正弦定理与余弦定理：先认边角对应

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解三角形先认清给的是什么，而不是看见两个字母相同就配一组边角。正弦定理比较边与对角的正弦，余弦定理联系两边夹角与对边；两边一角还须区分夹角和对角。

一、知识点概念与依据

1. 对边是角顶点对面的那一边

在非退化三角形 $ABC$ 中，固定 $a=BC,b=CA,c=AB$ ，分别对 $A,B,C$ 。边长均正，内角均在 $(0,\pi)$ ，且 $A+B+C=\pi$ 。

角	对边	角的两条邻边
$A$	$a=BC$	$b=CA,c=AB$
$B$	$b=CA$	$c=AB,a=BC$
$C$	$c=AB$	$a=BC,b=CA$

“对角”是没有位于该边上的顶点所成的角，因此 $AB$ 对 $C$ ，不能因边名有A就将它配角A。可在图上从角顶点向对边作指示，或先统一成小写边名，再列式。

2. 正弦定理比较边与对角正弦

若外接圆半径为 $R>0$ ，有

\frac a{\sin A}=\frac b{\sin B}=\frac c{\sin C}=2R.

因此 $a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C$ ，或 $a=2R\sin A$ 。正比的是边与角的正弦，不是边与角度本身。

由高的正弦表示，同一面积 $S$ 满足 $2S=bc\sin A=ca\sin B=ab\sin C$ 。钝角时高可能落在延长线上，但补角正弦相同，表达仍为正高。三项除以 $abc>0$ 得 $\sin A/a=\sin B/b=\sin C/c$ ，再对正数取倒数便得正弦定理。

公共比为何为 $2R$ ？取外接圆中B的对径点D，则 $BD=2R$ 、 $\angle BCD=90^\circ$ 。在直角三角形BCD中， $BC=2R\sin\angle BDC$ 。 $\angle BDC$ 与A同对弦BC，或相等、或互补，正弦相同，故 $BC=2R\sin A$ 。若D恰与C重合，BC就是直径，A为直角，同式直接成立。

3. 大边对大角不靠正弦全区间递增

正弦在 $(0,\pi)$ 并非始终递增；但同一三角形中两角和小于 $\pi$ 。若 $A>B$ ，由和差公式可得

\sin A-\sin B=2\cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}>0,

故正弦定理给 $a>b$ 。反向若 $a>b$ ， $A\le B$ 会得到相等或相反边长关系，矛盾，故 $A>B$ 。

三角形内若 $\sin A=\sin B$ ，候选是 $A=B$ 或 $A+B=\pi$ ；后一种使第三角为0，不合非退化条件，因而此时才可推出 $A=B$ 。任意两个角正弦相同却不一定相等。

4. 余弦定理中的角是两乘积边的夹角

a^2=b^2+c^2-2bc\cos A,

b^2=a^2+c^2-2ac\cos B,\qquad c^2=a^2+b^2-2ab\cos C.

求角时，由邻边均正可移项、除以两倍邻边积，例如 $\cos A=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)$ 。分子减去目标角对边的平方，分母用其两邻边。

取 $\mathbf u=\overrightarrow{AB}$ 、 $\mathbf v=\overrightarrow{AC}$ ，长度为 $c,b$ ，夹角A，且 $\overrightarrow{BC}=\mathbf v-\mathbf u$ 。由数量积的分配律与定义，

a^2=(\mathbf v-\mathbf u)\cdot(\mathbf v-\mathbf u) =b^2+c^2-2\mathbf u\cdot\mathbf v =b^2+c^2-2bc\cos A.

这不要求高落在三角形内部，锐、直、钝角均适用。 $A=90^\circ$ 时交叉项为0，得到勾股定理；A锐时 $a^2<b^2+c^2$ ，A钝时反向。

判断整三角形的锐直钝，应取最长边 $L$ ，另外两边为 $p,q$ ： $L^2>p^2+q^2$ 为钝角，等号为直角，小于为锐角。三个“某边平方大于另外两边平方和”不可能同时成立，不应连用“且”。

5. 按条件选择路线

已知	起手方法	合法性与解数边界
三边 SSS	先查三角形不等式，再余弦定理求目标角	正边长下最长边须小于另两边和；合法时形状唯一
两边及夹角 SAS	余弦定理求第三边正根	夹角在 $(0,\pi)$ ，合法时唯一
两角一边 ASA/AAS	内角和求第三角，再正弦定理	两已知角正且和小于 $\pi$ ，边为正
两边及一边对角 SSA	正弦定理求另一角正弦，列全候选	须逐一核剩余角正，可能0、1、2解

SSS也可用 $|b-c|<a<b+c$ 作检查，内角余弦在 $(0,\pi)$ 严格递减，因而合法余弦值唯一确定内角。SAS求边后可再用余弦定理求一角，或用正弦定理求较短边的锐对角，最后内角和收尾。

SSA也可用余弦定理列关于未知边的二次方程。例如已知 $a,b,A$ 时， $c^2-2b\cos A\,c+b^2-a^2=0$ ；可能得到两条正边长，仍须逐一检查三角形条件，不能套用SAS的唯一性。

