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外观

表面展开与最短路径

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表面路线先展开、再拉直，但不能止步于一张图。合法性与所有竞争路线的比较，才把候选长度变成真正的最短距离。

一、知识点 理解概念

1. 空间直线最短不等于表面路径最短

两点在空间中的直线段往往穿过实体内部，不属于“沿表面”允许路线。将经过的面展开，才能在保留表面路径长度的同时使用平面两点间线段最短。

“沿侧面”不含底面内部，“沿表面”则可能包括底面。端点落在棱上时，可由相邻面出发，必须比较相应展开法。

2. 正确的展开参数与端点像

表面展开参数端点定位
圆柱侧面矩形高 hh、宽 2πr2\pi r周向位移按弧长；多绕一周增加一个周长周期
圆锥侧面扇形半径 ll、角 2πr/l2\pi r/l母线距离不变，底圆弧占周长比例等于扇形角比例
多面体表面按实际棱长逐面翻开相邻面的共同棱重合，检查端点属于哪个面

圆锥的母线 ll 不是体高，扇形角也不是轴截面的顶角。两种绕行方向或不同绕行次数可能对应不同的端点像。

3. 算出线段后还要证明可行与最优

展开后的线段须留在允许区域内，按合法顺序跨共同棱，折回后不能穿体、走不允许的底面或穿孔。非凸展开区尤其要检查越界。圆台展开扇环中的连线可能穿过内圆，需另考虑切线与弧段，不能宣称“一展开就用直线”。

一张展开图只给一类候选路线。全局最短还要比较其他可能更短的面序列；重复绕行、经顶点或远面路线可用下界排除，不必无依据地列举无穷多图。

二、考点 方法与例题

1. 圆锥侧面：从底圆弧比例求展开夹角

由体积或高求母线，计算完整扇形角，再用底圆弧比例定位两母线。利用勾股或余弦定理求直线候选，检查它在扇形内，并排除另一绕行方向、额外绕周和经顶点路线。

例题 01 圆锥上两点之间的侧面路线

已知在圆锥SO中，底面圆O的直径AB=2AB=2，圆锥SO的体积为223π\frac{2\sqrt{2}}{3}\pi，点M在母线SB上，且SM⃗=13SB⃗\vec{SM}=\frac{1}{3}\vec{SB}，一只蚂蚁若从A点出发，沿圆锥侧面爬行到达M点，则它爬行的最短距离为（   ）

题设几何图形及顶点标记
题设几何图形及顶点标记

A．7\sqrt{7} B．13\sqrt{13} C．19\sqrt{19} D．333\sqrt{3}

答案与解析

由直径 AB=2AB=2 得底半径 r=1r=1。体积式 13πh=223π\frac13\pi h=\frac{2\sqrt2}{3}\pi 给 h=22h=2\sqrt2，母线 l=1+8=3l=\sqrt{1+8}=3。

完整侧面展开角为 2πr/l=2π/32\pi r/l=2\pi/3。A,BA,B 为直径端点，沿两方向各占半周，故相邻展开像之间的夹角均为 π/3\pi/3。又 SM=SB/3=1SM=SB/3=1，SA=3SA=3。

圆锥展开扇形SAN、母线SB上的M和路线AM
圆锥展开扇形SAN、母线SB上的M和路线AM

由余弦定理，

AM2=32+12−2×3×1cos⁡π3=7.AM^2=3^2+1^2-2\times3\times1\cos\frac\pi3=7.

角为 π/3\pi/3 的扇形是凸的，连线留在扇形内，可折回侧面；两个近邻方向都给出 7\sqrt7。

还须排除更多绕周。经顶点的长度至少 SA+SM=4>7SA+SM=4>\sqrt7。若不经顶点而额外绕周，连续展开的累计转角绝对值至少为 π\pi，途中必到达与起始射线反向的射线。设首次到达点离顶点距离为 ρ≥0\rho\ge0，前段长度至少 3+ρ3+\rho，后段至少 ∣1−ρ∣|1-\rho|，总长至少 3+ρ+∣1−ρ∣≥43+\rho+|1-\rho|\ge4，也更长。

故最短为 7\sqrt7，选 A；其他选项平方分别为 13,19,2713,19,27，均大于 77。

2. 正方体：比较相邻面并排除远面

找出起点和终点所属的面，列相邻面展开候选。先算合法直线，再用到远面的垂距之和作下界；从端点所在面绕到另一端点所在面时，可用面内直线缩短多余折返。

例题 02 正方体表面的两中点

在正方体ABCD−A1B1C1D1ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}中，AB=2AB=2，P、Q分别为棱AA1A{A}_{1}，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（    ）

A．11\sqrt{11} B．10\sqrt{10} C．3 D．222\sqrt{2}

正方体中棱AA1中点P与BC中点Q
正方体中棱AA1中点P与BC中点Q
答案与解析

两点在各自棱上到邻近顶点的距离均为 11。

第一种展开经过侧面 ABB1A1ABB_1A_1 与 BCC1B1BCC_1B_1，平面位移为 1,31,3，长度 10\sqrt{10}。

展开相邻两个侧面后的P到Q路线
展开相邻两个侧面后的P到Q路线

第二种展开经过侧面 ADD1A1ADD_1A_1 与底面 ABCDABCD，位移同为 1,31,3，长度也是 10\sqrt{10}。

展开侧面ADD1A1和底面后的路线
展开侧面ADD1A1和底面后的路线

第三种展开经过侧面 ABB1A1ABB_1A_1 与底面 ABCDABCD，位移为 2,22,2，长度为 222\sqrt2。

展开侧面ABB1A1和底面后的路线
展开侧面ABB1A1和底面后的路线

第三条线跨两面公共棱 ABAB，并留在两个矩形内，是合法路线。

为什么其他面序列不会更短？PP 在两个侧面上，QQ 在一个侧面与底面上；若路线先后经过两个含 PP 的面，可从 PP 直接在后一个面出发，不比绕行长；若先后经过两个含 QQ 的面，可在前一个面内直接连到 QQ。未经过远面的路线因此可化简到上述三个相邻面组合。

剩下的远面是顶面及 CDD1C1CDD_1C_1。P,QP,Q 到顶面的垂距分别为 1,21,2，到 CDD1C1CDD_1C_1 的垂距分别为 2,12,1；任何接触其中一个远面的路线，前后段长度之和至少为 3>223>2\sqrt2，可以排除。

所以最短为 222\sqrt2，选 D。各选项平方分别为 11,10,9,811,10,9,8，只有 D 达到合法最短路线的平方 88。

三、坑点 辨析与纠错

1. 直线越界时不能直接折回

常见错法： 只要展开图中连接两端点，就认为一定对应表面最短路。

错因与检查： 展开图可能有空洞、凹角或缺失底面，连线若越过这些区域，折回后就不在允许表面。圆锥题中须验证线段在相应扇形内；圆台扇环还需检查内圆；多面体须检查跨棱位置实际落在公共棱段上。

2. 一个局部最短不能代表全局

任意挑一个展开法，得到的只是那类面序列的最短候选。正方体例题中前两种均为 10\sqrt{10}，仍有更短的第三种。排除其他路线要给出几何下界，不能只说“多走几面一定长”。同时检查量纲、母线与高、端点的真实位置，避免在第一步就画错展开图。