零点个数、参数分界与根的关系

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找到几个根只说明至少有几个。用连续性说明存在，用严格单调性排除更多根，再逐个核对边界与固定根，才能得到恰好几个。

一、知识点概念与依据

1. 水平线与连续单调段的实际值域

零点是定义域内满足 $f(x)=0$ 的横坐标； $f(x)=c$ 的不同实根是图像与 $y=c$ 的不同交点。重数不增加不同横坐标的数量。

若 $f$ 在区间连续且严格递增，合法点 $u<v$ 满足 $f(u)<c<f(v)$ ，连续性保证中间至少一次取到 $c$ ，严格递增保证至多一次。递减时不等号反向。这把“存在”和“唯一”分开证明。

用导数零点、不可导点、分段接合点划分定义域，列各连续单调段的值域。闭端点的值可取；开端或无穷端只趋近的边界不凭空取得。驻点是分界候选，是否也是零点必须代回原函数。共享端点先单独登记，再在两侧开段计数。

2. 分离参数必须保持双向等价

把 $aU(x)+V(x)=0$ 写成 $a=-V(x)/U(x)$ 前，先检查零支：

条件	原方程中的作用
$U(x)=V(x)=0$	对每个参数都是固定根，除法后不能丢
$U(x)=0,V(x)\ne0$	永远不是根
$U(x)\ne0$	可以除，乘回即可验证等价

若分离为 $1/a=g(x)$ ，先排查 $a=0$ ，再限定参数符号；在正半轴倒数严格递减，反求范围时须正确换向。参数变换在所用范围内一一对应，曲线交点才与原方程的根对应。

方程的乘除不涉及不等号反向；不等式除负量才反向，符号不定先分类。分离后仍保留原变量范围。若参数还在指数或变量区间中，不宜强行化成固定曲线。

3. 数量改变的临界情形

参数临界点不只有极值高度，还可能来自有限端点值、开端或无穷端的极限、定义域缺口，以及参数使公式结构改变的位置。逐一检查“取等时根实际在哪”：根可能合并、跑到不含端点、回到已有固定根，或消失于某一分支。

定义域不连通时逐支处理，不能跨断口使用零点存在性。若某段恒为0，将有无穷多个根，不适用“每段至多一个”的严格单调结论。

二、考点方法与例题

方法一：定义域、存在性与唯一性分开写

写定义域、连续分支与题给区间。
求导并证明每段严格增减，不把 $f^{\prime}=0$ 当作原函数的根。
计算合法分界值、端点值与远端趋势。无穷趋势应落实为足够远的合法正值点或负值点，不能把无穷当成根。
每段用连续性证存在、严格单调性证唯一，合并时去重。
选择题逐个选项数完；比较两函数须研究其差，不能只看各自增减。

例题 01 比较四种函数的零点数

题目

下列给出的四个函数中，零点的个数最多的是（）

A． $y=\frac{2x}{x-1}$ B． $y=\ln x-\frac{1}{3}x$

C． $y={e}^{x}-\left( x+1\right)$ D． $y={2}^{x}+lgx$

答案与解析

解析

逐项限定定义域并计数：

选项	定义域与排除依据	根数
A	$x\ne1$ ；分子为0且分母非0给 $x=0$	1
B	$x>0$ ；导数 $(3-x)/(3x)$ ，在3左增右减	2
C	全实轴；导数 $e^x-1$ ，先减后增，唯一最低值 $f(0)=0$	1
D	$x>0$ ； $2^x$ 与 $\lg x$ 均严格递增，和也严格递增	1

B 的最大值 $\ln3-1>0$ （ $e<3$ ），且 $f(1)=-1/3<0$ ， $f(e^2)=2-e^2/3<0$ （ $e>5/2$ ）。因此两连续单调支分别有且仅有一个零点，3自身不是根。D 在 $1/100$ 处为 $2^{1/100}-2<0$ ，在1处为2，故有唯一根。四项根数为1、2、1、1，B最多。

本题结论

B。

例题 02 对数与平方根的交点上界

题目

函数 $f\left( x\right)={\log }_{2}x-\sqrt{x}$ 的零点个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

答案与解析

解析

定义域为 $x>0$ 。先找到两个不同合法根： $f(4)=2-2=0$ ， $f(16)=4-4=0$ 。它们只证明至少两个，不能据两函数均递增就断言没有更多。

令 $t=\sqrt x>0$ ，这是正半轴上一一对应的换元。原方程等价于

h(t)=2\log_2t-t=0,\qquad h^{\prime}(t)=\frac{2}{t\ln2}-1.

