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外观

频率直方图：高度、面积与人数

约 1751 字大约 6 分钟

先读纵轴和每组宽度，再将完整柱面积变成比例。求样本人数与估计总体人数，用的是不同总数。

一、知识点 概念与依据

从频数表到面积模型

把同一数值变量分入互不重叠的区间。样本容量 n>0n>0 为整数，组频数 njn_j 是非负整数，组频率 fj=nj/nf_j=n_j/n。每项恰归一组，所以 ∑jnj=n\sum_jn_j=n、∑jfj=1\sum_jf_j=1。

量定义单位或意义
组距 djd_j右端点减左端点，须正同原变量单位
频数 njn_j组内数据条数非负整数
频率 fjf_jnj/nn_j/n无单位的比例
密度 hjh_jfj/djf_j/d_j每单位长度的频率
柱面积djhj=fjd_jh_j=f_j所占比例，总面积1

频率表列区间、频数和频率；直方图横轴为数值区间，宽度已是组距，要让面积代表比例，高度就须除组距。变量单位若cm，密度单位为每cm，相乘约去长度后频率无单位。

等宽时较高柱也有较大频率，但高度数值仍不是频率；不等宽时最高柱只表示最高密度，不一定人数最多。先读纵轴，若图本来标频率，直接读其值，不再乘宽。

分组端点与保留的信息

  1. 找最大最小值及极差，结合容量和目的选组距、组数。组数与极差除组距有关，但还须设计端点，不机械取商。
  2. 常用左闭右开，最后一组右闭以覆盖最大值；其他一致约定也可，不能重叠、漏数。
  3. 逐组数人数再除容量，核频数总和与频率总和。
  4. 完整分组比例由面积确定，组内具体数值则已丢失。若所问区间截在组内，不能无条件按宽度比例给精确频率；有组内均匀假设时才可估计。

大组距容易遮盖差别，小组距容易零散；分组选择影响可见形状。直方图适合大量数值数据的分组概括，并不等于逐条原始记录。

二、考点 方法与例题

高度到频率再到人数

  1. 读轴名，各组左右端点相减求 djd_j；等组距才可提出共同宽度。
  2. 面积和 ∑jdjhj=1\sum_jd_jh_j=1 求未知高，代回核非负和归一。
  3. 将条件译成区间，核“至少”及边界，完整组面积相加为 ff。
  4. 样本频数用 nfnf；样本比例估计总体人数用 NfNf，写“约”。NN 不替代 nn。
  5. 确切样本人数须整数。若图值经过舍入，计算也可能近似，按题精度处理；总体估计非整数时保留依据再按要求取整。

从样本 nn 项等可能抽一项，落入完整区间的概率恰为该样本频率；用它估计总体概率还须合理代表性。未知样本容量时只能得到比例，不能由频率反推本次人数。

例题 01 知识竞赛的分组人数

题目

某中学举行了一次“网络信息安全”知识竞赛，将参赛的500名学生成绩分为6组，绘制了如图所示的频率分布直方图，则成绩在区间[75,80)\left[ 75,80\right)内的学生有（  ）

原题配图    

A．80名 B．100名 C．120名 D．140名

答案与解析

解析

各组宽5，面积归一给

5(0.05+0.06+a+0.03+0.01+0.01)=1,5(0.05+0.06+a+0.03+0.01+0.01)=1,

故 a=0.2−0.16=0.04a=0.2-0.16=0.04。所问组面积 5a=0.205a=0.20，人数 500×0.20=100500\times0.20=100，选B。A、C、D分别要求频率0.16、0.24、0.28，不合图示面积。

区间密度频率频数
[65,70)[65,70)0.050.25125
[70,75)[70,75)0.060.30150
[75,80)[75,80)0.040.20100
[80,85)[80,85)0.030.1575
[85,90)[85,90)0.010.0525
[90,95][90,95]0.010.0525

频率和1、人数和500。其余区间按常用左闭右开及末组右闭记法展示，不据图推断未给的具体端点人数。这里描述参赛500人的分组人数，不向其他人推广。若错用 500×0.04=20500\times0.04=20，漏乘的是组距5。

本题结论

B，100名

例题 02 跳绳测试的总体人数估计

题目

某校高一年级有学生2000名，为了了解高一学生的体能情况，随机抽取部分学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，按[95,105),[105,115),[115,125)\left[ 95,105\right),\left[ 105,115\right),\left[ 115,125\right)，[125,135),[135,145]\left[ 125,135\right),\left[ 135,145\right]分为5组，画出频率分布直方图，如图所示．

原题配图
原题配图

(1)求mm的值；

(2)若规定：高一学生1分钟跳绳125次以上（含125次）成绩为良好．试估计该校高一学生1分钟跳绳成绩良好的人数．

答案与解析

解析

（1）组距10，10(0.01+0.02+m+m+0.01)=110(0.01+0.02+m+m+0.01)=1，于是 2m=0.1−0.04=0.062m=0.1-0.04=0.06，m=0.03m=0.03。

（2）125包含在 [125,135)[125,135)，不在 [115,125)[115,125)。良好包括最后两组，频率 10(0.03+0.01)=0.4010(0.03+0.01)=0.40。用样本比例估计全校2000人的比例，人数约 2000×0.40=8002000\times0.40=800。

800是估计，不是全校逐个调查得到的精确数。题目未给样本容量，不能据此推算本次抽了多少人。

本题结论

（1）m=0.03；（2）估计约800人

三、坑点 边界与纠错

密度不是比例

图高要看纵轴含义；密度乘各自组距才成频率，宽度不等不可统一乘一个数。仅加高会失去面积模型，哪怕某题组距1使二者数值相同，也不变成通用规则。

人数基数与区间边界同时核

样本频数与总体人数估计不要换基数，端点只计一次，最后一组覆盖最大值。组内截断缺具体数据，只能在说明假设后估计，不能冒称精确计数。