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外观

抛物线截面模型：拱桥水位与天线焦点

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先分清全宽与半宽、坐标正负与实际长度，再用题给理想截面的参数解释结果。

一、知识点 理解概念

1. 模型来自题给截面，不来自“看起来像”

题目明确给抛物线形截面，才能用抛物线方程表示它；不能把任意弯曲轮廓凭外观假设成抛物线。实际物体通常只对应无限数学曲线的一段，坐标范围由题给有效截面决定。

以顶点为原点、对称轴为一条坐标轴，并说明正方向。向下的桥拱可写 x2=−2pyx^2=-2py，p>0p>0；向右的天线截面可写 y2=2pxy^2=2px。同一模型中的坐标与实际长度采用相同单位。

2. 宽度是两侧间距，端点坐标取半

对称截面的全宽或口径 ww，两侧相对对称轴的坐标为 ±w/2\pm w/2，不是 ±w\pm w。轴向深度还要按正方向带符号，再把完整端点代入方程确定 pp。

焦顶距是 p/2p/2，不是方程系数 2p2p，也不是参数 pp。先比较标准式系数，再读焦点坐标，避免连续除2时失去对象。

3. 水位变化先换坐标，再求两侧差

若向上为正，低于拱顶 hh 的水面为 y=−hy=-h；再下降 dd，新水位为 y=−(h+d)y=-(h+d)，不是 −h+d-h+d。解方程得到两对称交点后，实际宽度是两坐标之差，不能只取一个交点的绝对坐标。

检查新水位是否仍在题给桥洞截面适用范围内，结果保非负长度与单位。模型上的焦点不是反射曲线上的物体点，不应把焦点也强行限制在镜面截线的坐标范围中。

二、考点 方法与例题

方法：选系、半宽、定参、解释结果

  1. 确认题目已给抛物线截面；选顶点与轴，写明正方向及统一单位。
  2. 将全宽换半宽，将深度或拱顶到水面的距离换成有符号轴坐标；用端点确定唯一参数。
  3. 水位变化先换新坐标，求两个交点的差；焦点问题读取 p/2p/2，不用系数冒充距离。
  4. 回到物理有效截面与原题目标，核范围、长度非负及单位。题给信号中心位于焦点，就按此条件求坐标，不额外声称已验证真实设备性能。

例题 01 桥洞水位变化后的宽度

如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ）

原资料配图
原资料配图

A．43m4\sqrt{3}m B．45m4\sqrt{5}m C．83m8\sqrt{3}m D．85m8\sqrt{5}m

答案与解析

选D，85 m8\sqrt5\,\mathrm m。 取拱顶为原点，对称轴为 yy 轴，向上为正，坐标长度单位为米。初始水面 y=−4y=-4，全宽16对应两端 x=±8x=\pm8。

原解建立的顶点坐标系
原解建立的顶点坐标系

设 x2=−2pyx^2=-2py、p>0p>0，将 (8,−4)(8,-4) 代入得 64=8p64=8p，所以 p=8p=8，方程为 x2=−16yx^2=-16y。水面下降1米，坐标变为 y=−5y=-5，因此

x2=80,x=±45.x^2=80,\qquad x=\pm4\sqrt5.

按题设该段桥洞的抛物线截面，水面宽为两横坐标差 85 m8\sqrt5\,\mathrm m。B只给半宽；A、C用了相反的水位变化方向，其中A还只取了半宽，故选D。尺度来自题干及原图标注16米、4米，不由图像像素测量。这是题给理想截面的计算，不扩展为现实桥梁工程结论。

例题 02 天线口径、深度与焦点位置

图1为一种卫星接收天线，其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分，已知该卫星接收天线的口径∣AB∣=6\left| AB\right|=6，深度∣MO∣=1\left| MO\right|=1，信号处理中心FF位于焦点处，以顶点OO为坐标原点，建立如图2所示的平面直角坐标系xOyxOy，则焦点FF的坐标为（    ）

原资料配图
原资料配图

A．(92,0)\left( \frac{9}{2},0\right) B．(94,0)\left( \frac{9}{4},0\right) C．(98,0)\left( \frac{9}{8},0\right) D．(32,0)\left( \frac{3}{2},0\right)

答案与解析

选B，F=(9/4,0)F=(9/4,0)。 依题给坐标系，顶点在原点、开口向右。全口径 AB=6AB=6，半口径为3；深度 OM=1OM=1，所以截面口缘两端为 (1,±3)(1,\pm3)。

设 y2=2pxy^2=2px、p>0p>0。把 (1,3)(1,3) 代入，得 2p=92p=9，于是 p=9/2p=9/2、焦顶距 p/2=9/4p/2=9/4，故 F=(9/4,0)F=(9/4,0)。

A把参数 pp 当焦顶距，C额外多除一次2，D不符合端点代入关系，只有B正确。曲面截线这一段可限在 0≤x≤10\le x\le1，但焦点不是截线上的点，不要求 xF≤1x_F\le1；9/4>19/4>1 与口缘外侧的焦点位置不矛盾。

信号处理中心在焦点是原题给定条件。本题不需证明信号反射规律，也没有据此验证真实天线的遮挡、材料或全部物理性能。原题未给长度单位，不擅自为坐标添加米或厘米。

三、坑点 辨析与纠错

1. 全宽误当半宽，会把参数放大四倍

端点横向坐标进入平方，错把 w/2w/2 写成 ww，其平方变为四倍，因而算出的 pp 也会变成四倍。先画清两侧间距与单侧坐标，比算完后猜量级更可靠。

2. 下降量的正负取决于坐标方向

向上为正时，下降使 yy 更小、更负，而不是更接近0。坐标可以为负，实际宽度必须非负；最终用两个交点的坐标差并保单位。

3. 有限物体与无限数学曲线不要混淆

物体只占曲线的一段，题给有效截面外不可任意外推；但焦点是确定整条理想抛物线的几何点，并非必须位于该段物体表面。模型结论以题给理想形状与尺度为条件，不自动成为现实工程设计或设备性能认证。