若函数奇且关于 $x=a$ 对称，将轴关系中的输入换成 $-x$ ： $f(2a+x)=f(-x)=-f(x)$ 。 $a\ne0$ 时得到反周期步长 $2|a|$ ，再得普通周期 $4|a|$ ；若函数偶，则 $f(2a+x)=f(x)$ ， $2|a|$ 已是普通周期。 $a=0$ 没有产生非零平移，不能把0当周期。

5. 抽象关系的平移消项与非零抵消

先用题给固定值把双变量关系化成相邻输出等式，再用合法平移输入写第二式，消去中间项。例如

f(x+2)+f(x-2)=f(x),

移 $x$ 为 $x+2$ 得 $f(x+4)+f(x)=f(x+2)$ 。两式结合， $f(x+4)=f(x+2)-f(x)=-f(x-2)$ ；再移输入得 $f(x+6)=-f(x)$ ，两次应用得到周期12。

遇到乘积关系如 $f(x+2)f(x)=4$ ，先说明所有相关函数值非零，再与平移后的 $f(x+4)f(x+2)=4$ 比较，才可约掉共同项得到周期4。不能无条件除以函数值；初值与原关系也要核调用范围。

6. 倒数输入不是输出倒数，也不是输入反射

$f(1/x)$ 改变输入， $1/f(x)$ 改变输出， $f(-x)$ 是相反输入，三者不能互换。资料中将 $f(x+a)=\pm f(1/x)$ 直接当成周期 $2a$ 的判据，一般不成立，应回到实际关系逐步证明。

正号关系的核验反例。令 $\alpha=(1+\sqrt5)/2$ ，全实数域函数仅在 $t=\alpha$ 取1，其他输入取0。因 $\alpha(\alpha-1)=1$ ，对每个 $x\ne0$ ， $x+1=\alpha$ 当且仅当 $1/x=\alpha$ ，所以 $f(x+1)=f(1/x)$ ；但 $f(\alpha)=1$ 、 $f(\alpha+2)=0$ ，2不是周期。

负号关系也不能照搬。令 $q(t)=t^2-t-1$ ，定义 $F(t)$ 在 $q(t)>0$ 时为1，在 $q(t)=0$ 时为0，在 $q(t)<0$ 时为−1。对 $x\ne0$ ， $q(x+1)=x^2+x-1$ ，而 $q(1/x)=-(x^2+x-1)/x^2$ ，所以 $F(x+1)=-F(1/x)$ 。但 $F(0)=-1,F(2)=1$ ，2仍不是周期。这是对错误速记的直接核验，不是另添练习题。

7. 个别值归约与完整分组不能混为一谈

求一个值时写 $x=nT+r$ ，使代表输入 $r$ 落在有已知值或可用公式的范围，才有 $f(x)=f(r)$ 。是移动输入，不是把输出除以周期。

求连续整数项的和，还须确认整数序列每几项重复。若每 $k$ 项重复，从 $f(1)$ 起共 $N=qk+r$ 项， $0\le r<k$ ，则

\sum_{i=1}^{N}f(i)=q\sum_{i=1}^{k}f(i)+\sum_{i=1}^{r}f(i).

余项从1再开始，是因为前面已经推进了 $qk$ 个索引； $r=0$ 时余项和为0。从 $f(0)$ 起则应调整整组起点。先求完整一组每个值及组和，再算整组数和余项，不能只对最大下标取余就代替整个和。

非整数周期不能机械当作整数项数；例如反周期 $3/2$ 不会让相邻整数输出自动相反，但两次平移所得整数周期3可按三项分组。反周期配对相消时，也须核每项确有配对及剩余项。

8. 平移公式时，禁值也随输入移动

旧公式只在集合 $S$ 上成立，要写 $f(x)=f(x-T)$ 并代旧式，须同时有原输入及移后输入属于函数域，且 $x-T\in S$ 。区间两端移对了，不代表中间每点都能用式子。

旧表达式含 $1/x^2$ ，就排除旧输入0，移 $T$ 后的新表达式排除 $x=T$ 。若函数本身在该点有值，需要另给条件确定，不由无意义的分式补值。如果题面同时称全实数域，又宣称在含0整段等于 $x^2+x^{-2}$ ，两条件本身矛盾，不能静默删点或添值。

