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外观

空间向量：证明点共线与共面

约 1702 字大约 6 分钟

先用方向运算，再把每一条位移接回实际点的位置。

一、知识点 理解概念

1. 自由方向关系不自动决定原位置

三个自由向量共面，只说明它们平移到共同起点后可置于同一方向平面；原承载直线可以在不同位置。证明几个点共面，必须用这些点之间的连接把位置补回来。

若 A,B,CA,B,C 不共线，以 AA 为共同起点，证明 AP⃗=xAB⃗+yAC⃗\vec{AP}=x\vec{AB}+y\vec{AC} 才能推出 PP 在平面 ABCABC。求一个已知平面的法向量则只关心面内方向，两向量可有不同起点，因为已知它们属于同一平面。两种任务的条件不能混用。

2. 分点比例先化成整段份额

若 MM 在线段 ABAB 上，AM:MB=1:2AM:MB=1:2，则 AM⃗=AB⃗/3\vec{AM}=\vec{AB}/3，不是 AB⃗/2\vec{AB}/2。平行六面体的对应棱可按同向平移代换；各点位置都展开到同一非退化三棱基底后，再比较方向。

3. 点的非退化条件要落实

证三点共线，取其中一点为共同起点，证两个位移成倍数。证四点共面，先选三个不共线点确定平面，再把第四点接回共同起点。指定直线需要两不同点，指定平面需要三不共线点；条件未满足时不能假称存在唯一指定平面。

二、考点 方法与例题

1. 分点与同起点倍数关系

三棱基底统一方向，分点比先换整段比，最后将两个目标点都连到同一第三点；同时排除零向量退化。

例题 01 平行六面体中的三点共线

如图，在平行六面体ABCD−A1B1C1D1ABCD-{A}_{1}{B}_{1}{C}_{1}{D}_{1}中，点MM在对角线A1B{A}_{1}B上，且∣A1M∣=12∣MB∣\left| {A}_{1}M\right|=\frac{1}{2}\left| MB\right|，点NN在对角线A1C{A}_{1}C上，且∣A1N∣=13∣NC∣\left| {A}_{1}N\right|=\frac{1}{3}\left| NC\right|．求证：MM、NN、D1{D}_{1}三点共线．

题设几何图形及顶点标记
题设几何图形及顶点标记
答案与解析

取 a⃗=AB⃗,b⃗=AD⃗,c⃗=AA1⃗\vec a=\vec{AB},\vec b=\vec{AD},\vec c=\vec{AA_1}，它们不共面。由 A1M:MB=1:2A_1M:MB=1:2，得 A1M⃗=A1B⃗/3\vec{A_1M}=\vec{A_1B}/3；由 A1N:NC=1:3A_1N:NC=1:3，得 A1N⃗=A1C⃗/4\vec{A_1N}=\vec{A_1C}/4。

D1A1⃗=−b⃗\vec{D_1A_1}=-\vec b，A1B⃗=a⃗−c⃗\vec{A_1B}=\vec a-\vec c，所以

D1M⃗=−b⃗+13(a⃗−c⃗)=13(a⃗−3b⃗−c⃗).\vec{D_1M}=-\vec b+\frac13(\vec a-\vec c) =\frac13(\vec a-3\vec b-\vec c).

又 A1C⃗=a⃗+b⃗−c⃗\vec{A_1C}=\vec a+\vec b-\vec c，故

D1N⃗=−b⃗+14(a⃗+b⃗−c⃗)=14(a⃗−3b⃗−c⃗).\vec{D_1N}=-\vec b+\frac14(\vec a+\vec b-\vec c) =\frac14(\vec a-3\vec b-\vec c).

