YouthNote

外观

二面角与垂棱截面

约 1917 字大约 6 分钟

二面角的平面角有三道检查：同一棱上点、两条都垂棱、分别朝向指定半平面。

一、知识点 理解概念

1. 二面角指定两个半平面

平面内一条直线把平面分为两个半平面。从同一条直线 ll 出发的两个指定半平面组成二面角，ll 为棱。若 P,QP,Q 分别在指定半平面内且不在棱上，可记作 P−l−QP-l-Q。

只说两个完整平面而未说明选哪一侧时，须先辨明题目所求半平面。翻转其中一个半平面，会使角变为补角；不能像异面直线角那样一律取锐角。

2. 同一点、双垂棱、对半平面

在棱 ll 上取 OO，分别在两个指定半平面内作射线 OA⊥l,OB⊥lOA\perp l,OB\perp l，∠AOB\angle AOB 就是二面角的平面角。两射线同起点且都垂棱，所在截面垂直于棱，测到的才是两面开合方向。

更换 OO 后，同一半平面内的垂棱射线同向平行，由空间等角定理，角大小不变。任意斜截面中的交线却可能沿棱倾斜，夹角随截面方向变化，不代表固定二面角。

3. 范围与退化情形

指定半平面可以形成锐角、直角或钝角；含退化规定时总范围为 [0∘,180∘][0^\circ,180^\circ]。两半平面重合规定为 0∘0^\circ，合成一个完整平面规定为 180∘180^\circ，直二面角为 90∘90^\circ。

两个不同相交平面所给的非退化半平面角在 (0∘,180∘)(0^\circ,180^\circ)。钝二面角的余弦可以为负，不能为了得到正数而擅自反向射线。

二、考点 方法与例题

1. 中位线把垂棱方向搬到同一个点

先指出棱是哪条直线，再选棱上的点。中位线可提供与已知垂棱方向平行的线，但仍须分别证明两条都垂棱，并核对射线分别进入题设两侧。

例题 01 正方体中的中点与二面角

已知ABCD−A1B1C1D1ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}为正方体，FF、EE分别为ABAB、BD1B{D}_{1}的中点，则二面角E−BF−CE-BF-C的大小为（   ）

原资料配图
原资料配图

A．30° B．45° C．60° D．90°

答案与解析

棱 BFBF 所在直线就是 ABAB，点 FF 在棱上。取 BDBD 中点 OO，连接 OE,OF,AD1OE,OF,AD_1。

由两条中位线在F处作出分别垂棱的射线
由两条中位线在F处作出分别垂棱的射线

在 △BAD\triangle BAD 中，OF∥ADOF\parallel AD；AD⊥ABAD\perp AB，所以 OF⊥ABOF\perp AB。在 △BAD1\triangle BAD_1 中，EF∥AD1EF\parallel AD_1；AB⊥AB\perp 侧面 ADD1A1ADD_1A_1，故 AB⊥AD1AB\perp AD_1，从而 EF⊥ABEF\perp AB。

FEFE 指向 EE 所在半平面；FOFO 在底面中指向与 CC 同侧（OO 在正方形内部），故 ∠EFO\angle EFO 是指定平面角。

设棱长为 11。在 △BDD1\triangle BDD_1 中 OEOE 为中位线，OE∥DD1OE\parallel DD_1 且 OE=1/2OE=1/2；OF=AD/2=1/2OF=AD/2=1/2。OEOE 垂直底面，故 OE⊥OFOE\perp OF。于是 △EOF\triangle EOF 是等腰直角三角形，∠EFO=45∘\angle EFO=45^\circ，选 B。A、C、D 均不符合这个直角与等长条件。

仅写 OE=OFOE=OF 只能说明等腰；补上 OE⊥OFOE\perp OF，才足以得到 45∘45^\circ。

2. 从面垂线补出第二条垂棱线

在第一个指定半平面内取非棱上点 PP，向另一面的所在平面作垂线 PHPH。再在该面内作 HO⊥lHO\perp l，O∈lO\in l。若构造非退化，PH,HOPH,HO 相交且都垂 ll，故 l⊥l\perp 面 PHOPHO，从而 PO⊥lPO\perp l。

