，须重新列剩余边界。孔壁虽朝向内侧，却不同于夹在实体之间的内部接触面。开口容器的材料面积与封闭体总面积，也可能含不同的面。

多面体面沿棱展开，每个面内的长度和角度保持；圆柱侧面展开为矩形，圆锥侧面为扇形，圆台侧面为扇环。球面不能在不伸缩的条件下整体铺平。

圆柱展开矩形边长为 $h,2\pi r$ ；圆锥扇形半径为母线 $l$ ，弧长为 $2\pi r$ ，圆心角为 $2\pi r/l$ ，不是圆锥轴截面的顶角。展开路径要检查是否留在允许区域，并比较不同剪法，详见表面最短路。

按明确的接触位置分块，分别辨别平面多边形侧面与旋转曲面，再逐项核对选项。题图是理想化几何模型，不额外计入实际物件的装饰。

如图所示的几何体是数学奥林匹克能赛的奖杯，该几何体由（）

A．一个球、一个四棱柱、一个圆台构成

B．一个球、一个长方体、一个棱台构成

C．一个球、一个四棱台、一个圆台构成

D．一个球、一个五棱柱、一个棱台构成

答案与解析

由上到下依次为球、长方体和棱台，因此选 B。

A、C 都把底部有平面多边形侧面的棱台误认成圆台；C 还将中部误认为四棱台。D 将长方体错读为五棱柱。图中球与支柱的接合只用于展示组合模型，本题不要求从遮挡轮廓推算切入深度或体积。

体积列“不重叠的各块”，表面积列“最终仍露出的各面”。按几何条件求斜高和体高，不把扣接触面积的操作搬到体积计算中。

如图所示，几何体的上部是一个正四棱锥 $P-ABCD$ ，下部是一个正方体，其中正四棱锥 $P-ABCD$ 的高为 $3\sqrt{2}$ ， $\triangle PCD$ 是等边三角形, $CD=6$ 。

(1)求该几何体的表面积；

(2)求该几何体的体积．

答案与解析

（1）取 $CD$ 中点 $M$ 。因为 $\triangle PCD$ 为边长 $6$ 的等边三角形， $PM\perp CD$ ，且 $PM=\sqrt{6^2-3^2}=3\sqrt3$ 。

锥的四个侧三角形面积和为 $4\times\frac12\times6\times3\sqrt3=36\sqrt3$ 。正方体的上底 $ABCD$ 已在内部，只剩五个面，面积 $5\times36=180$ ，所以

S=36\sqrt3+180.

也可将两个完整体总表面积相加后减去 $2\times36$ ，结果相同。

（2）两块内部不重叠，直接加体积。锥体高由题设为 $3\sqrt2$ ，正方体棱长 $6$ ，故

V=\frac13\times36\times3\sqrt2+6^3=36\sqrt2+216.

$PM=3\sqrt3$ 用于侧面积， $PO=3\sqrt2$ 用于体积，不能互换。

如图，在直三棱柱 $ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}$ 中，底面是边长为 $2\sqrt{3}$ 的正三角形，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，若圆柱的体积为 $2\pi$ ，求：

(1)剩余部分几何体的体积；

(2)剩余部分几何体的表面积.

答案与解析

（1）等边三角形边长为 $2\sqrt3$ ，其内切圆半径 $r=(2\sqrt3)\sqrt3/6=1$ 。圆柱体积 $\pi r^2h=2\pi$ 给出 $h=2$ ，也就是直三棱柱的高。底面三角形面积为 $3\sqrt3$ ，所以

V_{\text{余}}=3\sqrt3\times2-2\pi=6\sqrt3-2\pi.

（2）逐项列最终边界：

相加得 $S_{\text{余}}=18\sqrt3+2\pi$ 。孔口没有底盖；孔壁与原外侧面的相切母线面积为零，不须再扣一块面。