全局最值、端点与实际优化

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导数给出局部变化方向，最值却要求比较全部允许输入，并在合法位置实际取得。先整理范围与候选，再处理开端点、参数分支和实际单位。

一、知识点概念与依据

1. 最值同时包含全域比较与实际取得

在给定非空集合 $D$ 中，存在 $c\in D$ 使每个 $x\in D$ 都有 $f(x)\le f(c)$ ，才称 $f(c)$ 为最大值；最小值反向。两部分缺一不可：有界不表示界能取到，取得一个局部极大值也不表示它最大。

最大值若存在，作为数唯一，取得点可以多个。局部极值只比较邻域，不能用局部高低标签替代跨分支的实际比较。

2. 闭区间为什么只需检查这些候选

连续函数在闭有界区间 $[a,b]$ 上必取到最大、最小值。这是本章采用的拓展定理；连续、闭、有界三项不可省。若取得点在内部且可导，极值的必要条件给出导数0。因此候选为：

候选位置	为什么保留
两个闭端点	端点最值不要求导数0
全部内部驻点	可导内点取得最值时必在此列
内部不可导点	驻点定理不适用，不能因此漏掉

分母为0的断口没有函数值，不是候选。一个点既是端点又是导数零点，只记一次。若有无穷多个驻点，原则仍成立，但不能假装是一张有限清单，需结合单调或全域不等式比较。

3. 开端点与无穷远只提供趋势

开区间或无界范围没有闭区间定理的取到保证。内部先减后增的点只是局部最低候选，仍要检查远处及其他定义域分支。

开端点的有限极限不是该端点实际函数值，不能直接报成最值。
若开端点极限低于一个内部候选，则靠近端点的实际值也会更低，候选不是全局最小。
若极限恰等于内部候选，该候选仍可能是最小值，因为它自己确实取得。
无最大值可由无上界证明，也可证明每个实际函数值都能被另一个更大实际值超过。无最小值同理。

例如 $e^x-ex$ 在全实轴有最小值0却无最大值，完整证明见全实轴最值例题。无界定义域不意味着两个最值都不存在。

4. 实际目标与可行格点先于求导

主变量、目标量和可行范围必须同时建立。矩形面积是两边乘积；利润是收入减固定及变动全部成本；每千米成本是每小时成本乘行驶1千米所需时间。目标单位不同，不能直接最小化同一个式子。

变量含义	合法输入的解释
长度、速度等连续量	保留题给正性与上下界，不擅自限整数
件数 $N$	正整数或题设允许的非负整数
以千件计的 $x$	若按整件生产， $x=N/1000$ ，格点步长0.001

连续单峰或单谷模型中，若最优点不可行，左右单调性保证只需比较其两侧最近的合法格点及必要端点；不是对横坐标直接四舍五入。多段、多峰则逐段列候选再全局比较。若连续最优本就可行，它也达到整数子集的全局界；若不可行，连续上界或下界仍可用于排除整段。

二、考点方法与例题

方法一：先找全体候选，再严格比较

抄出完整范围，核定义域、连续性、端点开闭。
求导，在每个合法分段证明符号，列驻点、不可导内点和闭端点。
代原函数比较，不代导函数。单调性可直接比较同一支两端；跨支可作差，用已证不等式判号，不以未经说明的“显然”代替。
分别回答最大值、最小值是否存在，以及在哪取得。若无最值，给出趋势或实际更优点的论证。

例题 01 闭区间内的驻点与两端

题目

函数 $f\left( x\right)=\left( {x}^{2}-4x+1\right){e}^{x}$ 在区间 $\left[ -3,3\right]$ 内的最大值和最小值分别为（）

A． $\frac{6}{e},-2{e}^{3}$ B． $\frac{6}{e},-3{e}^{2}$ C． $\frac{9}{e},-2{e}^{3}$ D． $\frac{9}{e},-3{e}^{2}$

答案与解析

解析

多项式与指数的积连续。求导

f^{\prime}(x)=e^x[(x^2-4x+1)+(2x-4)]=e^x(x-3)(x+1).

在 $(-3,-1)$ 为正，在 $(-1,3)$ 为负，故先增后减。候选与值为：

$x$	$-3$	$-1$	$3$
$f(x)$	$22/e^3$	$6/e$	$-2e^3$

第一段严格增保证 $22/e^3<6/e$ ；两正值均大于负值。因此最大值 $6/e$ 在 $-1$ 取得，最小值 $-2e^3$ 在3取得，选A。3同时是导数零点，不因此重复计数。

本题结论

A，最大 $6/e$ ，最小 $-2e^3$ 。

例题 02 由极值条件定参后比较端点

题目

若 $x=\frac{1}{2}$ 是函数 $f(x)=a{x}^{2}+\ln (3x)$ 的一个极值点，则当 $x\in [\frac{1}{e},e]$ 时， $f\left( x\right)$ 的最小值为（）

A． $-2+\ln 3$ B． $-\frac{2}{{e}^{2}}+\ln 3-1$ C． $-\frac{1}{2}+\ln \frac{3}{2}$ D． $-2{e}^{2}+\ln 3+1$

答案与解析

解析

定义域 $x>0$ ， $f^{\prime}(x)=2ax+1/x$ 。可导内点 $1/2$ 为极值点，必要式 $a+2=0$ 给 $a=-2$ 。回代导数 $(1-4x^2)/x$ 在 $1/2$ 左正右负，确为极大值点。

由 $e>2$ ， $1/e<1/2<e$ ，区间先增后减，最小值只能在两端。分别计算

f(1/e)=-2e^{-2}+\ln3-1,\qquad f(e)=-2e^2+\ln3+1.

