两点斜率与线段方向范围

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先查共线与竖直分界，再决定端点给出中间范围还是两个无界分支。

一、知识点理解概念

1. 两点斜率先核两点与横差

不同两点 $P_1(x_1,y_1),P_2(x_2,y_2)$ 确定直线。其方向是 $(x_2-x_1,y_2-y_1)$ ；若 $x_1\ne x_2$ ，纵向增量除以横向增量给

k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.

横差为零而纵差非零时为竖直线，斜率不存在；若两点重合，连直线也不能唯一确定。交换两点会使两个坐标差同时变号，斜率不变，不能只对分子或分母调换顺序。

2. 动点斜率为什么可在各支上看端点

设 $A\ne B$ ，固定点 $P$ 不在承载直线 $AB$ 上，线段点写为 $Q(t)=A+t(B-A)$ ， $0\le t\le1$ 。相对 $P$ 的横纵差分别为 $r(t)=r_0+ut$ 、 $q(t)=q_0+vt$ ，其中

r_0=A_x-P_x,\quad q_0=A_y-P_y,\quad u=B_x-A_x,\quad v=B_y-A_y.

非竖直时 $k(t)=q(t)/r(t)$ 。若 $t_1<t_2$ 在横差不为零的同一段，通分得

k(t_2)-k(t_1)=\frac{(q_0+vt_2)(r_0+ut_1)-(q_0+vt_1)(r_0+ut_2)}{r(t_2)r(t_1)} =\frac{(vr_0-uq_0)(t_2-t_1)}{r(t_2)r(t_1)}.

展开时 $q_0r_0$ 与 $uvt_1t_2$ 两对项相消，余下 $vr_0(t_2-t_1)-uq_0(t_2-t_1)$ 。 $P$ 不在 $AB$ 线上使 $vr_0-uq_0\ne0$ ；同一支的两个横差同号，分母乘积为正，所以斜率严格单调。该分式在分母非零的每支连续，因而端点值及趋近竖直时的无界方向给出完整范围，而非仅仅上下界。

3. 先处理共线，才能使用一般分式

这里求的是过 $P$ 且与闭线段 $AB$ 相交的直线斜率。

若 $P$ 在线段上，任意过 $P$ 的直线已经在 $P$ 处相交，有限斜率为全体实数。不能强行用 $Q=P$ 的零位移计算斜率。
若 $P$ 在承载直线 $AB$ 上、但在线段外，只有 $AB$ 所在直线能与线段相交；非竖直时仅一个斜率，竖直时无有限斜率。
若 $P$ 不在承载线上，才按前述分式找横差为零的参数分界。分界可在端点或内部，分别处理。

若 $A=B$ 则不是本节的非退化线段；题目应另按单点交会条件处理，不能套两端方向法。

二、考点方法与例题

1. 同序作差后先给有限斜率

两点横差非零才相除；固定一种减法顺序，分子分母保持一致。若只求斜率，不必反求倾斜角。

例题 01 已知两个点求斜率

若直线 $l$ 经过点 $A(0,4)$ ， $B(-\sqrt{3},1)$ ，则直线 $l$ 的斜率是（）

A． $-\frac{\sqrt{3}}{3}$ B． $-\sqrt{3}$ C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D． $\sqrt{3}$

答案与解析

取 $B$ 到 $A$ 的位移，横差 $0-(-\sqrt3)=\sqrt3\ne0$ ，纵差 $4-1=3$ ，故 $k=3/\sqrt3=\sqrt3$ ，选 D。反过来取差得到 $(-3)/(-\sqrt3)$ ，结果相同。A、B 符号不符；C 把纵横变化之比倒置。

2. 找竖直分界，再分别求每一支

先核线段非退化及 $P$ 的共线位置，再参数化交点 $Q$ 。求横差为零的参数，分开合法区间，在每支上用分式差或等价变形证明单调。这种分式差证明不必用导数。保留允许的有限端点，再核所列每个斜率确实对应一个合法交点。

