复数乘方与全部方根：模的幂与角的分支

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整数幂可重复使用模乘、角加规则；求方根则要解完整的角方程，先列全不同候选，再比较后续目标。

一、知识点概念与依据

1. 棣莫弗乘方公式是乘法规则的重复

本节一般整数幂推广和n次方根通式作为拓展学习，具体考试范围以学校与试卷要求为准。

非零z=r(cosθ+i sinθ)，r>0，正整数n下连续相乘，每次模再乘r、角再加θ，得到

z^n=r^n(\cos n\theta+i\sin n\theta).

模是rⁿ而非nr。零的正整数幂为0。非零z还可取0次幂1和负整数幂：

z^{-n}=r^{-n}[\cos(-n\theta)+i\sin(-n\theta)].

此处不定义0⁰或零的负次幂，也不把一般有理指数zᵖ⁄ᑫ当成没有分支约定的唯一复数值。

2. 开方是在解方程，不是只取一个主根

n须为正整数，复数w的n次方根是满足uⁿ=w的u。先区分：

w的情况	不同根的个数
w=0	只有0；按多项式重数计为n重根
w≠0	恰有n个不同根

实数符号√s约定取非负根，不代表方程u²=s只有这个解。复数方根的不同分支来自方向，模本身始终非负，不给正模再添±号重复计数。

3. 先给原角加整周，再除以n

w≠0时，写w=s(cosφ+i sinφ)，s>0；设u模ρ>0、辐角α。由乘方公式和复数相等，

\rho^n=s,\qquad n\alpha=\varphi+2k\pi,\quad k\in\mathbb Z.

模ρ唯一取正实数s的正n次方根。因此全部根为

u_k=s^{1/n}\left[\cos\frac{\varphi+2k\pi}{n}+i\sin\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right],\quad k=0,1,\ldots,n-1.

加2kπ在除以n之前；若错写φ/n+2kπ，只重复同一根，而没有列出其它方向。

4. 为什么既不重复又没有遗漏

k增加n使根角增加2π，因此复数重复。在0至n−1之间，若k≠j，则0<|k−j|<n，角差2π(k−j)/n不是整周，所以所列n个根互异。

任何根都满足上述角方程，对应某个整数k；取它除以n的余数，就回到0至n−1中某一个索引，因此没有遗漏。每个列出的根取n次幂，模回到s、角回到φ加整周，也都满足原式。

换用w的另一个辐角φ+2mπ，只会使根的索引循环移动，不改变整个根集合。零的任意角形式表达也只表示同一个根0，不能因此计出多个不同根。

5. 等模等角间隔的几何分布

w≠0时，所有根位于以原点为圆心、半径s¹⁄ⁿ的圆上，相邻方向间隔2π/n。n≥3时构成正n边形；n=2是直径两端点，不称“正二边形”；n=1只有w本身。

同一个根的不同表示角相差2π，不同相邻根的方向差为2π/n。这两个周期对象不能混淆。

6. 单位复数找周期，加法仍回到分量

r=1且某正整数T使Tθ为2π的整数倍，则zᵀ=1，可将整数指数按T取余。一般r不为1时，不能只倍角而丢掉rⁿ。

共轭保持模、反转方向，先单独写共轭再与幂作代数加减。复数加法没有“模相加、角相加”的规则；后续求距离或最值时必须逐一检查全部根。

二、考点方法与例题

1. 单位复数的短和先求各幂

用模与角求每个幂，得到标准形式后分别合并实虚部。若借同一组数解释方根分布，仍须逐个核幂与互异性。

例题 01 单位复数的幂与短和

题目

若 $\omega =-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ ，则 $1+\omega +{\omega }^{2}+{\omega }^{3}=$ （）

A．1 B． $\sqrt{3}i$ C． $-1$ D． $-\sqrt{3}i$

答案与解析

解析

ω模为1，辐角2π/3。因此ω²=cos(4π/3)+i sin(4π/3)=−1/2−(√3/2)i，ω³=cos2π+i sin2π=1。

所求和的实部1−1/2−1/2+1=1，虚部抵消为0，故选A。B、D保留了本应抵消的虚部，C实部不符。

原题已有的1、ω、ω²也恰为方程u³=1的全部根：三者立方均为1，方向0、2π/3、4π/3互异，模均1，与n=3的全根公式一致。这里每个根都检验过，而不是只猜一个根后套数量。