两者之差为 $2(e^2-e^{-2}-1)>0$ ，因为 $e>2$ 使括号 $>4-1/4-1>0$ 。因此最小值为后者，选D；极大值点本身不是最小值点。

本题结论

D， $-2e^2+\ln3+1$ 。

方法二：反求最值条件要核整个区间

先判断哪个合法点能够取得最值，再写点值方程或位置条件。含参数时，按驻点碰到端点、根重合、定义域变化等临界情形分支；解出的参数必须回到原分支验证。

题说函数“在一个区间上”时，该区间应属于定义域，不擅自改成与定义域的交集。对数正定义域允许开左端为0，不允许区间含负数。最大值参数分支外根的完整例子见最大值所在分支。

例题 03 开区间内最小值的存在条件

题目

已知 $f\left( x\right)=\frac{1}{3}{x}^{3}-x$ 在区间 $(m,6-{m}^{2})$ 上有最小值，则实数 $m$ 的取值范围是（）

A． $\left( -\infty ,\sqrt{5}\right)$ B． $\left( -\sqrt{5},1\right)$ C． $\left[ -2,\sqrt{5}\right)$ D． $\left[ -2,1\right)$

答案与解析

解析

$f^{\prime}(x)=x^2-1$ ，函数依次增、减、增， $-1$ 是局部极大点，1是唯一局部极小点。开区间中若实际取得最小值，取得点为可导内点，所以只能是1。首先须

m<1<6-m^2\iff-\sqrt5<m<1.

但含1还不够。作差得

f(x)-f(1)=\frac{x^3-3x+2}{3}=\frac{(x-1)^2(x+2)}3.

若 $m\ge-2$ ，所有允许 $x>m$ 都满足 $x+2>0$ ，故 $f(x)\ge f(1)$ ，并在1实际取等。若 $m<-2$ 且区间含1，则其中有 $m<x<-2$ ，差为负，1不是最小值；又无其他局部极小点，所以无最小值。

合并得 $-2\le m<1$ ，选D。 $m=-2$ 的开端点虽与1同高，却不影响内部1取得最小值。因式中末项应是当前变量加2；代 $x=m$ 时是 $(m-1)^2(m+2)$ ，不能混写变量。

本题结论

D， $m\in[-2,1)$ 。

例题 04 正定义域中的开区间限制

题目

已知函数 $f(x)=x+\frac{4}{x}+3\ln x$ 在 $(a,2-3a)$ 内有最小值，则实数a的取值范围是（）

A． $0<a<\frac{1}{3}$ B． $0\le a<\frac{1}{3}$ C． $\frac{1}{3}<a<1$ D． $0\le a<\frac{1}{2}$

答案与解析

解析

原定义域 $x>0$ ，

f^{\prime}(x)=1-\frac4{x^2}+\frac3x=\frac{(x+4)(x-1)}{x^2}.

在 $(0,1)$ 负、 $(1,+\infty)$ 正，唯一全局最小值在1取得。题给开区间本身属于定义域，故左端 $a\ge0$ ；要实际取得最小值，又须 $a<1<2-3a$ 。合并为 $0\le a<1/3$ ，选B。

$a=0$ 合法，因为所有内部输入仍正； $a=1/3$ 时1仅是右端且不包含，不能取到最小值。这里不是把含负数的区间私自与定义域求交。

本题结论

B， $a\in[0,1/3)$ 。

方法三：模型、各段最优、还原方案

先明确变量单位，几何问题核每一条边，数量问题核实际格点。
写正确目标，消去其余变量，收入分段则利润也同步分段。
各段求导并用符号证明最优，核端点与不可导分界；所有分段候选统一比较。
对可行格点作必要比较，还原其他边长或数量，回答方案、目标及单位，并回验题设全部约束。

某公园有一块如图所示的区域 $OACB$ ，该场地由线段 $OA$ 、 $OB$ 、 $AC$ 及曲线段 $BC$ 围成.经测量， $\angle AOB=90^{\circ}$ ， $OA=OB=100$ 米，曲线 $BC$ 是以 $OB$ 为对称轴的抛物线的一部分，点 $C$ 到 $OA$ 、 $OB$ 的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场 $OEDF$ ，其中点 $D$ 在曲线段 $BC$ 上，点 $E$ 、 $F$ 分别在线段 $OA$ 、 $OB$ 上，且该游乐场最短边长不低于30米.设 $DF=x$ 米，游乐场的面积为 $S$ 平方米.