例题 02 过固定点与线段相交的方向

已知 $A\left( -2,3\right)$ 、 $B\left( 2,1\right)$ ，若斜率存在的直线l经过点 $P\left( 0,-1\right)$ ，且与线段AB有交点，则l的斜率的取值范围为（）

A． $\left[ -2,1\right]$ B． $\left[ -1,2\right]$ C． $\left( -\infty ,-2\right]\cup \left[ 1,+\infty \right)$ D． $\left( -\infty ,-1\right]\cup \left[ 2,+\infty \right)$

答案与解析

先算边界方向： $k_{PA}=(3+1)/(-2)=-2$ ， $k_{PB}=(1+1)/2=1$ 。但这两个数还不能决定取中间还是两侧。

设 $Q=(-2+4t,3-2t)$ ， $0\le t\le1$ 。相对 $P$ ，横差为 $4t-2$ ，纵差为 $4-2t$ 。 $t=1/2$ 对应 $Q=(0,2)$ ，此时 $PQ$ 竖直，原题要求斜率存在，故删去这个方向。

其余参数给

k(t)=\frac{4-2t}{4t-2}=-\frac12+\frac3{4t-2}.

$0\le t<1/2$ 时，分母从 $-2$ 增至 $0$ 但不取 $0$ ，倒数项严格下降； $k$ 从 $-2$ 降至负向无界，范围 $(-\infty,-2]$ 。
$1/2<t\le1$ 时，分母从正侧趋零到 $2$ ， $k$ 从正向无界降至 $1$ ，范围 $[1,+\infty)$ 。

反核可达：解方程得到 $t=(k+2)/(2k+1)$ 。 $k\le-2$ 时 $t\ge0$ 且 $t-1/2=3/[2(2k+1)]<0$ ； $k\ge1$ 时 $t-1/2>0$ 且 $t-1=(1-k)/(2k+1)\le0$ 。两侧任意有限斜率都对应所需线段点。 $k=-1/2$ 时原方程为 $1=4$ ，没有交点，并非变形漏掉的解。

线段含端点，所以 $-2,1$ 都可取。合并为 $(-\infty,-2]\cup[1,+\infty)$ ，选 C。A、B 把关键竖直分界抹掉；D 的有限边界与实际端点方向不符。

例题 03 另一组固定点与闭线段

已知点 $P(1,2)$ ，经过点P作直线l，若直线l与连接 $A(9,1)$ ， $B(5,8)$ 两点的线段（含端点）总有公共点，则直线l的斜率k的取值范围为（）

A． $\left[ \frac{1}{8},\frac{3}{2}\right]$ B． $\left[ -\frac{1}{8},\frac{3}{2}\right]$ C． $\left( -\infty ,-\frac{1}{8}\right)$ D． $\left( -\infty ,-\frac{1}{8}\right]\cup \left[ \frac{3}{2},+\infty \right)$

答案与解析

令 $Q=(9-4t,1+7t)$ ， $0\le t\le1$ 。相对 $P=(1,2)$ ，横差 $8-4t\ge4$ ，始终为正，故没有竖直分界。

k(t)=\frac{-1+7t}{8-4t},\qquad k(t_2)-k(t_1)=\frac{52(t_2-t_1)}{(8-4t_2)(8-4t_1)}>0\quad(0\le t_1<t_2\le1).

因此斜率连续严格递增；在 $A$ 处 $k=-1/8$ ，在 $B$ 处 $k=3/2$ 。含端点，范围为 $[-1/8,3/2]$ ，选 B。

还可反解 $t=(8k+1)/(4k+7)$ ：在该斜率区间分母为正、分子非负，且 $t\le1$ 等价于 $k\le3/2$ ，所以每个所列方向确实相交。A 错在左端正负号；C、D 给了不与此同侧线段相交的外侧方向。图只提示位置，完整范围由参数计算证实。