所有结论都以原列满足本章非零等比定义为前提。

若全部aₙ>0、底c>0且c≠1，则q>0，令bₙ=log_c aₙ，有

b_n=\log_c a_1+(n-1)\log_c q,

因此相邻差为log_c q，是等差列，允许公差0或某项为0。反向若b等差、公差d，则 $a_n=c^{b_n}>0$ ，相邻比cᵈ>0，恢复正项等比。

对数相加可合并为乘积的对数，但必须每个真数各自为正。两个负数的乘积为正，仍不能使两个原实对数有定义；log(a+b)也不等于log a+log b。

二、考点方法与例题

先由下标关系得平方，再列正负根。每支算公比、恢复邻项与首项，核原范围和非零；没有额外正项条件时不能擅自删负支。

题目

等比数列 $\{{a}_{n}\}$ 中， ${a}_{4}=48,{a}_{6}=12$ ，则 ${a}_{4}$ 与 ${a}_{6}$ 的等比中项为（）

A．24 B． $-24$ C． $\pm 24$ D． $30$

答案与解析

解析

a₅²=a₄a₆=48×12=576，所以a₅=24或−24，选C。

正支取q=24/48=1/2，得到a₆=24×1/2=12，首项a₁=48/(1/2)³=384；负支取q=−24/48=−1/2，得到a₆=(−24)(−1/2)=12，首项a₁=48/(−1/2)³=−384。两支都构成全部项非零的真实等比列。

A、B各只列出一支，遗漏另一合法支；D的30平方为900，不满足576。两端正数不等于全列正项，不能用它排除负中项。

本题结论

选C，等比中项为 $\pm24$ 。

先替换下标和相同的乘积，再识别完全平方。开方后的符号最后由原条件确定，不由“平方看起来为正”决定。

题目

在各项均为正数的等比数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 中，若 ${a}_{2}{a}_{4}+2{a}_{3}{a}_{5}+{a}_{4}{a}_{6}=16$ ，则 ${a}_{3}+{a}_{5}=$ （）

A．1 B．2 C．3 D．4

答案与解析

解析

下标2+4=3+3，故a₂a₄=a₃²；下标4+6=5+5，故a₄a₆=a₅²。原条件变为

a_3^2+2a_3a_5+a_5^2=(a_3+a_5)^2=16.

因此先有a₃+a₅=±4，再由所有项为正得a₃+a₅>0，保留4，选D。A、B、C的平方分别1、4、9，不满足16。

正号来自原正项条件，而不是平方方程本身。条件也确可实现，例如取正的常数等比列aₙ=2，原左侧为4+8+4=16，和为4。

本题结论

选D， $a_3+a_5=4$ 。

用等比乘积关系把已知乘积移到所需下标；合并两个实对数前，另核每个真数正，底也合法。

题目

在各项均为正数的等比数列 $\left\{ {a}_{n}\right\}$ 中， ${a}_{2}{a}_{5}=16$ ，则 ${\log }_{2}{a}_{3}+{\log }_{2}{a}_{4}=$ （）

A．2 B．3 C．4 D．5

答案与解析

解析

2+5=3+4=7，等比通项给a₂a₅=a₃a₄=16。原题所有项为正，所以a₃、a₄均正，底2合法，可以合并：

\log_2a_3+\log_2a_4=\log_2(a_3a_4)=\log_2 16=4.

选C，其他2、3、5分别对应2的幂4、8、32，不是已确定乘积16的对数。

仅乘积正不足以保证两个实对数存在，本题保证合法的是原“各项均为正数”的条件。

本题结论

选C，所求对数和为4。