本题结论

A，1。

2. 大整数幂与共轭分开计算，再相加

先找单位复数的实际周期，化简指数；共轭独立改虚部符号，再按加法合并，不能把加号继续当乘法加角。

例题 02 大整数次幂与共轭之和

题目

任意一个复数 $z=a+bi\left( a,b\in R\right)$ 都可以表示成三角形式，即 $a+bi=r\left( \cos \theta +i \sin \theta \right)\left( \theta \in R,r\ge 0\right)$ .法国数学家棣莫弗创立的棣莫弗定理是：设两个复数 ${z}_{1}={r}_{1}\left( \cos {\theta }_{1}+i \sin {\theta }_{1}\right)$ ， ${z}_{2}={r}_{2}\left( \cos {\theta }_{2}+i \sin {\theta }_{2}\right)$ ，则 ${z}_{1}{z}_{2}={r}_{1}{r}_{2}\left[ \cos \left( {\theta }_{1}+{\theta }_{2}\right)+i \sin \left( {\theta }_{1}+{\theta }_{2}\right)\right]$ ，已知复数 $z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ ，则 ${z}^{2025}+\overline{z}=$ （）

A． $\frac{1}{2}$ B． $-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ C． $-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ D． $-1$

答案与解析

解析

z模1，辐角π/3，所以z⁶=1。2025=6×337+3，故z²⁰²⁵=z³=cosπ+i sinπ=−1。

共轭为1/2−(√3/2)i，二者相加得−1/2−(√3/2)i，选C。A只有实数，B虚部反号，D只给幂而漏加共轭，都不等于完整目标。

本题给出的乘法公式经逐次相乘即可处理幂；相加这一步必须合并两个实分量，不适用乘法的角相加规则。

本题结论

C， $-1/2-(\sqrt3/2)i$ 。

3. 列全根、去重、代回，再比较目标

核n为正整数，先分w是否0。
非零时求正模根，并先给原角加2kπ再除n。
取k=0至n−1，核互异且每个候选n次幂等于w。
将全部候选代入后续式比较，不能只留下一个“主根”。

例题 03 方根条件下的距离最大值

题目

欧拉公式： ${e}^{i\theta }=\cos \theta +i\sin\theta (i$ 是虚数单位， $e=2.718\cdots ,\theta \in R)$ 是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它非常巧妙地将三角函数与复指数函数关联了起来.若复数 ${z}_{1}={e}^{i\frac{2\pi }{3}}$ ，复数 $z$ 满足 $z\cdot z=1$ ，则 $\left| {\left( \frac{1}{{z}_{1}}\right)}^{2025}-z\right|$ 的最大值为（）

A．0 B． $\frac{1}{2}$

C．1 D．2

答案与解析

解析

题目已经给出欧拉公式，可据此读取z₁的模1、方向2π/3，不需另引复指数的一般理论。倒数方向为−2π/3或4π/3，模1；2025是3的倍数，所以(1/z₁)²⁰²⁵=1。

z²=1时，根的正模ρ满足ρ²=1，故ρ=1；方向满足2α=2kπ。取k=0、1，得到z=1、−1。两者平方都为1且互异，候选完整。k=2又给角2π，等于第一个根，不再增加新根。

候选z	目标距离
1	$\lvert1-1\rvert=0$
−1	$\lvert1-(-1)\rvert=2$

所以最大值2，在z=−1时取得，选D。A只是漏掉−1后留下的距离；B、C都不是全候选中的最大值。两个根的模都是1，并不是一个正模、一个负模。

本题结论

D，最大值2，在 $z=-1$ 处取得。

三、坑点边界与纠错

1. 模取幂，角倍增，不能漏任何一项

rⁿ不是nr，单位复数只是恰有rⁿ=1。负指数先排零，加共轭时则回到代数加法。

2. 根的分支先加整周再除，不给模添±

根角间隔2π/n，单根表示角周期2π；后者重复不能当新根。w=0只计一个不同根，n=1只还原w。

3. 一个正确根不等于全部根已找到

检查互异、数量和逐根代回，后续最值也要全候选比较。实数非负根的符号约定不能抹掉方程的其它解。