对数刻度与实际数量比

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刻度相差多少与实际数量相差多少不是同一问题。相减消去共同项，指对互化恢复倍率，并始终保留参考量和系数的方向。

一、知识点概念与依据

1. 对数是指数的反向读法

当 $a>0,a\ne1,X>0$ ， $\log_aX=u$ 表示 $a^u=X$ ； $\lg$ 表示以10为底的对数。真数为正、底数正且非1不是计算后再补的装饰条件。

对正数 $U,V$ ，设 $U=a^u,V=a^v$ ，则 $U/V=a^{u-v}$ ，所以 $\log_aU-\log_aV=\log_a(U/V)$ 。这解释了为什么刻度之差对应实际量之比，而非对应实际量之差。不同底数不能直接按这一法则合并。

2. 共同固定项与参考量才能抵消

题给刻度 $S=\alpha+\beta\log_a(A/B)$ ，须 $A,B>0$ 且 $\beta\ne0$ 。两个对象共用 $\alpha,B$ 时，

S_2-S_1=\beta\log_a\frac{A_2}{A_1},\qquad \frac{A_2}{A_1}=a^{(S_2-S_1)/\beta}.

先除系数再转指数，不能把刻度差直接当倍率。量与参考量须使用一致单位，才能形成模型中的比。

不同条件的消元方式可先对照：

两对象条件	相减后保留什么	恢复实际量比
同常量、同参考量	仅有对数商	除非零系数后指对互化
常量不同、参考量相同	常量差 $\alpha_2-\alpha_1$	先移去常量差
参考量不同	真数之比仍带 $B_1,B_2$	先解带基准的比，再乘 $B_2/B_1$

若常量和参考量都不同，则应写

S_2-S_1=(\alpha_2-\alpha_1)+\beta\log_a\frac{A_2/B_2}{A_1/B_1}.

先移去常量差，得到带基准的比，再乘 $B_2/B_1$ 恢复 $A_2/A_1$ 。不能因为符号都叫“偏差”就约掉本来不同的项。

3. 倍率方向由底数和系数共同决定

$a>1$ 时对数递增，若 $\beta<0$ ，刻度越高实际量反而越小；若 $0<a<1$ ，对数本来递减，方向还会反转。比较最大最小比之前，应先明确两端对应哪个量。

求 $A_1/A_2$ 与求 $A_2/A_1$ 相反，应取正非零比值的倒数。模型指定的是声强、亮度或耗氧量，就只报告该量的倍率，不能换成振幅、能量等另一个量。

二、考点方法与例题

1. 共用基准时相减求比

分别代入两个刻度，先相减再用对数商法则。也可以各自还原实际量再相除，两条途径应给相同结果。

对于一个声强为I（单位： $\frac{W}{{m}^{2}}$ ）的声波，其声强级L（单位： $\mathrm{dB}$ ）可由如下公式计算： $L=10\lg \frac{I}{{I}_{0}}$ （其中 ${I}_{0}$ 是能引起听觉的最弱声强）.设声强为 ${I}_{1}$ 时的声强级为70 $\mathrm{dB}$ ，声强为 ${I}_{2}$ 时的声强级为60 $\mathrm{dB}$ ，则 $\frac{{I}_{1}}{{I}_{2}}$ 等于（）

A．10 B．100 C． ${10}^{10}$ D．10000

答案与解析

解析

模型要求 $I_0,I_1,I_2>0$ 。两式相减得

70-60=10\left[\lg\frac{I_1}{I_0}-\lg\frac{I_2}{I_0}\right]=10\lg\frac{I_1}{I_2}.

故 $\lg(I_1/I_2)=1$ ，比值为10，选A。分别还原也得 $I_1=10^7I_0$ 、 $I_2=10^6I_0$ ，约去共同非零基准仍为10。

B、C、D所给倍率的常用对数分别为2、10、4，都不是1。10分贝的级差并非声强相差10个原单位，也不能据此报告其他物理量倍率。

本题结论

声强比为10，选A。

2. 负系数先保留方向，再取倒数

把较大刻度对象固定放在公式的第二位置，不凭名称猜亮暗。算出的比若是所问反向，最后再取倒数。

例题 02 较大星等对应较小亮度

题目

星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如：2等星的星等值为2.已知两个天体的星等值 ${m}_{1}$ ， ${m}_{2}$ 和它们对应的亮度 ${E}_{1}$ ， ${E}_{2}$ 满足关系式 ${m}_{2}-{m}_{1}=-2.5\lg \frac{{E}_{2}}{{E}_{1}}\left( {E}_{1}>0,{E}_{2}>0\right)$ ，则（）

A．2等星的亮度是7等星亮度的100倍

B．7等星的亮度是2等星亮度的100倍

C．2等星的亮度是7等星亮度的10倍

D．7等星的亮度是2等星亮度的10倍

答案与解析

解析

设2等星亮度 $x>0$ 、7等星亮度 $y>0$ ，按题给模型

7-2=-2.5\lg(y/x),\qquad \lg(y/x)=-2.

所以 $y/x=10^{-2}=1/100$ ，反向比 $x/y=100$ ，即2等星亮度为7等星的100倍。B颠倒方向，C、D又错了倍率。这里亮暗方向来自负系数，并非比较星等数字即可判断。

本题结论

选A。

3. 不同偏差项必须保留差值

多个对数的底数、系数和真数分别检查。速度相同只能令完整表达式相等；不同的偏差项不能直接消去。用题给偏差比求它们的对数差。

例题 03 相同速度不代表相同耗氧量

题目

大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵、研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速 $v$ （单位： $\frac{m}{s}$ ）满足方程 $v=\frac{1}{2}{\log }_{3}\frac{x}{100}-\lg {x}_{0}$ ，其中 $x$ 表示鲑鱼耗氧量的单位数， ${x}_{0}$ 表示测量过程中鲑鱼的耗氧量偏差.

(1)当一条鲑鱼的耗氧量为2700个单位时，它的游速为 $1.3m/s$ ，求此时 ${x}_{0}$ 的值；

(2)当甲、乙两条鲑鱼游速相同时，甲鲑鱼耗氧量偏差是乙鲑鱼耗氧量偏差的10倍，试问甲鲑鱼的耗氧量是乙鲑鱼耗氧量的多少倍？

答案与解析

解析

模型同时要求 $x>0,x_0>0$ ；虽然文字叫“偏差”，此对数式仍不允许零或负偏差。

（1） $2700/100=27=3^3$ ，所以 $1.3=3/2-\lg x_0$ ，得 $\lg x_0=1/5$ ，故 $x_0=10^{1/5}$ 。回代 $1.5-0.2=1.3$ 。

（2）设乙偏差 $c>0$ 、甲偏差 $10c$ ，耗氧量分别为 $x_{\text{乙}},x_{\text{甲}}>0$ 。速度相同给

\frac12\log_3\frac{x_{\text{甲}}}{100}-\lg(10c)=\frac12\log_3\frac{x_{\text{乙}}}{100}-\lg c.

由于 $\lg(10c)-\lg c=1$ ，可得 $\frac12\log_3(x_{\text{甲}}/x_{\text{乙}})=1$ ，故比为 $3^2=9$ 。

回代检验：甲耗氧量是9倍，使第一项比乙增加1；其偏差是10倍，又使被减项增加1，恰好抵消，速度一致。不能把10倍偏差误报为10倍耗氧量。

本题结论

（1） $x_0=10^{1/5}$ ；（2）甲耗氧量是乙的9倍。