导数仅在 $c=2/\ln2$ 为0， $h$ 在 $(0,c]$ 严格递增，在 $[c,+\infty)$ 严格递减。由 $2<e<4$ 可得 $1/2<\ln2<1$ ，所以 $2<c<4$ 。 $h(2)=h(4)=0$ 分别在两支，每支至多一个根；峰点 $h(c)>h(2)=0$ 不另给根。因此恰有两根 $t=2,4$ ，对应 $x=4,16$ 。

A、B低估，D高估，选C。示意图只标出局部交点，没有精确展示全部远端行为，根数结论来自上述完整上界证明而非看图。

本题结论

C，零点为4与16。

方法二：分离参数后逐支数交点

先保留可能被除掉的固定根，再写等价方程和参数变换的范围。列每个单调支的实际值域，分别统计，最后把高度范围换回参数。每个边界单独代回原式；各分支条件按题意求交集，不把“某一侧有根”的条件当成整题答案。

例题 03 指数函数的单调性、切线与零点

题目

已知函数 $f(x)={e}^{x}-a(x+1),a\in R$ ．

(1)讨论 $f\left( x\right)$ 的单调性；

(2)若 $a=1$ ，求曲线 $f\left( x\right)$ 在 $x=1$ 处的切线方程；

(3)当 $a>0$ 时，试讨论函数 $f\left( x\right)$ 的零点个数．

答案与解析

解析

（1）定义域为 $\mathbb R$ ， $f^{\prime}(x)=e^x-a$ 。当 $a\le0$ 时导数恒正，函数在全实轴严格递增。当 $a>0$ 时唯一驻点为 $\ln a$ ，左负右正，故在 $(-\infty,\ln a)$ 递减，在 $(\ln a,+\infty)$ 递增。

（2） $a=1$ 时，切点为 $(1,e-2)$ ，斜率为 $e-1$ ，故

y-(e-2)=(e-1)(x-1),\quad\text{即 }(e-1)x-y-1=0.

（3）已知 $a>0$ ，可除 $a$ ； $e^x$ 也始终非0。因此

f(x)=0\iff\frac1a=g(x)=(x+1)e^{-x},\qquad g^{\prime}(x)=-xe^{-x}.

$g$ 在 $(-\infty,0]$ 增、在 $[0,+\infty)$ 减，最大值1。 $x\le-1$ 时 $g\le0$ ，不会等于正数 $1/a$ ； $(-1,0)$ 的值域为 $(0,1)$ ， $(0,+\infty)$ 的值域也为 $(0,1)$ ，后者右端趋近0却不取0。连续严格单调保证高度在 $(0,1)$ 时两侧各一个交点；高度1只在0取到；大于1无交点。

所以 $a>1$ 时2个， $a=1$ 时1个， $0<a<1$ 时0个不同零点。取等时两支共享0，不得重复。若扩查第三问范围外： $a=0$ 时 $e^x=0$ 无解； $a<0$ 时原函数严格递增且两端分别趋向负、正无穷，恰有一根，不能把这些支塞进 $1/a$ 的正高度分类。

本题结论

单调与切线如上； $a>0$ 时根数依次为： $(0,1)$ 内0个、 $a=1$ 时1个、 $a>1$ 时2个。

例题 04 分段函数的固定根与两侧根

题目

已知函数 $f\left( x\right)=\left\{ \begin{aligned}-{x}^{2}+\frac{1}{2}x,x<0\\\ln \left( x+1\right),x\ge 0\end{aligned}\right.$ ，若函数 $y=f\left( x\right)-kx$ 有且只有3个零点，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A． $\left( 0,\frac{1}{2}\right)$ B． $\left( \frac{1}{2},1\right)$ C． $\left( 1,+\infty \right)$ D． $\left( \frac{1}{4},1\right)$

答案与解析

解析

$x=0$ 属右段，且 $f(0)-k\cdot0=0$ ，对每个 $k$ 都先计一个固定根。

负半轴方程是 $x(-x+1/2-k)=0$ 。这里 $x<0$ ，只能取 $x=1/2-k$ ，它存在于负半轴当且仅当 $k>1/2$ ，且唯一。 $k=1/2$ 时返回已有0，不能加算。

正半轴令 $H(x)=\ln(1+x)-kx$ ， $H(0)=0$ ， $H^{\prime}=1/(1+x)-k$ 。

$k\le0$ ： $H^{\prime}>0$ ，所以 $x>0$ 时 $H>0$ ，没有正根。
$k\ge1$ ： $x>0$ 时 $H^{\prime}<0$ ，没有正根。
$0<k<1$ ：在 $c=1/k-1>0$ 前增后减； $H(c)>0$ ，且 $H(x)\to-\infty$ 。取足够大的合法点得到负值，连续性与下降支严格单调保证恰有一个正根。

每侧至多一个，故三根条件为 $k>1/2$ 与 $0<k<1$ 的交集，即 $(1/2,1)$ ，选B。边界 $k=1$ 的原点相切不产生额外正根。

本题结论

B， $k\in(1/2,1)$ 。

例题 05 闭区间的两个不同水平线交点

题目

已知函数 $f\left( x\right)={x}^{3}+2a{x}^{2}+bx+a-1$ 在 $x=-1$ 处取得极值 $0$ ，其中 $a,b\in R$ ．

(1)求 $a,b$ 的值；

(2)当 $x\in \left[ -1,2\right]$ 时，方程 $f\left( x\right)=k$ 有两个不等实数根，求实数k的取值范围．

答案与解析

解析

（1）极值点可导，必要条件为

f(-1)=3a-b-2=0,\qquad f^{\prime}(-1)=3-4a+b=0.

