倍角、辅助角与恒等证明

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三角变换不是公式越多越好，而是每一步都在统一角、函数名或次数。倍角把乘积与平方转成另一种角，辅助角把同角的线性组合合成一项；含除法时，原定义域始终跟着式子走。

一、知识点概念与依据

1. 二倍角来自和角，降幂来自移项

在和角公式中令两个角相同，就有

\sin2u=2\sin u\cos u,\qquad \cos2u=\cos^2u-\sin^2u.

再利用 $\sin^2u+\cos^2u=1$ ，余弦二倍角有三个等价形式。选择哪一个，取决于要留下哪种函数：

已知或希望保留的量	适合的形式	反向使用
正弦与余弦的平方差	$\cos2u=\cos^2u-\sin^2u$	平方差合成倍角
只保留余弦	$\cos2u=2\cos^2u-1$	$\cos^2u=(1+\cos2u)/2$
只保留正弦	$\cos2u=1-2\sin^2u$	$\sin^2u=(1-\cos2u)/2$

这些式子对任意实角成立。所谓降幂，降的是函数值的平方，不是角的平方；同时角由 $u$ 变成 $2u$ 。例如 $1+\cos4\alpha=2\cos^2 2\alpha$ ，不能跳过一层写成 $2\cos^2\alpha$ 。

把 $u=\alpha/2$ 代入正弦二倍角，得到

\sin\frac\alpha2\cos\frac\alpha2=\frac12\sin\alpha.

这对所有实角成立，无含角的除数。原题给出的四种候选为 $\sin\alpha$ 、 $\frac12\sin\alpha$ 、 $\cos\alpha$ 、 $\frac12\cos\alpha$ ，应选第二种：第一种漏掉一半，后两种把正弦倍角错换成余弦。若改求单个半角函数值，降幂只给平方，开方仍须按半角本身的范围定正负。

2. 正切倍角多了两层非零条件

先把正弦倍角除以余弦倍角，再同除 $\cos^2u$ ，得到

\tan2u=\frac{2\sin u\cos u}{\cos^2u-\sin^2u} =\frac{2\tan u}{1-\tan^2u}.

这条写法要求 $\cos u\ne0$ 且 $\cos2u\ne0$ ，等价于正切 $\tan u$ 存在且 $\tan u\ne\pm1$ 。只知正切存在，不能保证倍角正切也存在。逆用时分子必须有2；只有 $\tan u/(1-\tan^2u)$ ，得到的是一半的 $\tan2u$ 。

3. 辅助角同时匹配两个系数

对实数 $a,b$ ，若不同时为0，令

R=\sqrt{a^2+b^2}>0,\qquad \cos\varphi=\frac aR,\quad\sin\varphi=\frac bR.

因 $(a/R)^2+(b/R)^2=1$ ，单位圆上确有这样的点，因而确有这样的角。提出 $R$ 后逆用正弦和角：

\begin{aligned} a\sin u+b\cos u &=R\left(\sin u\cos\varphi+\cos u\sin\varphi\right)\\ &=R\sin(u+\varphi). \end{aligned}

合成振幅是平方和的平方根，不是两个系数直接相加。正弦项系数对应 $R\cos\varphi$ ，余弦项系数对应 $R\sin\varphi$ ；展开回去是最可靠的检查。

情况	处理方式	不能做的事
$a=b=0$	原式恒为0，单独处理	除以 $R=0$ 求辅助角
$a=0,b\ne0$	由正弦、余弦系数直接定角	用 $b/a$ 求正切
$a\ne0$	同时匹配 $a/R,b/R$ 的符号	仅凭 $\tan\varphi=b/a$ 区分相差 $\pi$ 的角
两项角不同	先找可行的统一角方法	直接把 $a\sin x+b\cos2x$ 合为一项

辅助角相差整周表示同一个函数。例如 $\sqrt3\sin2x-\cos2x=2\sin(2x-\pi/6)$ ，余弦系数为负决定辅助角可取 $-\pi/6$ 而不是 $\pi/6$ 。

4. 合成后，范围跟随相位而不是只看原角

合成可服务于求值、最值、周期与单调性，但真正进入正弦的是整个相位。原 $x$ 受限时，先求相位的实际范围；振幅 $R$ 只给全域界 $[-R,R]$ ，受限范围未必达到两个端值。

