椭圆弦长、中点弦与轨迹

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韦达给根差，点差给方向；弦的存在、特殊方向与中点轨迹范围仍需单独证明。

一、知识点理解概念

1. 弦长来自距离公式与韦达

弦的两端 $A,B$ 必须是椭圆上两个不同点。非竖直弦所在直线为 $y=kx+d$ ，联立得到 $Lx^2+Mx+N=0$ 时，先核 $L\ne0$ 、 $\Delta>0$ 。记两根之和 $s=-M/L$ ，积 $p=N/L$ ，则

AB^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2 =(1+k^2)(x_1-x_2)^2=(1+k^2)(s^2-4p),

故 $AB=\sqrt{1+k^2}\sqrt{s^2-4p}$ 。 $\Delta>0$ 保证根差非零；横坐标差只是投影长度，还要乘方向倍率。竖直弦 $x=h$ 应用 $|y_1-y_2|$ ，不能套横坐标差公式。

2. 中点弦先保留无分母点差式

先按横焦轴 $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ ， $a>b>0$ 推导，纵焦轴交换坐标。若中点为 $M(u,v)$ ，两端点方程相减，利用 $x_1+x_2=2u,y_1+y_2=2v$ ，得到

\frac{u}{a^2}(x_1-x_2)+\frac{v}{b^2}(y_1-y_2)=0.

端点不同只保证差向量非零，不保证横、纵分量都非零。中点非中心时，此式给唯一弦方向，可取非零向量 $\boldsymbol d=(a^2v,-b^2u)$ ；但方向只是必要条件，还要证明候选弦真的存在。

3. 中点在内部，是存在非退化弦的条件

记 $F(x,y)=x^2/a^2+y^2/b^2$ ，中点非中心。取候选端点 $M\pm t\boldsymbol d$ ，展开得到

F(M+t\boldsymbol d)=F(M)+2t(uv-vu)+t^2F(\boldsymbol d) =F(M)+t^2F(\boldsymbol d).

因 $\boldsymbol d\ne0$ ， $F(\boldsymbol d)>0$ ，端点在曲线上的条件为

t^2=\frac{1-F(M)}{F(\boldsymbol d)}.

$F(M)<1$ 时有两个非零相反实参数，对称端点真实存在； $F(M)=1$ 时仅 $t=0$ ，退化为一点； $F(M)>1$ 时无实端点。因此非退化弦的中点必须在内部，不能只求出直线就宣布成功。

4. 中心、水平与竖直要分别处理

若 $M=(0,0)$ ，点差式为 $0=0$ ，不给唯一方向；每条过中心的直线都产生一条直径。若 $v=0,u\ne0$ ，点差式要求 $x_1-x_2=0$ ，候选弦竖直为 $x=u$ ；若 $u=0,v\ne0$ ，候选弦水平为 $y=v$ ，是否真有弦仍需内部条件。

只有 $v\ne0$ 时才能写有限斜率 $k_{AB}=-b^2u/(a^2v)$ ；再写 $k_{OM}k_{AB}=-b^2/a^2$ ，还要求 $u\ne0$ ，否则 $OM$ 斜率不存在。上传 KB 记载原斜率式、斜率积省写了这些可除条件，这里按无分母点差式补齐特殊方向。

二、考点方法与例题

1. 求长度与求中点弦选择不同入口

求长度而不求端点，先列直线并核方向，联立后核二次项及两不同实根，再用韦达算根差与实际弦长。给中点时先作差、代坐标和，保留不除未知差的式子；按中心及轴上情形分类，写候选直线，再用中点内部或两个对称实端点证明存在。仅有“过中点的某条相交线”，不等于交点真的以该点为中点。

2. 用韦达求倾斜弦长

倾斜角决定斜率，焦点确定直线经过的点。

例题 01 过焦点的指定倾斜角直线

经过椭圆 $\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$ 的左焦点 ${F}_{1}$ 作倾斜角为 ${60}^{\circ}$ 的直线 $l$ ，直线 $l$ 与椭圆相交于 $A$ ， $B$ 两点，则线段 $AB$ 的长为（）

A． $\frac{4}{7}$ B． $\frac{8\sqrt{2}}{7}$ C．2 D． $\frac{16\sqrt{2}}{7}$

答案与解析

$a^2=2,b^2=1,c=1$ ，左焦点为 $(-1,0)$ 。倾斜角 $60^\circ$ 给斜率 $\sqrt3$ ，故直线为 $y=\sqrt3(x+1)$ 。联立椭圆并乘 $2$ 得

7x^2+12x+4=0,\qquad\Delta=144-112=32>0.