周期也不使整个实数域严格单调，因为合法 $x$ 与 $x+T$ 输出相等。要判断远处一段的单调性，应平移整个区间回已知段，再核对应规则与边界。

二、考点方法与例题

方法一：先证明全域重复，再定位代表输入

求必要初值，写两次合法平移或两次反射，逐步消项；遇输出负号先认反周期。只称已证的一个周期。随后用整数倍平移将目标落在已知位置，公式的原禁值继续保留。

方法二：一组所有值、完整组数、剩余项

从原求和起点列一组各项，初值、奇偶性、中心关系逐项使用；算组和后分解项数。组和为0仍写清整组数，最后检查余项是否遗漏或错位，反周期是否漏了负号。

例题 01 周期归约后的两个代表输入

题目

已知函数 $f\left( x\right)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f\left( x\right)=f\left( x+4\right)$ ，且 $f\left( -1\right)=-1$ ，则 $f\left( 2024\right)+f\left( 2025\right)=$ （）

A． $-1$ B．0 C．1 D．2

答案与解析

解析

全实数域奇性给 $f(0)=0$ ，由 $f(-1)=-1$ 得 $f(1)=1$ 。题给全域关系保证4是一个周期，反复平移合法。

2024=506\times4+0,\qquad2025=506\times4+1.

所以两项分别为 $f(0)=0$ 、 $f(1)=1$ ，和为1，选 C。A 的−1、B 的0、D 的2都不符。这里只需一个周期4，不声称最小，也不需要求完整解析式。

本题结论

C，所求和为1。

例题 02 从双变量关系到重复步长

题目

若 $x,y\in R,f\left( x+y\right)+f\left( x-y\right)=2f\left( x\right)f\left( y\right)$ ，且 $f\left( 2\right)=\frac{1}{2}$ ，则 $f\left( 2020\right)+f\left( 2022\right)+f\left( 2024\right)=$ （）

A．-2 B．-1 C． $-\frac{1}{2}$ D．0

答案与解析

解析

取 $x=2,y=0$ ， $2f(2)=2f(2)f(0)$ 。已知 $2f(2)=1\ne0$ ，得 $f(0)=1$ 。再取 $x=0,y=t$ 任意， $f(t)+f(-t)=2f(t)$ ，所以偶。

取 $y=2$ 得 $f(x+2)+f(x-2)=f(x)$ 。再把 $x$ 换为 $x+2$ ，得 $f(x+4)+f(x)=f(x+2)$ 。移项代入：

f(x+4)=[f(x)-f(x-2)]-f(x)=-f(x-2).

再移输入到 $x+2$ 得 $f(x+6)=-f(x)$ ，应用两次得到 $f(x+12)=f(x)$ 。所以6是反周期步长，12是一个周期。

反周期分别用在−2、0、2处，配合偶性得

f(4)=-f(-2)=-1/2,\quad f(6)=-f(0)=-1,\quad f(8)=-f(2)=-1/2.

原资料另给的中心 $(3,0)$ 也可核： $f(3+t)=-f(t-3)=-f(3-t)$ ，故中心关系成立，取 $t=0$ 得 $f(3)=0$ ；没有假设连续性。

三个目标输入分别为 $12\times168+4$ 、 $12\times168+6$ 、 $12\times168+8$ ，所以和为 $-1/2-1-1/2=-2$ ，选 A。B、C、D的−1、−1/2、0均不是完整三项和。

本题结论

A，所求和为−2。

例题 03 正输出乘积关系的完整组求和

题目

已知函数 $f(x)$ 的定义域为R，值域为 $(0,+\infty )$ ，若 $f(x+1)f(x-1)=4$ ，函数 $f(x-2)$ 为偶函数， $f(2024)=1$ ，则 $f(1)+f(2)+\cdots +f(2024)=$ （）

A．4050 B．4552 C．4554 D．4556

答案与解析

解析

原所有输出正，可除函数值。将乘积式输入移1，得 $f(x+2)f(x)=4$ ；再移2，得 $f(x+4)f(x+2)=4$ ，除共同正值 $f(x+2)$ ，得到 $f(x+4)=f(x)$ ，4是周期。

令 $H(t)=f(t-2)$ ，题设 $H$ 偶给 $f(-t-2)=f(t-2)$ 。这对应原 $f$ 关于输入−2的轴对称，而不是直接说 $f$ 偶。将两边合法移4，得到 $f(2-t)=f(t+2)$ ；又原关系给 $f(2-t)f(-t)=4$ 、 $f(t+2)f(t)=4$ ，除去相同正值，才得 $f(-t)=f(t)$ ，所以 $f$ 也偶。

$2024=4\times506$ ，故 $f(0)=f(2024)=1$ ，乘积式给 $f(2)=4$ ，周期给 $f(4)=1$ 。偶性及 $f(1)f(-1)=4$ 给 $f(1)^2=4$ ，正值条件排除−2，所以 $f(1)=2$ ；再由乘积得 $f(3)=2$ 。

一组1到4的值为2、4、2、1，和9，2024项正好506组，总和 $506\times9=4554$ ，选 C。A、B、D各数都不等这个整组和。这里既不能漏掉正值筛根，也不能把原 $f(x-2)$ 的偶性不经变形当作 $f(x)$ 偶性。

