独立试验组合：模式内相乘，互斥模式间相加

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先写清谁成功、谁失败、哪项没有限制，再判断目标包含哪些完整模式。相乘依赖相互独立，相加依赖不重叠分解，两种依据不能互相代替。先修：独立性与全部子组条件、互斥加法与取补。

一、知识梳理

1. 独立的两个事件分别取补后，仍可连乘

设 $A,B$ 独立， $p=P(A),q=P(B)$ 。由互斥分解，

\begin{aligned} P(\overline A B)&=P(B)-P(AB)=q-pq=(1-p)q,\\ P(A\overline B)&=P(A)-P(AB)=p-pq=p(1-q),\\ P(\overline A\overline B)&=P(\overline A)-P(\overline A B) =(1-p)-(1-p)q=(1-p)(1-q). \end{aligned}

这就证明：原独立事件中任取一方或双方的补事件，仍独立。全程没有除法， $p,q$ 为0或1也成立。

完整模式	事件	概率
都发生	$AB$	$pq$
仅 $A$ 发生	$A\overline B$	$p(1-q)$
仅 $B$ 发生	$\overline A B$	$(1-p)q$
都不发生	$\overline A\overline B$	$(1-p)(1-q)$

四模式互斥且覆盖整个试验。这里不是说任意一对对立事件独立： $A$ 与它自己的补事件在 $0<P(A)<1$ 时不独立；结论针对原来已经独立的两个事件分别取补。

2. 恰好、至少、至多，先看含哪些模式

两个独立事件中：

\begin{aligned} P(\text{恰好一个})&=p(1-q)+(1-p)q,\\ P(\text{至少一个})&=1-(1-p)(1-q)=p+q-pq,\\ P(\text{至多一个})&=1-pq. \end{aligned}

恰好一个只含中间两模式；至少一个还含都发生；至多一个则含都不发生、仅 $A$ 、仅 $B$ 。中文都带“一个”，并不表示同一个事件。

3. 多事件完整指定模式的乘法依据

设 $n$ 为正整数， $A_1,\ldots,A_n$ 相互独立， $p_i=P(A_i)$ 。相互独立是全部非空子组的乘积条件，不是只给两两独立或全体一次等式。

完整模式规定每次成功或失败：成功用 $p_i$ ，失败用 $1-p_i$ ，连乘这些因子。各次概率不必相同，0或1也允许。补事件可逐项替换的理由如下：取除第 $i$ 项外的任一子组交事件 $G$ ，由相互独立，

P(\overline{A_i}G)=P(G)-P(A_iG) =P(G)-p_iP(G)=(1-p_i)P(G).

这个结论对每个相关子组都成立，所以把 $A_i$ 换为补事件后仍相互独立；重复此步骤便得到任意成功/失败模式。没有用条件概率除法，端点仍合法。

若只限定若干次结果，未限定的项不要强加失败；把它的成功与失败两种可能相加，贡献 $p_i+(1-p_i)=1$ ，因此只乘真正被指定的因子。

4. 多模式求和与分组计算

两个不同完整模式至少在某次结果上一个要求成功、另一个要求失败，所以不能同时成立。恰好 $k$ 次成功， $k$ 须为0至 $n$ 的整数，应把全部恰含 $k$ 个成功的模式各算一次再相加。

若各次成功概率同为 $p$ ，每个这样的模式概率为 $p^k(1-p)^{n-k}$ ，总事件还要乘模式数。本页小规模题直接列模式，不能把一个指定次序当作全部次序。 $p=0$ 或1时按每项0、1直接计算，避免把省写幂式的 $0^0$ 当成已定义的数。各人概率不同，模式权重通常不同，不能随意乘模式数代替逐项计算。

多人的多轮题须同时核人与人、轮与轮的独立条件。若原始结果相互独立，且两个组事件分别只依赖不重叠结果组，可先在各组内求和再相乘：把每组展开为互斥模式，组间模式交的概率连乘，再用有限求和的分配律，把各组的和分别提出。这说明组内总分或次数事件为何独立，不是给事件换个名字就能相乘。共享原始结果时，不能用此分组理由。

5. 至少一次的补，第一步并不依赖独立

至少一个成功的补是全部失败，总有

P\left(\bigcup_{i=1}^n A_i\right) =1-P\left(\bigcap_{i=1}^n\overline{A_i}\right).

