公历年、钟点和样本序号不是同一个输入；先编码，再变换，最后换回响应单位。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

先把实际时刻编码

若每次间隔固定，第一次的时刻为 $t_0$、编号为1，间隔为 $h>0$，则报告时刻对应 $i=1+(t-t_0)/h$。只在题设确实采样的时刻，这个编号才是报告序号；不要把钟点数或公历年直接当序号。

模型输入形式	进入模型前要做什么
第几年或第几次	写清初次编号和时间起点关系
经过时长	分清从0起算的时长与从1起算的序号
$u=g(x)$	先得到正确 $x$，再作变换
变换样本均值	平均各个 $g(x_i)$，一般不等于 $g(\bar x)$

输出单位与量的口径

保留模型响应原单位，最后换成所问单位：1百辆=100辆、1百人=100人、1千件=1000件。输入也要换成模型规定单位；例如280万人次，以十万人次为1单位时应输入28，不能输入280。

不能只改一列单位却沿用旧系数，也不把响应乘100当成自变量编号乘100。年度总量不等于某一天数量；每次入口报告的人流不自动是累计人数或全年人数。按题给量的含义解释，结果精度与题设相配。

范围与条件

检查目标在样本范围内外，外推须说明当前趋势在目标时段继续有效的假定。超出现实范围的数值提示模型越界，不能无说明改成“可行值”仍称原模型预测。个体预测有未解释波动；只给均值不提供范围时，不能断言目标必是内插。

考点

编码、变换、代入、换单位

1. 用起点和间隔建立实际时刻到编号的映射。
2. 若含 $\log$、平方根等，先检查定义域，再代正确编号；求样本中心则逐点变换后平均。
3. 用指定模型计算，保留中间精度和原响应单位。
4. 最后换到问句单位，核目标时段、内插或外推以及现实可解释性。

例题 01 年度交通数据的拟合与预测

题目

某市为创建全国文明城市，自2019年1月1日起，在机动车斑马线礼让行人方面，通过公开违规行车的照片及车牌号，效果显著．下表是该市人民广场某路口连续5年监控设备抓拍到该路口机动车不礼让行人的统计数据：记方案执行时间为执行后第$x$年，不礼让行人车数为$y$（单位：百辆）．

$x$/年	1	2	3	4	5
$y$/百辆	5.8	5.2	4.5	3.7	2.8

(1)求不礼让行人车数$y$与执行时间$x$之间的经验回归方程；

(2)预测该路口2025年不礼让行人车数．

参考公式：经验回归方程$\hat{y}=\hat{b}x+\hat{a}$中斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为$\hat{b}=\frac{\sum _{i=1}^{n} \left( {x}_{i}-\overline{x}\right)\left( {y}_{i}-\overline{y}\right)}{\sum _{i=1}^{n} {\left( {x}_{i}-\overline{x}\right)}^{2}}$，$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}$．

答案与解析

解析

（1）五对数据的 $\bar x=3,\bar y=4.4$，$\sum x_i^2=55,\sum x_iy_i=58.5$。故

$$S_{xx}=55-5\times3^2=10,\qquad S_{xy}=58.5-5\times3\times4.4=-7.5.$$

斜率 $\hat b=-7.5/10=-0.75$，截距 $\hat a=4.4-(-0.75)\times3=6.65$，得到 $\hat y=-0.75x+6.65$，响应单位仍为百辆。斜率表示每增加一个执行年份编号，模型预测减少0.75百辆，不是每次实际一定减少75辆，也不凭这组趋势证明单一措施的因果效果。

（2）2019年第1年，所以编号 $x=\text{年份}-2018$；2025年应取7，不取2025。代入得 $\hat y=6.65-0.75\times7=1.4$ 百辆，即140辆。这是2025年年度数量的预测，不是某一天的值。

样本仅覆盖编号1至5，7为外推，须假定趋势仍适用。若继续用到 $x=9$，预测会成为-0.1百辆，不能解释为实际负车数；也不能无说明改成0后声称仍是原直线的预测。

本题结论

（1）$\hat y=-0.75x+6.65$；（2）按模型预测140辆

例题 02 逐小时报告的人流模型

题目

（2024·福建宁德·三模）2024海峓两岸各民族欢度“三月三”暨福籽同心爱中华$\cdot$福建省第十一届“三月三”畲族文化节活动在宁德隆重开幕.海峡两岸各民族同胞齐聚于此，与当地群众共同欢庆“三月三”，畅叙两岸情.在活动现场，为了解不同时段的入口游客人流量，从上午10点开始第一次向指挥中心反馈入口人流量，以后每过一个小时反馈一次.指挥中心统计了前5次的数据$\left( i,{y}_{i}\right)$，其中$i=1,2,3,4,5,{y}_{i}$为第$i$次入口人流量数据（单位:百人），由此得到$y$关于$i$的回归方程$\hat{y}=\hat{b}{\log }_{2}(i+1)+5$.已知$\overline{y}=9$，根据回归方程（参考数据:${\log }_{2}3\approx 1.6,{\log }_{2}5\approx 2.3$），可顶测下午4点时入口游客的人流量为（    ）

A．9.6 B．11.0 C．11.3 D．12.0

答案与解析

解析

第一次10时编号1，以后每小时加1。下午4点即16时，编号 $i=1+(16-10)=7$，不是6或16。

令 $z_i=\log_2(i+1)$，原模型化为 $\hat y=\hat bz+5$。按题意，这是普通带截距线性化回归所得常数项5，所以直线通过变换后的样本中心 $(\bar z,\bar y)$；若另外规定预先固定截距的约束拟合，就不能自动套此性质。

$$\bar z=\frac{\log_2 2+\log_2 3+\log_2 4+\log_2 5+\log_2 6}{5}=\frac{4+2\log_2 3+\log_2 5}{5}\approx1.9.$$

这里先逐点取对数再平均，不能用 $\log_2(\bar i+1)=\log_2 4=2$ 替代。由 $9=\hat b\times1.9+5$，得 $\hat b\approx4/1.9$。

目标 $i=7$ 时 $z=\log_2 8=3$，于是 $\hat y\approx5+12/1.9\approx11.3$ 百人，选C。其他选项9.6、11.0、12.0不等于题给近似量口径的预测；按选项精度约1130人。使用未舍入对数再计算，结果约11.3212百人，保留一位小数仍11.3。

采集前5次只到14时，16时为外推，须假定人流趋势继续适用。这里是该时段入口报告的人流，不自动是累计、日总量或全年人数。

本题结论

C（约11.3百人）

坑点

间隔数与序号差一个起点

第一次编号1，距离初次若干间隔后，还要加1。年份或钟点先映射到模型输入，再作对数等变换；不能先代错编号再靠换单位补救。

单位和范围各查一次

百辆、百人、千件换算发生在响应一侧；自变量单位也必须与建立模型时相同。外推不等于真实承诺，负数量提示模型不宜延长，不是自动截断的理由。

上一页预测与系数解释：变化不等于因果

下一页解释变量线性化：逐点变换再拟合