若相位为 $\omega x+\varphi$ ，当 $\omega=0$ 时相位固定，函数为常值，须结合原定义域另行讨论。只有 $\omega\ne0$ 时，才能将正弦的相位区间换回 $x$ ：先减 $\varphi$ ，再除 $\omega$ ； $\omega<0$ 时不等号反向，且相位随 $x$ 的变化方向也反向。 $R>0$ 不改变函数值的大小方向；原式若另有负外系数，还须处理那次反向。

5. 等值化简不等于定义域相同

有分母时，先列原式所有禁值。约分可能让最后的表达式在更多角上有意义，但那些新增角不是原式的输入；弦化切反过来可能要求除以余弦，使原本允许的角失去意义。

证明恒等式讨论左右两边的共同定义域。要保留原式全部输入，则遇到将除的因子可能为0时，另行讨论，不能无声删去它。无分母的正弦余弦整式与含正切的分式，即使在同一道题中，也不共享相同的无条件范围。

二、考点方法与例题

1. 化简：每次只统一一层角或次数

列原分母非零条件，选定要统一到的角。
对 $4\alpha$ 先视作 $2(2\alpha)$ ，利用倍角形成相同因子。
核因子非零再约分；逆用公式时补齐缺少的系数。
若已知正切，用平方和把常数齐次化，不为求比式强加象限。
结果保留原禁值，并回查特殊角数值或新分母。

例题 01 连续降倍角的分式

题目

化简 $\frac{\sin 4\alpha }{1+\cos 4\alpha }\cdot \frac{\cos 2\alpha }{1+\cos 2\alpha }$ 的结果为（）

A． $\tan \frac{\alpha }{2}$ B． $\tan \alpha$ C． $\tan 2\alpha$ D． $\cos 2\alpha$

答案与解析

解析

原式先要求 $1+\cos4\alpha\ne0$ 、 $1+\cos2\alpha\ne0$ 。用余弦倍角化成

\cos2\alpha\ne0,\qquad\cos\alpha\ne0.

在这个范围内可以约分：

\begin{aligned} \frac{\sin4\alpha}{1+\cos4\alpha}\frac{\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha} &=\frac{2\sin2\alpha\cos2\alpha}{2\cos^22\alpha}\frac{\cos2\alpha}{1+\cos2\alpha}\\ &=\frac{\sin2\alpha}{1+\cos2\alpha} =\frac{2\sin\alpha\cos\alpha}{2\cos^2\alpha}=\tan\alpha. \end{aligned}

B正确。A多降一层角，C漏掉第二个分式的作用，D不是剩余的正弦与余弦之比。可以取合法的 $\alpha=\pi/6$ 比较：原式为 $1/\sqrt3$ ，其他三项分别为 $2-\sqrt3,\sqrt3,1/2$ ，均不同。不能用几个角验证来代替上面的恒等变形。

特别地， $\alpha=\pi/4$ 时化简式 $\tan\alpha=1$ 存在，原第一分母却为0，故这个角仍不能加入。

本题结论

原定义域 $\cos2\alpha\ne0,\cos\alpha\ne0$ 上等于 $\tan\alpha$ ，选B。

例题 02 识别标准倍角式的系数

题目

求值： $\frac{\tan \frac{\pi }{12}}{1-{\tan }^{2}\frac{\pi }{12}}=$ （）

A． $\frac{1}{2}$ B． $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C． $\frac{\sqrt{3}}{3}$ D． $\frac{\sqrt{3}}{6}$

答案与解析

解析

$\pi/12$ 在 $(0,\pi/4)$ ，正切存在且在0与1之间，分母非零。标准式分子有2，因此

\frac{\tan(\pi/12)}{1-\tan^2(\pi/12)} =\frac12\frac{2\tan(\pi/12)}{1-\tan^2(\pi/12)} =\frac12\tan\frac\pi6=\frac{\sqrt3}{6}.

D正确；C忘了外面的二分之一。A的 $1/2$ 、B的 $\sqrt3/2$ 均不等于这个特殊角值。不必先算 $\tan15^\circ$ 的根式再展开。

本题结论

选D，值为 $\sqrt3/6$ 。

例题 03 由正切求倍角与齐次比式

题目

已知 $\tan \alpha =\frac{1}{3}$ ，求值：

(1) $\tan 2\alpha$ ；

(2) $\frac{1}{\sin 2\alpha +{\cos }^{2}\alpha }$ ．

答案与解析

解析

（1）已知正切存在， $\cos\alpha\ne0$ ；又 $1-\tan^2\alpha=8/9\ne0$ ，故

\tan2\alpha=\frac{2/3}{1-1/9}=\frac34.