只有再具备相互独立，才可写成 $1-\prod_{i=1}^n(1-p_i)$ 。若各次概率同为 $p$ ，固定正整数 $n$ 次独立试验可写 $1-(1-p)^n$ ； $p=0$ 得0， $p=1$ 得1。只给两两独立且 $n>2$ ，不能自动拆成这串乘积。

两个事件的至多一个，其补是两者都成功；三个及以上的至多一个，其补是至少两个成功，不是全体成功。取补边界仍须重新翻译。

二、考点与方法

方法 1：先列四模式，再核每个中文选项

把两人的成功事件记清，列都成功、仅甲、仅乙、都失败四个互斥结果。每项内部由独立性连乘，目标再按所含模式求和或完整取补；四项之和应为1。

例题 01 两人攻克难题的概率判断

题目

甲、乙两人独立地攻克一道难题，已知两人能攻克的概率分别是 $\frac{1}{3}$ ， $\frac{2}{5}$ ，则下列概率计算正确的是（）

A．该题被攻克的概率为 $\frac{11}{15}$ B．该题未被攻克的概率为 $\frac{4}{15}$

C．该题至少被一人攻克的概率为 $\frac{7}{15}$ D．该题至多被一人攻克的概率为 $\frac{13}{15}$

答案与解析

解析

记甲攻克为 $A$ 、乙攻克为 $B$ 。题干明确独立，四模式为：

结果	事件	概率
两人都攻克	$AB$	$(1/3)(2/5)=2/15$
仅甲攻克	$A\overline B$	$(1/3)(3/5)=3/15$
仅乙攻克	$\overline A B$	$(2/3)(2/5)=4/15$
都未攻克	$\overline A\overline B$	$(2/3)(3/5)=6/15$

四项和为1。选项 A 与 C 都问至少一人攻克，概率 $1-6/15=9/15=3/5$ ，不是各自写的 $11/15$ 、 $7/15$ 。B 的未攻克是都失败，概率 $6/15=2/5$ ，不是 $4/15$ 。

D 的至多一人包含0人与1人，概率 $3/15+4/15+6/15=13/15$ ；也可用 $1-P(AB)=1-2/15=13/15$ ，所以 D 正确。 $7/15$ 实际对应恰好一人，只含中间两行，不可替代至少一人。

本题结论

D。

方法 2：恰好一人必须把另一人的失败写进去

列成功者身份，但同时补上其余失败条件；不同完整模式互斥后才相加。成功概率不同的模式，分别计算，不按人物数随意倍乘。

例题 02 两人破译的概率

题目

在一家高科技公司，研发团队设计了一个高度机密的保险箱密码.为了防止密码被泄露，公司决定让两名顶级安全专家甲和乙分别独立破译密码.甲专家擅长某种加密算法，其独立破译密码的概率为 $0.4$ ，乙专家有更先进的解密工具，其独立破译密码的概率为 $0.6$ ，则两人中恰有一人破译密码的概率为（）

A． $0.4$ B． $0.52$ C． $0.6$ D． $0.76$

答案与解析

解析

恰好一人分为甲成功乙失败，或甲失败乙成功，两模式互斥。题干给独立，所以

P=0.4(1-0.6)+(1-0.4)0.6=0.16+0.36=0.52.