(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段 $BC$ 的方程；

(2)求面积 $S$ 关于 $x$ 的函数解析式 $S=f\left( x\right)$ ；

(3)试确定点 $D$ 的位置，使得游乐场的面积 $S$ 最大.

答案与解析

解析

（1）以 $O$ 为原点，沿 $OA,OB$ 分别建立 $x,y$ 轴，单位米。于是 $A=(100,0),B=(0,100),C=(50,50)$ 。

对称轴为 $OB$ 即 $y$ 轴，抛物线写 $y=\alpha x^2+100$ 。代 $C$ 得 $\alpha=-1/50$ ，故曲线段方程

y=100-\frac{x^2}{50},\qquad 0\le x\le50.

（2） $D$ 只能在曲线段 $BC$ 上，不扩展到线段 $AC$ 。 $DF=x$ ，另一边 $DE=100-x^2/50\in[50,100]$ ，已不小于30；因此最短边限制恰给 $30\le x\le50$ 。面积

S=f(x)=100x-\frac{x^3}{50},\qquad x\in[30,50].

（3） $f^{\prime}(x)=100-3x^2/50$ 。代数根为 $\pm50\sqrt6/3$ ，仅正根在范围内，因为 $30<50\sqrt6/3<50$ 。导数在其左正右负，故为全段唯一最大点。此时

D=\left(\frac{50\sqrt6}{3},\frac{200}{3}\right),\qquad S_{\max}=\frac{10000\sqrt6}{9}\ \mathrm{m^2}.

两边都不少于30米，方案可行。示意图用来辨认位置，长度与曲线参数以题给数据计算，不按绘图轮廓估值。

本题结论

$D$ 距 $OB$ 为 $50\sqrt6/3$ 米，面积最大 $10000\sqrt6/9$ 平方米。

例题 06 分段收入下的全年利润

题目

已知某公司生产某品牌服装的年固定成本为10万元，每生产一千件需另投入2.7万元，设该公司年内共生产该品牌服装 $x$ 千件并全部销售完，销售收入为 $R\left( x\right)$ 万元，且 $R\left( x\right)=\left\{ \begin{aligned}\left( 10.8-\frac{1}{30}{x}^{2}\right)x,0<x\le 10\\108-\frac{1000}{3x},x>10\end{aligned}\right.$ .

（注：年利润=年销售收入 $-$ 年总成本）

(1)写出年利润W（万元）关于年产量 $x$ （千件）的函数解析式；

(2)年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大？

答案与解析

解析

（1）总成本为 $10+2.7x$ 万元，不是单位成本。因此

W(x)=\begin{cases}8.1x-x^3/30-10,&0<x\le10,\\98-1000/(3x)-2.7x,&x>10.\end{cases}

（2）第一段 $W^{\prime}=8.1-x^2/10$ ，在9前正、9后负，故最大值 $W(9)=38.6$ 万元。第二段 $x>10$ ，两正项乘积为900，因此

W(x)=98-\left(\frac{1000}{3x}+2.7x\right)\le98-2\sqrt{900}=38.

连续模型等号于 $1000/(3x)=2.7x$ ，即 $x=100/9>10$ ；两段在10均给 $113/3$ 万元，不漏分界点。比较 $38.6>38$ ，全域最大在 $x=9$ ，即9000件。

若按完整件生产，允许 $x=N/1000$ ，不是整数千件。9对应9000件可行；第二段即便 $100/9$ 千件不能精确成为整数件，连续上界38仍排除了整段，所以最终结论不受影响。

本题结论

年产9千件时最优，最大年利润38.6万元。

例题 07 从每小时费用换算单位里程费用

题目

某种型号轮船每小时的运输成本 $Q$ （单位：元）由可变部分和固定部分组成．其中，可变部分成本与航行速度的立方成正比，且当速度为 $10km/h$ 时，其可变部分成本为每小时8元；固定部分成本为每小时128元．

(1)设该轮船航行速度为 $xkm/h$ ，试将其每小时的运输成本 $Q$ 表示为 $x$ 的函数；

(2)当该轮船的航行速度为多少时，其每千米的运输成本 $y$ （单位：元）最低？

答案与解析

解析

仅按题设成本模型计算，不代替实际航行安全、限速或运营决策。

（1）设可变成本 $kx^3$ ，由 $8=k\cdot10^3$ 得 $k=1/125$ 。所以每小时成本

Q(x)=\frac{x^3}{125}+128,\qquad x>0.

（2）速度 $x$ 千米/小时，走1千米需 $1/x$ 小时。所求每千米成本不是 $Q$ ，而是

y=\frac Qx=\frac{x^2}{125}+\frac{128}{x},\qquad y^{\prime}=\frac{2(x^3-8000)}{125x^2}.

分母正，在 $(0,20)$ 导数负，在 $(20,+\infty)$ 正，所以20是全域唯一最低点， $y(20)=400/125+128/20=9.6$ 。速度与费用分别带不同单位，不把“20”当成成本。

本题结论

速度20千米/小时，最低每千米费用9.6元。