此时再检查 OP,OHOP,OH 分别指向指定半平面；若 HH 在另一侧，∠POH\angle POH 会是补角而非所求角，应按指定射线选角。若 H=OH=O 等使构造退化，应另选点或单独处理直角/端点情形。

例题 02 三棱台中的侧面交角

在三棱台ABC−A1B1C1ABC-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}中，平面ABC⊥ABC\perp平面ACC1A1,△ABCAC{C}_{1}{A}_{1},\triangle ABC是以BB为直角顶点的等腰直角三角形，且AC=2A1C1=2AA1=2CC1AC=2{A}_{1}{C}_{1}=2A{A}_{1}=2C{C}_{1}，则二面角B−AC1−CB-A{C}_{1}-C的正切值为（    ）

A．55\frac{\sqrt{5}}{5} B．12\frac{1}{2} C．255\frac{2\sqrt{5}}{5} D．2

答案与解析

角度不变，可取 AC=2AC=2，则 A1C1=AA1=CC1=1A_1C_1=AA_1=CC_1=1。侧面 ACC1A1ACC_1A_1 为等腰梯形，下底 22、上底 11、两腰 11，两腰在底边方向的投影均为 1/21/2，梯形高为 3/2\sqrt3/2。对角线 AC1AC_1 的水平分量为 3/23/2，所以

AC1=(3/2)2+(3/2)2=3.AC_1=\sqrt{(3/2)^2+(\sqrt3/2)^2}=\sqrt3.

于是 AC12+CC12=AC2AC_1^2+CC_1^2=AC^2，勾股逆定理得 AC1⊥CC1AC_1\perp CC_1。

取 D,ED,E 分别为 AC,AC1AC,AC_1 中点，连 BD,DE,BEBD,DE,BE。DEDE 是 △ACC1\triangle ACC_1 的中位线，DE∥CC1DE\parallel CC_1，故 DE⊥AC1DE\perp AC_1。

在棱AC1中点E处构造EB与ED两条垂棱射线
在棱AC1中点E处构造EB与ED两条垂棱射线

△ABC\triangle ABC 为以 BB 为直角顶点的等腰直角三角形，斜边中线 BD⊥ACBD\perp AC。两面 ABC,ACC1A1ABC,ACC_1A_1 垂直且交于 ACAC，BDBD 在前者内垂交线，故 BD⊥BD\perp 侧面 ACC1A1ACC_1A_1，特别有 BD⊥AC1BD\perp AC_1。

BD,DEBD,DE 在面 BDEBDE 内交于 DD，所以 AC1⊥AC_1\perp 面 BDEBDE，继而 AC1⊥BEAC_1\perp BE。EE 在棱上，EBEB 指向 BB 侧，EDED 与 ECEC 在棱的同侧，因此 ∠BED\angle BED 为所求平面角。

BD=AC/2=1BD=AC/2=1，DE=CC1/2=1/2DE=CC_1/2=1/2；又 BDBD 垂直侧面内的 DEDE，三角形 BDEBDE 在 DD 处直角。故

tan⁡∠BED=BDDE=2,\tan\angle BED=\frac{BD}{DE}=2,

选 D，A、B、C 均非这组对边与邻边的比。不能只凭 BE,DEBE,DE 分别处在两面内，就省去双垂棱证明。

三、坑点 辨析与纠错

1. 经过棱上点不等于垂棱截面

任意截面即使通过棱上一点，也可能斜切两面。须证明两条射线同起点、都垂棱，且分别位于指定半平面。面外点的垂足通常不恰在棱上，还需作面内的垂棱线；只证一条射线垂棱并未完成定义。

2. 二面角可以钝，不能擅自取锐角

上传知识资料记载原范围式 0∘<θ≤180∘0^\circ<\theta\le180^\circ 漏了同段已规定的重合零角。这里将含退化规定的总范围补为 [0∘,180∘][0^\circ,180^\circ]，与两不同相交平面形成的非退化范围 (0∘,180∘)(0^\circ,180^\circ) 分开；此澄清依据资料文字记录。

只检查直线垂棱而不检查射线朝向，可能把补角当原角。异面直线角取锐角或直角，指定半平面的二面角却允许钝角；余弦为负不一定错误。退化端点的总范围含 0∘0^\circ，不可同非退化范围混写。