（2）先把分子1换成平方和，再展开正弦倍角。由于 $\cos^2\alpha\ne0$ ，可同除它：

\begin{aligned} \frac1{\sin2\alpha+\cos^2\alpha} &=\frac{\sin^2\alpha+\cos^2\alpha}{2\sin\alpha\cos\alpha+\cos^2\alpha}\\ &=\frac{1+\tan^2\alpha}{2\tan\alpha+1} =\frac{10/9}{5/3}=\frac23. \end{aligned}

新分母 $5/3$ 非零，也保证原分母 $\cos^2\alpha(2\tan\alpha+1)$ 非零。正切为正可能在第一或第三象限，两者给同样的齐次比式，不必擅自指定其中一个。

本题结论

（1） $3/4$ ；（2） $2/3$ 。

2. 辅助角：先匹配系数，再搬运相位区间

算 $R$ 后同时核辅助角的正弦与余弦，展开确认系数没有交换。单调题写出完整相位区间族，再解关于 $x$ 的区间；求值题先用实际相位范围定开方符号，最后还原题目要求的原角。

例题 04 合成函数的递减区间

题目

函数 $y=\sqrt{3}\sin 2x-\cos 2x$ 的单调减区间是（）

A． $\left[ k\pi -\frac{\pi }{6},k\pi +\frac{\pi }{3}\right],\left( k\in Z\right)$ B． $\left[ 2k\pi -\frac{\pi }{6},2k\pi +\frac{\pi }{3}\right],\left( k\in Z\right)$

C． $\left[ 2k\pi +\frac{\pi }{3},2k\pi +\frac{5\pi }{6}\right],\left( k\in Z\right)$ D． $\left[ k\pi +\frac{\pi }{3},k\pi +\frac{5\pi }{6}\right],\left( k\in Z\right)$

答案与解析

解析

提取 $R=2$ ，同时匹配 $\cos\varphi=\sqrt3/2$ 、 $\sin\varphi=-1/2$ ，得

y=2\sin(2x-\pi/6).

正弦在 $[2k\pi+\pi/2,2k\pi+3\pi/2]$ 递减。相位随 $x$ 递增，正外系数不反向，因此

2k\pi+\frac\pi2\le2x-\frac\pi6\le2k\pi+\frac{3\pi}2

三边加 $\pi/6$ 再除2，得全部最大递减区间

\left[k\pi+\frac\pi3,k\pi+\frac{5\pi}6\right],\qquad k\in\mathbb Z.

A对应正弦递增相位，B仅列出其中部分递增区间，均不合。D给出完整最大递减区间族。

C列出的每个区间也确实递减，但只包含D中偶数倍 $\pi$ 平移的一半区间，漏了奇数倍平移。原答案D须按“列出全部最大递减区间”理解；若只问“给出某些递减区间”，C与D都符合，不能误称C区间内不递减。

本题结论

按完整最大递减区间族理解选D；若仅要求任意递减区间，C也满足，原措辞有歧义。

例题 05 从合成值回到原角

题目

已知函数 $f(x)=\sin x-\sqrt{3}\cos x,f({x}_{0})=-\frac{1}{2},{x}_{0}\in (0,\pi )$ ，则 $\sin {x}_{0}$ 的值为（）

A． $\frac{3\sqrt{5}-1}{8}$ B． $\frac{\sqrt{15}-1}{8}$ C． $\frac{\sqrt{15}+1}{8}$ D． $\frac{3\sqrt{5}+1}{8}$

答案与解析

解析

合成为 $f(x)=2\sin(x-\pi/3)$ ，令 $u=x_0-\pi/3$ ，于是

\sin u=-\frac14,\qquad -\frac\pi3<u<\frac{2\pi}3.

