同一个对象记录两个类别；四格、行合计、列合计都由同一批对象交叉计数。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

先有成对对象，再有四格

一个观察单位同时记录两个分类特征，例如同一学生的成绩类别和性别、同一颗种子的处理类别和生病与否。0、1作为类别编码只是标签，不表示数量大小或相差一个单位。

两个变量各有两个互斥、合起来覆盖研究对象的类别，才形成 $2\times2$ 表。不能拿两批不同对象的分别统计拼成联合表；有缺失、第三类或类别重叠时，先说明纳入和分类规则，不强行塞入四格。

每个对象恰进入一个格

同一批 $n$ 个对象，$X$ 分为 $x_1,x_2$，$Y$ 分为 $y_1,y_2$：

类别	$Y=y_1$	$Y=y_2$	行合计
$X=x_1$	$a$	$b$	$a+b$
$X=x_2$	$c$	$d$	$c+d$
列合计	$a+c$	$b+d$	$n=a+b+c+d$

$a$ 同时满足 $X=x_1,Y=y_1$，其余格同理。四格是非负整数，边际是行、列合计。每对象恰在一个交叉格，因此行列加法只靠互斥分类，不需要假设变量独立；有关联时也同样成立。

零格、空组和转置

某格可以为0，但计算某组内比例须该组总数正。若使用题附四格 $\chi^2$ 闭式，四个行列边际均须正，否则分母0。转置表格不改变对象或总量，但字母、行列标题与后续代入必须一起转置，不能只换标题。

考点

补数后必须双向核验

1. 逐个标明已有数字是交叉格、行合计、列合计还是全样本 $n$。原题的未知 $a,b$ 可能是边际，别机械套通用四格位置。
2. 从仅一个空格的行或列入手，用“合计减已知格”；比例题按完整份数分配，人数须满足非负整数、整除条件。
3. 逐次补交叉行列；有冲突就回查数据和分类，不为凑总数篡改另一格。
4. 核每行、每列，两行总和、两列总和及四格总和都等于同一 $n$。某组人数不能误当全样本量。

例题 01 边际表中的两个未知数

题目

下面是$2\times 2$列联表：

	${y}_{1}$	${y}_{2}$	合计
${x}_{1}$	$a$	21	73
${x}_{2}$	22	25	47
合计	$b$	46	120

则表中$a$，$b$的值分别为（    ）

A．94，72 B．52，50 C．52，74 D．74．52

答案与解析

解析

第一行给 $a+21=73$，故 $a=52$；第一列给 $b=a+22=74$。

再查第二列 $21+25=46$，两行 $73+47=120$，两列 $74+46=120$，四格 $52+21+22+25=120$，一致，选C。A、D的第一项不满足第一行；B的 $a$ 正确但 $b$ 不是第一列合计。

本题 $b$ 是第一列合计，不是通用列联表里第一行第二格的字母；应以题表为准。

本题结论

C（52，74）

例题 02 消防知识测试的表格与抽样

题目

为了解学生性别与掌握消防安全知识情况的关系，某校组织了消防安全知识测试，在高二年级中随机抽取600名学生统计其测试成绩，如下表（单位：人）：

测试成绩性别	良好	不够良好	总计
男生	150		300
女生		100
总计	350		600

(1)将上表中数据补充完整；

(2)从该校高二年级的学生中有放回地随机抽取2次，每次抽取1名学生，以频率作为概率，估计这2次抽取的学生的测试成绩全都良好的概率；

(3)试问是否有99.9%的把握判断消防安全知识测试成绩与性别有关？

附：${χ}^{2}=\frac{n{(ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$，$n=a+b+c+d$．

$\alpha$	0.100	0.010	0.001
${x}_{\alpha }$	2.706	6.635	10.828

答案与解析

解析

（1）男生不够良好 $300-150=150$；女生良好 $350-150=200$，女生总数 $200+100=300$，不够良好总数250。补全为：

性别	良好	不够良好	总计
男生	150	150	300
女生	200	100	300
总计	350	250	600

行、列和与四格合计都为600。

（2）这600人是抽到的样本，不能据此认定整个高二只有600人。用样本频率估计总体良好概率为 $\hat p=350/600=7/12$。后续在同一固定总体中等可能、独立地抽取并放回，放回保持组成，独立随机机制允许乘积，所以估计两次全良好概率为 $\hat p^2=49/144$。这不是不放回模型，也不是未知总体概率的无误差精确值。

（3）令 $H_0$ 为该年级总体中性别与成绩类别独立。按题附公式，

$$\chi^2=\frac{600(150\times100-150\times200)^2}{300\times300\times350\times250}=\frac{120}{7}\approx17.143>10.828.$$

按题给 $\alpha=0.001$ 拒绝 $H_0$，样本支持两个分类变量存在统计关联，对应题目“99.9%的把握”的表达。规范含义是：在独立成立且检验适用时，该决策规则把独立误判为有关的概率受给定水平控制（卡方近似下）；不是本次 $H_0$ 真假的后验概率。

同一学生身上的性别与成绩是否独立，与两次随机抽取事件是否独立，是两个不同问题。统计关联也不证明性别造成成绩差异。

本题结论

（1）见补全表；（2）$49/144$；（3）按题给0.001水平拒绝独立

坑点

补表不是先假定独立

补数用分类加法，不能无条件用边际乘积来填四格；后者是独立模型下的期望频数思路，不是实际观测格的通用值。

四格整数与两个边际方向都要查

某行人数不是全部样本量；只核一个方向会漏掉冲突。空白题格留待作答，计算中检查非负整数，不能把人数当任意实数。

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