正态区间概率：反射、补集与参数反求

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先标均值与端点，再拆面积。左尾、中央半区和单侧外尾虽然都在均值一边，却不是同一块面积。

知识点

反射中心是均值，不一定是零

正态密度关于 $x=\mu$ 对称，反射 $x\mapsto2\mu-x$ 不改变横向宽度与面积。令 $F(t)=P(X\le t)$ ，则

P(X\le\mu-t)=P(X\ge\mu+t),\qquad F(2\mu-t)=1-F(t).

第一式的 $t$ 可为任意实数，第二式的 $t$ 是任意实端点。有限单点概率0，开闭端点不改变结果。镜像两端之和为 $2\mu$ ； $\mu\ne0$ 时， $a,-a$ 一般不是镜像。对称式 $f(c-x)=f(x)$ 的固定点是 $c/2$ ，正态的唯一峰在这里，所以 $\mu=c/2$ 。反射等面积也适用于已经证明关于 $\mu$ 对称的其他密度，但反求端点唯一性还须累计概率严格单调。

将面积分成中央、半区与外尾

设 $d\ge0$ ，中央概率 $c=P(\mu-d<X<\mu+d)$ 。

已知区域	所求区域	概率
中央区间概率 $c$	中央任一半区	$c/2$
中央区间概率 $c$	任一外尾	$(1-c)/2$
$F(\mu+d)=u$	右半中央区	$u-1/2$
$F(\mu+d)=u$	完整中央区	$2u-1$
小、大中央区间概率 $a,b$	单条外侧边带	$(b-a)/2$

末行要求 $0\le$ 小半宽 $\le$ 大半宽，先核包含关系。若目标还包含小中央区，要再加 $a$ 。累计概率从负无穷算起，中央半区从均值算起，不可混同。

考点

画端点顺序，再拼所需区域

标出均值与全部端点，核镜像和 $2\mu$ 。
先确定已知是尾部还是中央，利用左右各 $1/2$ 。
互斥区间相加，包含区间才可相减，补集用1减。
核结果在 $[0,1]$ ，区间扩大概率不能减小；无法用已知面积拼出时，须标准化与额外表值，不凭外观猜数。

例题 01 求另一端的累计概率

题目

若随机变量 $X~N\left( 60,{\sigma }^{2}\right)$ ，且 $P(X\le 40)=0.2$ ，则 $P(X\le 80)=$ （）

A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.8

答案与解析

解析

$40+80=2\times60$ ，故左尾 $X\le40$ 与右尾 $X\ge80$ 镜像，后者概率也是0.2。单点80的概率0，所以 $P(X\le80)=1-0.2=0.8$ ，选D。A只算右尾，B、C不是目标累计面积。

本题结论

例题 02 累计概率与中央概率

题目

已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left( 3,{\sigma }^{2}\right),P\left( X\le 4\right)=0.84$ ，则 $P(2<X\le 4)=$ （）

A．0.16 B．0.32 C．0.68 D．0.84

答案与解析

解析

均值3左右各一半， $P(3<X\le4)=0.84-0.5=0.34$ 。2、4关于3对称，另一半同为0.34，故目标概率0.68，选C。0.84含2左侧远尾，不能直接作中央概率；0.16是4右尾。

本题结论

例题 03 组合两个中央区间

题目

若随机变量 $X\sim N\left( 6,1\right)$ ，且 $P\left( 5<X\le 7\right)=a$ ， $P\left( 4<X\le 8\right)=b$ ，则 $P\left( 4<X\le 7\right)$ 等于（）

A． $\frac{b-a}{2}$ B． $\frac{b+a}{2}$ C． $\frac{1-b}{2}$ D． $\frac{1-a}{2}$

答案与解析

解析

大区间 $(4,8]$ 与小区间 $(5,7]$ 都关于6对称。相减剩两条等概率边带 $(4,5]$ 、 $(7,8]$ ，各 $(b-a)/2$ 。目标还包含全部小区间，故

P(4<X\le7)=\frac{b-a}{2}+a=\frac{a+b}{2}.

选B。A漏小中央区；C、D是大、小区间的单尾。

本题结论

例题 04 密度的反射关系

题目

已知随机变量 $X\sim N\left( \mu ,{\sigma }^{2}\right)$ ，若其对应的正态密度函数 $f(x)$ 满足 $f(2-x)=f(x)$ ，且 $P(X\le 0)=0.1$ ，则 $P(1\le X\le 2)=$ （）

A．0.8 B．0.5 C．0.4 D．0.1

答案与解析

解析

反射固定点满足 $2-x=x$ ，故对称轴为1；正态唯一峰说明 $\mu=1$ 。0与2镜像， $P(1\le X\le2)=P(0\le X\le1)=0.5-0.1=0.4$ ，选C。A算了两半，B没扣远尾，D沿用了尾概率；轴并非2或0。

本题结论

相等的尾概率怎样确定端点

先核端点 $a<b$ ；单点概率为0时，若左尾 $P(X<a)=u$ 、区间 $P(a\le X\le b)=c$ ，则右尾 $P(X>b)=1-u-c$ 。用区间加法改写成两侧尾概率后，再比较端点。正态密度每个非空区间都为正，所以同分布累计概率严格递增，右尾严格递减，每个给定的尾概率对应唯一有限端点。两侧尾概率相等，先反射其中一个端点，再用唯一性，才能断定两端关于均值对称。

不同正态分布的累计概率相等时，应各自标准化，再用同一个严格递增的 $\Phi$ 比较标准化端点；不是原变量或原端点相等。解后须核 $\sigma>0$ 、端点顺序与原概率。概率0、1不对应非退化正态的有限累计端点，应先查条件可行性。

例题 05 由区间概率确定端点

题目

已知随机变量X服从正态分布 $N\left( 1,{\sigma }^{2}\right)$ ，若 $P\left( X\le a\right)=0.3$ ，且 $P\left( a\le X\le a+2\right)=0.4$ ，则 $a=$ （）

A．-1 B． $-\frac{1}{2}$ C．0 D． $\frac{1}{2}$

答案与解析

解析

按 $X<a$ 、 $a\le X\le a+2$ 、 $X>a+2$ 分成全体，单点概率0，右尾为 $1-0.3-0.4=0.3$ 。左尾端点 $a$ 的镜像是 $2-a$ ；其右尾同为0.3，与右端 $a+2$ 的尾概率相同。右尾严格递减保证端点唯一，所以 $2-a=a+2$ ，解得 $a=0$ ，选C。回验两端0、2以均值1为中心，次序正确。其他选项不满足两端等距。

这是原资料的示意图，图中 $a$ 与原点 $O$ 分开画，不能作为数值位置的依据；按上面的推导 $a=0$ ，两者应重合。判断中心关系仍须依据概率与端点唯一性，不能只凭图形外观。

本题结论

例题 06 绝对值区间的概率

题目

设随机变量X服从标准正态分布 $X~N\left( 0,1\right)$ ，那么对于任意a，记 $Φ\left( a\right)=P\left( X<a\right)$ ，已知 $Φ\left( a\right)=0.7$ ，则 $P\left( \left| X\right|<a\right)$ = ________．

答案与解析

解析

标准正态 $\Phi(0)=0.5$ 且严格递增。由 $\Phi(a)=0.7>0.5$ ，先得 $a>0$ ，于是 $|X|<a$ 才是正向中央区间 $(-a,a)$ 。反射给 $\Phi(-a)=0.3$ ，故所求 $0.7-0.3=0.4$ 。若 $a\le0$ ，事件为空，不能用 $2\Phi(a)-1$ 得出负数。

本题结论

0.4