选 B。A 的0.4只表示甲成功，未限制乙；C 的0.6只表示乙成功，未限制甲；D 的0.76是至少一人成功，包含两人都成功的 $0.4\times0.6=0.24$ ，不是恰好一人。

本题结论

B，即 $0.52$ 。

方法 3：至少一人可先算都失败，但乘法要另有依据

先写准确补事件，再用1减。题面明确相互独立时，全部失败概率可连乘；否则只能保留交事件概率。连续失败不使下一次固定独立试验“该成功了”，本次仍按给定概率。

例题 03 两人各射箭一次

题目

已知甲、乙两位射箭运动员射中10环的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且甲、乙两人射箭的结果互不影响，若两人各射箭一次，则甲、乙两人中至少有一人射中10环的概率为（）

A． $\frac{2}{3}$ B． $\frac{11}{12}$ C． $\frac{3}{4}$ D． $\frac{8}{9}$

答案与解析

解析

至少一人中10环，包含仅甲、仅乙、两人都中三类，其补仅为两人都不中。题干明确互不影响，两补事件也独立，每人不中概率 $1/3$ ，所以

P=1-\frac13\cdot\frac13=\frac89.

选 D。正向核对：仅甲 $2/9$ 、仅乙 $2/9$ 、都中 $4/9$ ，合计 $8/9$ 。A 的 $2/3$ 只是单人概率，B、C 均不符都不中概率 $1/9$ 。

若直接把两个 $2/3$ 相加得 $4/3$ ，两人都中的 $4/9$ 被算了两遍；不是两个事件独立就可以直接相加。

本题结论

D，即 $8/9$ 。

方法 4：按实际分值筛模式，别把题数当总分

先列所有可能的正确题目集合，其他题必须全错；按总分或严格不等式筛选，再逐模式乘权重。先证明全部目标模式都列完，再求和。不同分值、不同成功概率时，不可套“对几题”就算完成。

例题 04 四道不同分值的答辩题

题目

某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第 $1,2,3,4$ 题的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ， $\frac{1}{5}$ ，且每道题目能否答对都是相互独立的．

(1)求甲得10分的概率；

(2)求甲得3分的概率；

(3)若参加者的答辩分数大于6分，则答辩成功，求甲答辩成功的概率．

答案与解析

解析

设 $A_i$ 表示第 $i$ 题对，各题得分1、2、3、4，答对概率分别 $1/2,1/3,1/4,1/5$ ，题干给相互独立。

（1）10分只能四题全对，概率 $(1/2)(1/3)(1/4)(1/5)=1/120$ 。

（2）总分3只有两类：第1、2题对且第3、4题错；或仅第3题对，其余全错。其概率分别

\frac12\cdot\frac13\cdot\frac34\cdot\frac45=\frac1{10}, \qquad \frac12\cdot\frac23\cdot\frac14\cdot\frac45=\frac1{15},

互斥相加得 $1/6$ 。原解用“答对第1、2题”或“答对第3题”作简写，必须连同其他题答错因子理解为完整模式，否则会混入更高分。

（3）大于6指7、8、9、10分，不含6。成功模式全部为：

正确题目（其余全错）	总分	模式概率
第3、4题	7	$(1/2)(2/3)(1/4)(1/5)=1/60$
第1、3、4题	8	$(1/2)(2/3)(1/4)(1/5)=1/60$
第2、3、4题	9	$(1/2)(1/3)(1/4)(1/5)=1/120$
第1、2、4题	7	$(1/2)(1/3)(3/4)(1/5)=1/40$
四题全对	10	$1/120$

穷尽理由：答对不超过一题最高4分；恰对两题只有3、4两题合计7分；恰对三题只有漏第4题的1、2、3合计6分不合，另外三种都合；四题全对合。五模式互斥，合计

\frac1{60}+\frac1{60}+\frac1{120}+\frac1{40}+\frac1{120}=\frac3{40}.

也可按答对两题、三题、四题分组，分别为 $1/60,1/20,1/120$ ，相加相同。

本题结论

（1） $1/120$ ；（2） $1/6$ ；（3） $3/40$ 。

方法 5：多人多轮先核联合独立，再按数量配对

写清每个人每轮的原始结果。先求各人或各队的次数/得分概率，再按不重叠结果组的独立性相乘；不同数量配对互斥后相加。比例题还要看0是否可取，不能只把比改成乘法等式就把零零配对收进来。

例题 05 两轮猜成语的总数与差数

题目

甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，共进行两轮活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，乙每轮猜对的概率为 $\frac{2}{3}$ ，在每轮活动中，甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．