仅给三个角只能定形状，不能定边长尺度；仅给边比也不能凭空求具体边长。题目若只问一个元素，不必把全部边角都算完；若继续求面积，必须使用所乘两边的夹角。

二、考点方法与例题

1. 两角一边，先补完整的边—对角配对

先求第三角，标出已知边对谁、目标边对谁，再列同一正弦比例。只求正弦值时可以直接用边比，不必额外求角度。

例题 01 两角与一边确定目标边

题目

在 $\triangle ABC$ 中， $AB=2\sqrt{2}$ ， $\angle BAC={60}^\circ$ ， $\angle ABC={75}^\circ$ ，则 $BC=$ （）

A． $\sqrt{2}$ B． $\sqrt{3}$ C． $\sqrt{6}$ D． $2\sqrt{3}$

答案与解析

解析

$C=180^\circ-60^\circ-75^\circ=45^\circ$ 。 $AB$ 对C， $BC$ 对A，所以

\frac{AB}{\sin C}=\frac{BC}{\sin A},\qquad \frac{2\sqrt2}{\sqrt2/2}=\frac{BC}{\sqrt3/2}.

公共比为4，故 $BC=2\sqrt3$ ，选D。A、B、C的三个数均不等于此值。若将 $AB$ 配A、 $BC$ 配B，虽然也写成分数，却不是正弦定理对应的比例。

本题结论

选D， $BC=2\sqrt3$ 。

例题 02 由边长比例求正弦

题目

已知 $\triangle ABC$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a=2b, \sin A=\frac{2}{3}$ ，则 $\sin B=$ （）

A． $\frac{1}{3}$ B． $\frac{1}{2}$ C． $\frac{3}{4}$ D． $\frac{2}{5}$

答案与解析

解析

同一三角形中 $\sin B/\sin A=b/a=1/2$ ，故 $\sin B=(2/3)/2=1/3$ ，选A。B、C、D都不满足这个比例。

若把边比倒置，会算出 $4/3>1$ ，超出正弦值域，可迅速发现错误。这里只问 $\sin B$ ，不必额外解两个角。

本题结论

选A， $\sin B=1/3$ 。

2. 两边夹角与三边求角，先认目标对边

求边平方时，交叉项用已知两边与夹角，最后长度只取正根；求角时，分子减目标对边平方、分母用两邻边积，最后用内角范围筛角。先后均应核非退化条件。

例题 03 两边与夹角的余弦值

题目

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别为 $a,b,c$ ， $AB=2$ ， $AC=3$ ， $\cos A=\frac{3}{4}$ ，则 $a=$ （）

A．1 B．2 C．3 D．4

答案与解析

解析

角A的邻边是 $AB=2,AC=3$ ，分别为 $c,b$ ，目标 $a=BC$ 。余弦定理给

a^2=2^2+3^2-2\cdot2\cdot3\cdot\frac34=4.

边长正，取 $a=2$ ，选B。 $|3-2|<2<3+2$ 也通过三角形不等式。A、C、D分别为1、3、4，平方都不是4，排除。此题尚无已知边与其对角的完整配对，不宜先硬套正弦定理。

本题结论

选B， $a=2$ 。

例题 04 三边确定指定内角

题目

已知a，b，c分别为 $\triangle ABC$ 内角A，B，C的对边， $a=3$ ， $b=\sqrt{13}$ ， $c=4$ ，则 $B=$ （）

A．30° B．60° C．150° D．120°

答案与解析

解析

三边 $3,\sqrt{13},4$ 为正，最大边4小于 $3+\sqrt{13}$ ，可成三角形。目标B的对边是 $b=\sqrt{13}$ ，两邻边为 $a=3,c=4$ ，故

\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}=\frac{9+16-13}{24}=\frac12.

$B\in(0,180^\circ)$ 内余弦严格递减，因此唯一 $B=60^\circ$ ，选B。30°、150°、120°的余弦分别为 $\sqrt3/2,-\sqrt3/2,-1/2$ ，与所得不符。

本题结论

选B， $B=60^\circ$ 。

3. 对角正弦给候选，不自动给唯一角

已知两边及其中一边对角时，先由正弦定理求 $s$ 。若 $0<s<1$ ，内角候选为锐角 $\beta$ 及补角 $\pi-\beta$ ；逐个代回内角和，只留第三角为正的三角形。 $s=1$ 仅一个直角候选，也须检查内角和； $s>1$ 则无解。

例题 05 两边与一边对角确定另一角

题目

在 $\triangle ABC$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a=\sqrt{2}$ ， $b=\sqrt{3}$ ， $A={45}^\circ$ ，则 $B=$ （）

A． ${30}^\circ$ B． ${60}^\circ$ C． ${120}^\circ$ D． ${60}^\circ$ 或 ${120}^\circ$

答案与解析

解析

正弦定理给

\sin B=\frac{b\sin A}{a}=\frac{\sqrt3\cdot(\sqrt2/2)}{\sqrt2}=\frac{\sqrt3}2.

三角形范围应为 $0<B<180^\circ-A=135^\circ$ ；又 $a<b$ 给 $B>A=45^\circ$ 。候选 $60^\circ$ 、 $120^\circ$ 都满足这个范围，剩余角C分别为75°、15°，均正，因此有两种合法三角形，选D。

A的30°不满足正弦值，B只留锐角、C只留钝角，各漏一解。两种B属于两种不同三角形，不是固定一个三角形中的同一内角有两个值。

本题结论

选D， $B=60^\circ$ 或 $120^\circ$ 。