所以确有两个不同端点。两根之和 $-12/7$ 、积 $4/7$ ，根差平方为 $144/49-16/7=32/49$ 。实际弦长为

AB=\sqrt{1+3}\sqrt{\frac{32}{49}}=\frac{8\sqrt2}{7},

选 B。A 的 $4/7$ 是根积，不是长度；C 不等于计算结果；D 把所得弦长又加倍。

3. 给定中点求弦所在直线

候选方向由点差式给出，存在性由对称参数端点确认。

例题 02 指定中点的椭圆弦

已知椭圆 $C:\frac{{y}^{2}}{4}+\frac{{x}^{2}}{3}=1$ ，直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A,B$ 两点.若线段 $AB$ 的中点为 $\left( 1,1\right)$ ，则直线 $l$ 的方程为（）

A． $4x+3y-7=0$ B． $3x+4y-7=0$

C． $4x-3y-1=0$ D． $3x-4y+1=0$

答案与解析

两端点分别满足 $4x_i^2+3y_i^2=12$ ，作差得

4(x_1+x_2)(x_1-x_2)+3(y_1+y_2)(y_1-y_2)=0.

中点为 $(1,1)$ ，两个坐标和均为 $2$ ，所以 $4(x_1-x_2)+3(y_1-y_2)=0$ ，差向量沿 $(3,-4)$ 。过中点的候选线为 $4(x-1)+3(y-1)=0$ ，即 $4x+3y-7=0$ ，选 A。

保留原斜率法的合法性说明：若 $x_1=x_2$ ，竖直弦的两纵坐标相反，中点必在 $x$ 轴上，与 $(1,1)$ 矛盾。因此 $x_1\ne x_2$ ，可以除得 $k_{AB}=-4/3$ ；原斜率积中的两坐标和也都是非零的 $2$ ，于是点斜式给同一直线。

还需验证不是空有候选。取 $P(t)=(1+3t,1-4t)$ ，代入椭圆左侧分子得

4(1+3t)^2+3(1-4t)^2=7+84t^2=12.

故 $t=\pm\sqrt{5/84}$ ，两个不同实端点关于 $(1,1)$ 对称，真实弦存在。其他三个选项虽都过中点，却不满足唯一必要方向，不能仅凭过点条件判断。

4. 所在直线与完整中点轨迹要分开

先消元找承载直线，再把两不同交点的参数范围转回中点坐标。

例题 03 一族平行弦的中点

设直线 $l:y=x+m$ 与椭圆 $E:\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$ 相交于 $A$ 、 $B$ 两点，当 $m$ 变化时，线段 $AB$ 的中点所在的直线方程为（）

A． $y=\frac{3}{4}x$ B． $y=\frac{4}{3}x$

C． $y=-\frac{3}{4}x$ D． $y=-\frac{4}{3}x$

答案与解析

代入 $y=x+m$ ，得到 $7x^2+8mx+4m^2-12=0$ 。由韦达，中点为

x_0=-\frac{4m}{7},\qquad y_0=x_0+m=\frac{3m}{7}.

直接相加得 $3x_0+4y_0=0$ ，所以中点所在直线为 $y=-3x/4$ ，选 C。其他选项斜率不同，不能承接全部中点。

上传 KB 记载原解通过 $y_0/x_0$ 约分， $m=0$ 时会出现 $0/0$ ；这里改用相加，不丢中点 $(0,0)$ 。原题问的是“所在直线”，因此原答案保留。

若进一步问完整轨迹，还须有两不同交点：

\Delta=(8m)^2-28(4m^2-12)=336-48m^2>0,

即 $-\sqrt7<m<\sqrt7$ 。中点真实轨迹是承载线上的开线段

y_0=-\frac34x_0,\qquad-\frac{4\sqrt7}{7}<x_0<\frac{4\sqrt7}{7}.

反之，对此开线段任意点，取 $m=-7x_0/4$ ，则 $|m|<\sqrt7$ ，产生两个不同端点且中点恰为该点。两端对应相切，不属于非退化弦的中点轨迹。