本题结论

C，4554。

例题 04 带输入缩放的对称关系与余项

题目

已知定义在 $R$ 上的函数 $f\left( x\right)$ 满足 $f\left( x+1\right)$ 为奇函数，且 $y=f\left( 2x\right)$ 的图象关于直线 $x=1$ 对称，若 $f\left( 0\right)=-1$ ，则 $\sum _{i=1}^{50} f(i)=$ （）

A． $-1$ B．0 C．1 D．2

答案与解析

解析

$f(x+1)$ 奇，等价于 $f(2-t)=-f(t)$ 。取 $t=1$ 得 $f(1)=0$ ，取0并用 $f(0)=-1$ 得 $f(2)=1$ 。

令 $H(x)=f(2x)$ ，其图象关于1对称，故 $H(2-x)=H(x)$ ，即 $f(4-2x)=f(2x)$ 。因 $2x$ 取遍全实数，得到 $f(4-t)=f(t)$ ，原 $f$ 的轴在2，不是1。于是 $f(3)=f(1)=0,f(4)=f(0)=-1$ 。

两种关系联用： $f(x+2)=f(2-x)=-f(x)$ ，再平移一次得到周期4。整数1到4一组为0、1、0、−1，组和0。 $50=4\times12+2$ ，还有两项 $f(1)+f(2)=1$ ，总和为1，选 C。

A把余项误算为−1，B漏余项，D不符合两项实际和。求和从1开始，不能换成从0开始的一组而不同时调整余项。

本题结论

C，1。

例题 05 非整数反周期与整数项分组

题目

已知定义在R上的函数 $f(x)$ 的图象关于点 $\left( -\frac{3}{4},0\right)$ 对称，且满足 $f(x)=-f\left( x+\frac{3}{2}\right)$ ，又 $f(-1)=1$ ， $f(0)=-2$ ，则 $f(1)+f(2)+f(3)+\cdots +f(2010)+f(2011)=$ .

答案与解析

解析

题给反周期步长 $3/2$ ，连续应用两次得到周期3。中心 $(-3/4,0)$ 的关系为 $f(-3/2-x)=-f(x)$ ；在输入 $-x-3/2$ 处用反周期式，又有 $f(-3/2-x)=-f(-x)$ 。两式比较得 $f(-x)=f(x)$ ，函数偶。

所以 $f(1)=f(-1)=1$ ，周期3给 $f(2)=f(-1)=1$ 、 $f(3)=f(0)=-2$ 。一组三项和为0； $2011=3\times670+1$ ，完整670组消去，余项 $f(1)=1$ ，答案为1。

整数采样步长是1，不能把相邻整数看成相隔反周期 $3/2$ ；这里使用的是已证明的整数周期3。也不能只看第2011项就当整个和，须先证明完整组贡献为0。

本题结论

1。

例题 06 利用对称延拓指定区间的规则

题目

已知函数 $f\left( x\right)$ 是定义在R上的偶函数，且 $y=f\left( x\right)$ 的图象关于直线 $x=2$ 对称.

(1)证明： $f\left( x\right)$ 是周期函数.

(2)若当 $x\in \left[ -2,2\right]$ 时， $f\left( x\right)={x}^{2}+{x}^{-2}$ ，求当 $x\in \left[ 2,6\right]$ 时， $f\left( x\right)$ 的解析式.

答案与解析

解析

（1）仅用共同题设证明周期。偶性给 $f(-x)=f(x)$ ，轴2给 $f(4-x)=f(x)$ 。在轴式中用−x，得到 $f(4+x)=f(-x)=f(x)$ ，故4是一个周期。全实数域保证每次平移合法。

（2）新增公式的条件冲突。给定 $[-2,2]$ 含0，但 $x^{-2}=1/x^2$ 在0无意义；同时题面要求全实数域函数在该整段等于此式，两者不能同时满足。所以按本问完整条件，不存在合法实函数，不能给出覆盖整个 $[2,6]$ 的解析式。

原资料给出的形式答案是 $(x-4)^2+(x-4)^{-2}$ 。它只能说明：对 $x\in[2,6]$ 且 $x\ne4$ ，移后输入 $x-4\in[-2,2]\setminus\{0\}$ ，在这些合法旧输入上形式推得

f(x)=f(x-4)=(x-4)^2+\frac1{(x-4)^2}.

不能在4使用该式。如果另行把题目改成只在非零旧输入给规则、仍保留全实数域，那么 $f(4)=f(0)$ 的自由值还未由此式确定；若改函数域，也须核周期平移保持域。这里不替原题选择修订方案，更不静默删点补值。

本题结论

（1）4是一个周期；（2）新增条件在0处冲突，原形式式仅能用于移后非零输入，不能作为整段合法答案。