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外观

由直线方向条件求参数

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把角度翻译成方程或符号条件之后，还要回到点与直线的合法位置检验。

一、知识点 理解概念

1. 倾斜角条件如何变成参数关系

不同两点确定的非竖直直线，其斜率为同序坐标差之比。指定非竖直倾斜角 α\alpha，就令这个商等于 tan⁡α\tan\alpha；指定锐角则等价于斜率存在且 k>0k>0，不是 k≥0k\ge0。

这来自倾斜角规定范围内的正切符号：倾斜角与斜率说明锐角、零角、钝角分别对应正、零、负斜率。若角区间跨过直角，须拆分支，不能直接把两个端点正切当区间。

2. 代数定义域不够，还要有真实直线

参数可能使两点重合、横差为零或纵差为零。依次核查：重合不能唯一确定直线；横差为零但两点不同是竖直方向；纵差为零且横差非零是水平线。给了角度仍不能省掉两点不同的检验。

二、考点 方法与例题

1. 指定角：方程解出后回代原坐标

先核横差不为零，以同一取点顺序列斜率等式。求出参数后回代原点坐标，重新计算斜率和允许角；别把代表某个点坐标的字母，当成另一个待求的直线变量。

例题 01 由指定倾斜角求纵坐标

过两点A(5,y)A\left( 5,y\right)，B(3,−1)B\left( 3,-1\right)的直线的倾斜角是45∘{45}^{\circ}，则yy等于（    ）

A．11 B．−2-2 C．33 D．−3-3

答案与解析

横差 5−3=2≠05-3=2\ne0，两点始终不同且方向非竖直。45∘45^\circ 的正切为 11，所以

y−(−1)5−3=y+12=1.\frac{y-(-1)}{5-3}=\frac{y+1}{2}=1.

乘 22 后得 y+1=2y+1=2，故 y=1y=1，选 A。回代为 (5,1),(3,−1)(5,1),(3,-1)，纵横差都为 22，倾斜角确为 45∘45^\circ。B、C、D 分别给斜率 −1/2,2,−1-1/2,2,-1，不符合。这里 yy 专指题中点 AA 的纵坐标。

2. 角区间：分子分母符号分别判断

先排除不合法的分母及题设不允许的水平、竖直边界。锐角要求商为正，应分别讨论分子分母同正或同负；不能在尚未知道正负的分母上直接乘过去并保留原不等号。

例题 02 两点都含参数时的锐角条件

经过两点A(1,m)A\left( 1,m\right)，B(m−1,3)B\left( m-1,3\right)的直线的倾斜角是锐角，则实数m的范围是（    ）

A．(−∞,−3)∪(−2,+∞)(-\infty ,-3)\cup (-2,+\infty ) B．(−3,−2)(-3,-2)

C．(2,3)(2,3) D．(−∞,2)∪(3,+∞)(-\infty ,2)\cup (3,+\infty )

答案与解析

两点重合须同时有 m−1=1m-1=1 和 m=3m=3，即同时 m=2,m=3m=2,m=3，不可能，因此每个实数参数都给两个不同点。

横差为 m−2m-2。m=2m=2 时两点是 (1,2),(1,3)(1,2),(1,3)，直线竖直，不符合锐角条件。其余参数给

k=3−mm−2>0.k=\frac{3-m}{m-2}>0.

  • 分子分母均正：m<3m<3 且 m>2m>2，得 2<m<32<m<3。
  • 分子分母均负：m>3m>3 且 m<2m<2，没有实数满足。

m=3m=3 时两点横坐标不同、纵坐标同为 33，是水平线，倾斜角 0∘0^\circ 也不锐。对任意 m∈(2,3)m\in(2,3)，横差、纵差均正，斜率存在且为正，所以确实给锐角。全部范围为 (2,3)(2,3)，选 C；A、B、D 均不能满足这两个同号条件。

三、坑点 辨析与纠错

1. 锐角的两个边界都不能收

0∘0^\circ 与 90∘90^\circ 都不是锐角。分式有定义只排除了竖直，仍须用严格不等式排除 k=0k=0 的水平情形；方程候选也须回代查原点是否重合。

2. 不等号能否保持方向，要看乘数符号

分母含参数时，可能为正、负或零。随意乘分母会漏掉翻转不等号的分支，也可能把原先无定义的值带进来。先分符号或用符号表，最后再按原角度条件筛选。