几何模型先数清每个方向的道路，再写种植区或外围区域的真实边长。面积式有定义并不足够，全部内部尺寸还必须为正。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

一、知识点 概念与依据

1. 固定面积先消去一条边

矩形内边为 $x,y>0$，固定面积 $A$ 给 $xy=A$，因此 $y=A/x$。原来两条边的正性与分母条件要保留。

外围每侧宽 $w$ 的路，使每个方向的两端各加 $w$，外边是 $x+2w$、$A/x+2w$。内部分割则要按各方向实际路带数相减：两列之间有竖路，上下两块之间有横路，未必两个方向减去同样宽度。

图只定位标记，等宽、全等必须来自题设。不要凭示意比例猜长度。面积宜分互不重叠的矩形相加；若扣道路面积，交叉处不能扣两次。若分块含三角形，面积须用对应底和高的乘积的一半；计算造价时，各块面积分别乘各自单位价格再相加。

2. 最值必须由可行尺寸实现

若式子含 $Ax+B/x$（$A,B>0,x>0$），基本不等式给下界 $2\sqrt{AB}$，取等需 $Ax=B/x$。将这个候选代回所有外边、内边和范围，才说明下界可取。

正长度是严格条件，退化成零宽或零高的种植区不能实现方案。若变量被称为“长”只是指定边，可取任意正值；若题意坚持“长”为较长边，还需与另一边比较，分别说明，不悄悄改变口径。

二、考点 方法与例题

方法一：按两方向分别数路带

外面积给另一边，横向道路与分块宽度给中间变量；竖向再分别算大块与两小块高度。面积相加后化成单变量式，求取等并验每块。

例题 01 内部分割的种植面积

题目

某公园为了美化游园环境，计划修建一个如图所示的总面积为$750{m}^{2}$的矩形花园.图中阴影部分是宽度为1m的小路，中间$A$，$B$，$C$三个矩形区域将种植牡丹、郁金香、月季（其中$B$，$C$区域的形状、大小完全相同）.设矩形花园的一条边长为$xm$，鲜花种植的总面积为$S{m}^{2}$.

外矩形竖边x，内部左A和右B、C，两列宽均标a，阴影道路等宽

(1)用含有$x$的代数式表示$a$；

(2)当$x$的值为多少时，才能使鲜花种植的总面积最大？

答案与解析

解析

（1）外矩形另一边 $y=750/x$。横向两列宽均为 $a$，加外侧两条及中间一条1米路，故 $2a+3=y$，得到

$$a=\frac{375}{x}-\frac32.$$

左A高度 $x-2$；右B、C中间还隔一条横路，各高 $(x-3)/2$。三块都存在须 $x>3$ 且 $a>0$，即 $3<x<250$。

（2）总种植面积

$$S=a(x-2)+2a\frac{x-3}{2}=a(2x-5)=\frac{1515}{2}-\left(3x+\frac{1875}{x}\right).$$

正项乘积 $5625$，所以 $S\le1515/2-150=1215/2$。取等需 $3x=1875/x$，正解 $x=25$，在可行域内。

回代外边为25和30米，$a=13.5$，A高23，B、C各高11，均为正；面积 $13.5\times23+2\times13.5\times11=607.5$，真实可达。

本题结论

$a=375/x-3/2$，$3<x<250$；$x=25$ 米时种植面积最大 $607.5$ 平方米。

方法二：外框直接相乘，避免道路交叉重复计数

把内边每端各加道路宽度，直接算整个外矩形面积。展开时保留四个角的常数项，取等后核外框和绿地面积。

例题 02 四周道路的占地

题目

某广场欲建一块$2500$ ${m}^{2}$的矩形绿地，在绿地的四周铺设2$m$宽的人行道，如图所示．设矩形绿地的长为$x$ $m$，绿地与人行道一共占地$y$ ${m}^{2}$．

矩形绿地四周被等宽人行道包围，外轮廓比绿地每侧多一条道路

(1)试写出$y$关于$x$的函数关系式；

(2)求$x$为何值时，占地面积$y$最小．

答案与解析

解析

（1）绿地内边是 $x$、$2500/x$，外围每端加2米，外边为 $x+4$ 与 $2500/x+4$。因此

$$y=(x+4)\left(\frac{2500}{x}+4\right)=2516+4x+\frac{10000}{x},\qquad x>0.$$

此处沿原解把“长”作为指定边；若必须较长，则另需 $x\ge2500/x$，即 $x\ge50$。

（2）两正项积40000，故 $y\ge2516+400=2916$，取等要求 $4x=10000/x$，正解50。两种边名口径下均可取。内绿地 $50\times50=2500$，外边 $54\times54=2916$，可实现。

本题结论

$y=2516+4x+10000/x$；$x=50$ 米时最小占地 $2916$ 平方米。

三、坑点 辨析与纠错

1. 道路宽度相同，不代表每方向减量相同

左右外路加一条内部竖路，与上下外路加内部横路，需分别数。右侧两块总高度比左侧大块少一条内部路，不能统一写 $x-2$。反过来外围每条边两端都有路，只加一次宽度会漏一端。

2. 代数下界不是自动可实施方案

取等后逐个检正长度、题设范围和总面积。如果候选落在区间外或使一块退化，只能说原不等式给界，不能说已取得最值。

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