在此范围内正弦负只可能落在 $(-\pi/3,0)$ ，所以 $\cos u>0$ ，由平方和得 $\cos u=\sqrt{15}/4$ 。注意目标不是 $\sin u$ ，而是

\begin{aligned} \sin x_0&=\sin(u+\pi/3)\\ &=\left(-\frac14\right)\frac12+\frac{\sqrt{15}}4\frac{\sqrt3}2 =\frac{3\sqrt5-1}{8}. \end{aligned}

A正确。B、C未把 $\sqrt{15}\sqrt3$ 化成 $3\sqrt5$ ；C、D还把负贡献 $-1/8$ 改为正。范围在开方前就已筛掉另一支，不应保留正负两种余弦。

本题结论

选A， $\sin x_0=(3\sqrt5-1)/8$ 。

3. 恒等证明：从一边或差值出发

先列共同定义域，再选择路线：

结构	合适入口	变形终点
平方、四次幂整式	作差，四次幂差分解	差值为0
一边只有正切	将另一边齐次化后弦化切	单边变成另一边
成对的 $1\pm\tan\alpha$ 分母	在共同定义域通分	形成倍角正切
不同特殊角混合	先统一函数名，再配角	倍角、诱导后抵消

不要先把待证等式当已知。作差保留整个右边的括号；每次约分说明因子非零。数值代入可帮助找错，但恒等性需要对全部允许角成立的推导。

例题 06 整式与分式的两条证明路线

题目

求证：

(1) $2{\cos }^{2}\theta +{\sin }^{4}\theta ={\cos }^{4}\theta +1$ ；

(2) $\frac{{\sin }^{2}\alpha +2{\cos }^{2}\alpha +1}{{\cos }^{2}\alpha -{\sin }^{2}\alpha }=\frac{3+2{\tan }^{2}\alpha }{1-{\tan }^{2}\alpha }$ ．

答案与解析

解析

（1）两边为整式，对所有实数 $\theta$ 都有意义。直接研究左减右：

\begin{aligned} &2\cos^2\theta+\sin^4\theta-(\cos^4\theta+1)\\ &=2\cos^2\theta-1+(\sin^2\theta-\cos^2\theta)(\sin^2\theta+\cos^2\theta)\\ &=2\cos^2\theta-1+\sin^2\theta-\cos^2\theta=0. \end{aligned}

没有除以含角的量，故全实角成立。

（2）两边共同定义域要求 $\cos\alpha\ne0$ 且 $\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\ne0$ ；在余弦非零的前提下，后者等价 $\tan^2\alpha\ne1$ 。从左边出发，用平方和代替1并同除 $\cos^2\alpha$ ：

\frac{\sin^2\alpha+2\cos^2\alpha+1}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} =\frac{2\sin^2\alpha+3\cos^2\alpha}{\cos^2\alpha-\sin^2\alpha} =\frac{2\tan^2\alpha+3}{1-\tan^2\alpha}.

这确是右边，故在共同定义域成立。但当 $\cos\alpha=0$ 时，左边仍有值 $-2$ ，右边正切无定义；不能据恒等变形断言两边在所有角上是同一个函数。

本题结论

（1）对所有实角成立；（2）在 $\cos\alpha\ne0,\tan^2\alpha\ne1$ 的共同定义域成立。

例题 07 成对分母与配角抵消

题目

求证下列恒等式：

(1) $\frac{1}{1-\tan \alpha }-\frac{1}{1+\tan \alpha }=\tan 2\alpha$ ；

(2) $\sin {50}^{\circ}\left( 1+\sqrt{3}\tan {10}^{\circ}\right)=1$

答案与解析

解析

（1）共同定义域是 $\cos\alpha\ne0,\tan\alpha\ne\pm1$ 。令 $t=\tan\alpha$ ，从左边通分：

\frac1{1-t}-\frac1{1+t} =\frac{(1+t)-(1-t)}{(1-t)(1+t)} =\frac{2t}{1-t^2}=\tan2\alpha.

非零条件保证通分与倍角公式均可用。

（2） $\cos10^\circ>0$ ，先弦化切与通分，再利用差角余弦：

\cos10^\circ+\sqrt3\sin10^\circ =2(\cos60^\circ\cos10^\circ+\sin60^\circ\sin10^\circ) =2\cos50^\circ.

于是从原左边继续

\begin{aligned} \sin50^\circ(1+\sqrt3\tan10^\circ) &=\frac{\sin50^\circ(\cos10^\circ+\sqrt3\sin10^\circ)}{\cos10^\circ}\\ &=\frac{2\sin50^\circ\cos50^\circ}{\cos10^\circ} =\frac{\sin100^\circ}{\cos10^\circ}=1. \end{aligned}

最后用了 $\sin100^\circ=\cos10^\circ$ ，且分母非零。这条路线依次统一函数名、配角、倍角、诱导抵消，不是假设原等式后循环证明。

本题结论

（1）在共同定义域内成立；（2）左边逐步化为1，等式成立。