解得 $a=b=1$ 。回代 $f=x(x+1)^2$ ， $f^{\prime}=(3x+1)(x+1)$ ，在 $-1$ 左正右负，确实在此取得极大值0，充分性已核。

（2）现在只数 $[-1,2]$ 内的根，不数完整三次曲线。列两段：

区间	增减	实际值域
$[-1,-1/3]$	严格减	$[-4/27,0]$
$[-1/3,2]$	严格增	$[-4/27,18]$

因此 $-4/27<k\le0$ 时两支各一个且不同。 $k=-4/27$ 两支共用 $-1/3$ ，只计一个； $k=0$ 时 $-1$ 与0均合法，仍为两个； $0<k\le18$ 只在右支有一个； $k<-4/27$ 或 $k>18$ 无根。

图中所画 $y=k$ 在轴上方，仅示意水平线，不能把它的位置当成所求参数范围；区间限制与上表才是计数依据。

本题结论

（1） $a=b=1$ ；（2） $k\in(-4/27,0]$ 。

方法三：先定位根，再由根方程消参

先证明两根存在的参数范围，给出根所在的不同单调支。
写两条根方程，相减消常数；除根差或对数差前证明非0并确定符号。
按目标选和、积或比值；正根有序时可设 $t=x_2/x_1>1$ 。
化为辅助函数符号，若需再求导，逐层从同一合法基准值推出严格正负。
比较均值先核正性；平方比较须能反推原量。若在更大的 $t>1$ 范围证明恒真，可用于原根对，但不能据此断言每个 $t$ 都可实现来反求最值。

例题 06 两零点确定的导数均值位置

题目

已知函数 $f\left( x\right)=a\ln x-x-a$ .

(1)讨论 $f\left( x\right)$ 的单调性；

(2)若 ${x}_{1},{x}_{2}\left( {x}_{1}<{x}_{2}\right)$ 是 $f\left( x\right)$ 的两个零点，

①求 $a$ 的取值范围；

②求证： ${f}^{\prime }\left( \sqrt{\frac{{x}_{1}^{2}+{x}_{2}^{2}}{2}}\right)<0$ （ ${f}^{\prime }\left( x\right)$ 为函数 $f\left( x\right)$ 的导函数）.

答案与解析

解析

（1）定义域 $x>0$ ， $f^{\prime}(x)=(a-x)/x$ 。 $a\le0$ 时严格递减； $a>0$ 时在 $(0,a)$ 增、 $(a,+\infty)$ 减。

（2）① $a\le0$ 不可能有两个根。 $a>0$ 时两根要求最大值 $f(a)=a(\ln a-2)>0$ ，故必要 $a>e^2$ 。反过来，此时 $1<a<a^4$ ， $f(1)=-1-a<0$ ；由 $\ln a<a$ 及 $a>2$ ，

f(a^4)=4a\ln a-a^4-a<4a^2-a^4-a<0.

连续性在 $(1,a)$ 与 $(a,a^4)$ 各给一根，两支严格单调保证各唯一。因此充分，且 $1<x_1<a<x_2<a^4$ 。边界 $a=e^2$ 最大值为0，仅一根。

② 相减两根方程得 $a(\ln x_2-\ln x_1)=x_2-x_1$ 。因为 $0<x_1<x_2$ ，分母严格正，可以写 $a=(x_2-x_1)/(\ln x_2-\ln x_1)$ 。令 $t=x_2/x_1>1$ ，则

f^{\prime}\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)=\frac{2(t-1)-(t+1)\ln t}{(t+1)\ln t}.

分母正。设 $G(t)=2(t-1)-(t+1)\ln t$ ，则 $G(1)=0$ ， $G^{\prime}(t)=1-1/t-\ln t$ ， $G^{\prime}(1)=0$ ，且

G^{\prime\prime}(t)=\frac{1-t}{t^2}<0\quad(t>1).

所以 $G^{\prime}<0$ ，再得 $G<0$ ，证明算术平均处导数负。两均值都正，平方差为 $(x_1-x_2)^2/4>0$ ，故平方平均 $M=\sqrt{(x_1^2+x_2^2)/2}$ 严格大于算术平均。由 $a>0$ ， $f^{\prime}(x)=a/x-1$ 严格递减，所以

f^{\prime}(M)<f^{\prime}\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)<0.

全程保留 $t>1$ 的严格性，不以相等根代替两不同根。

本题结论

两根当且仅当 $a>e^2$ ；所证平方平均处导数严格为负。