(1)求“星队”在两轮活动中共猜对3个成语的概率；

(2)求两轮活动结束后，甲恰好比乙多猜对一个成语的概率．

答案与解析

解析

原始记录为甲第1轮、甲第2轮、乙第1轮、乙第2轮四项对错，共16个模式，权重并非均匀。题干既给同轮两人互不影响，也给两轮结果组互不影响，因此四项指定结果可连乘。

记 $A_j$ 为甲两轮对 $j$ 个， $B_j$ 为乙两轮对 $j$ 个。甲恰对1个有对错、错对两次序，故

P(A_1)=2\cdot\frac34\cdot\frac14=\frac38,\qquad P(A_2)=\left(\frac34\right)^2=\frac9{16}.

乙相应有 $P(B_1)=2(2/3)(1/3)=4/9$ ， $P(B_2)=(2/3)^2=4/9$ ， $P(B_0)=(1/3)^2=1/9$ 。因子2来自两个实际次序，不是来自“两个人”。

甲、乙的两轮结果是互不重叠的独立结果组，所以这些组内计数事件间可以相乘。

（1）共对3个只可能数量配对（甲1，乙2）或（甲2，乙1），两类互斥：

P=P(A_1)P(B_2)+P(A_2)P(B_1) =\frac38\cdot\frac49+\frac9{16}\cdot\frac49 =\frac16+\frac14=\frac5{12}.

（2）甲恰好多1个只可能（甲1，乙0）或（甲2，乙1），不能保留第一问的（甲1，乙2）：

P=\frac38\cdot\frac19+\frac9{16}\cdot\frac49 =\frac1{24}+\frac14=\frac7{24}.

原解以事件间“+”表示互斥并，含义是两个数量配对的并，不是把事件当数字相加。

本题结论

（1） $5/12$ ；（2） $7/24$ 。

溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{2}{3}$ ， $\frac{3}{4}$ ，乙队每人回答正确的概率均为 $\frac{2}{3}$ ，且各人回答正确与否相互之间没有影响.

(1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率；

(2)求甲队得分与乙队得分为 $1:2$ 的概率.

答案与解析

解析

（1）乙队3分是三人全对，概率 $(2/3)^3=8/27$ 。乙得1分有三个互斥模式：指定第1、2或3人对，另两人错。每个概率 $(2/3)(1/3)^2=2/27$ ，合计 $3(2/27)=2/9$ 。因子3来自成功者的三种身份，不是单个指定模式的因子。

（2）每队分数只能为0、1、2、3。比例1:2要求甲分数为正、乙为其两倍，唯一可行配对为（甲1，乙2）；（0，0）没有1:2这个比值，不能计入。

甲队三人成功概率不同，恰得1分的三模式分别为

\frac12\cdot\frac13\cdot\frac14=\frac1{24},\quad \frac12\cdot\frac23\cdot\frac14=\frac1{12},\quad \frac12\cdot\frac13\cdot\frac34=\frac18,

合计 $1/4$ ，不可写成3倍任意一项。乙恰得2分有三个相同权重的模式，每项 $(2/3)^2(1/3)=4/27$ ，故为 $4/9$ 。

六人的原始结果相互独立，两队得分依赖不重叠的结果组，故所求概率 $(1/4)(4/9)=1/9$ 。原解一处“队总得分为3分”漏了“乙”字，这里按原题第一问明确为乙队，未改条件。

本题结论

（1）乙得3分 $8/27$ ，得1分 $2/9$ ；（2） $1/9$ 。

答案与解析

解析

（1）只乘被指定的两项，概率 $(1/2)(1/2)=1/4$ 。第二次可正可反，对应两个完整模式各 $1/8$ ，相加也为 $1/4$ ；不能偷偷指定第二次失败而只留一条。

（2）至多一次正面包括全反及唯一正面在第1、第2、第3位，共四个模式，概率 $4/8=1/2$ 。1减全正得 $7/8$ ，还保留了恰好两次正面的模式，不是目标。

本题结论

（1） $1/4$ ；（2） $1/2$ ，不能只减全正。