得到 D1M⃗=43D1N⃗\vec{D_1M}=\frac43\vec{D_1N}。两向量同起点 D1D_1，其共同组合在基底中 a⃗\vec a 系数非零，故不是零退化；由同起点倍数关系，M,N,D1M,N,D_1 三点共线。

若只有无共同关联点的两个自由向量平行，不能把它们的四个端点全称共线。本题的共同点 D1D_1 是位置证明的关键。

2. 中途不同起点，最后必须接回同一点

得到 HG⃗\vec{HG} 与 EF⃗,EH⃗\vec{EF},\vec{EH} 的方向关系后，用 EG⃗=EH⃗+HG⃗\vec{EG}=\vec{EH}+\vec{HG} 接回 EE；再核 EF⃗,EH⃗\vec{EF},\vec{EH} 不共线，才能证明点 GG 属于平面 EFHEFH。

例题 02 四个棱中点的共面证明

如图，已知平行六面体ABCD−A′B′C′D′ABCD-{A}^{\prime}{B}^{\prime}{C}^{\prime}{D}^{\prime}，EE，FF，GG，HH分别是棱A′D′{A}^{\prime}{D}^{\prime}，D′C′{D}^{\prime}{C}^{\prime}，C′C{C}^{\prime}C和ABAB的中点，求证：EE，FF，GG，HH四点共面．

题设几何图形及顶点标记
题设几何图形及顶点标记
答案与解析

以 a⃗=AB⃗,b⃗=AD⃗,c⃗=AA′⃗\vec a=\vec{AB},\vec b=\vec{AD},\vec c=\vec{AA'} 为同顶点三棱基底，中点关系给

AE⃗=12b⃗+c⃗,AF⃗=12a⃗+b⃗+c⃗,AG⃗=a⃗+b⃗+12c⃗,AH⃗=12a⃗.\vec{AE}=\frac12\vec b+\vec c,\quad \vec{AF}=\frac12\vec a+\vec b+\vec c,\quad \vec{AG}=\vec a+\vec b+\frac12\vec c,\quad \vec{AH}=\frac12\vec a.

分别相减得

EF⃗=12(a⃗+b⃗),EH⃗=12a⃗−12b⃗−c⃗,EG⃗=a⃗+12b⃗−12c⃗.\vec{EF}=\frac12(\vec a+\vec b),\quad \vec{EH}=\frac12\vec a-\frac12\vec b-\vec c,\quad \vec{EG}=\vec a+\frac12\vec b-\frac12\vec c.

因此

EG⃗=32EF⃗+12EH⃗.\vec{EG}=\frac32\vec{EF}+\frac12\vec{EH}.

EF⃗\vec{EF} 非零且无 c⃗\vec c 分量，EH⃗\vec{EH} 的 c⃗\vec c 系数为 −1-1，所以两者不共线，确定平面 EFHEFH 的两个方向。三个向量同起点 EE，故 G∈G\in 平面 EFHEFH，四点共面。

也可沿路径计算。 令辅助向量 u⃗=ED′⃗,v⃗=EF⃗,w⃗=EH⃗\vec u=\vec{ED'},\vec v=\vec{EF},\vec w=\vec{EH}，这里只作计算记号，不宣称三者为基底。由于 HB⃗=D′F⃗=v⃗−u⃗\vec{HB}=\vec{D'F}=\vec v-\vec u，BC⃗=2u⃗\vec{BC}=2\vec u，且

AA′⃗=AH⃗+HE⃗+EA′⃗=(v⃗−u⃗)−w⃗−u⃗,\vec{AA'}=\vec{AH}+\vec{HE}+\vec{EA'} =(\vec v-\vec u)-\vec w-\vec u,

可得

HG⃗=HB⃗+BC⃗+CG⃗=(v⃗−u⃗)+2u⃗+12(v⃗−2u⃗−w⃗)=32v⃗−12w⃗.\begin{aligned} \vec{HG}&=\vec{HB}+\vec{BC}+\vec{CG}\\ &=(\vec v-\vec u)+2\vec u+\tfrac12(\vec v-2\vec u-\vec w)\\ &=\tfrac32\vec v-\tfrac12\vec w. \end{aligned}

这时还不能只停在自由向量共面；接回共同起点，EG⃗=EH⃗+HG⃗=32EF⃗+12EH⃗\vec{EG}=\vec{EH}+\vec{HG}=\frac32\vec{EF}+\frac12\vec{EH}，才得到上述位置结论。

面内两个位移组合的系数 3/2,1/23/2,1/2 无需和为 11；若写共同基点 OO 下三顶点的位置向量，则 OG⃗=−OE⃗+32OF⃗+12OH⃗\vec{OG}=-\vec{OE}+\frac32\vec{OF}+\frac12\vec{OH}，三个位置权重之和才为 11。

三、坑点 辨析与纠错

1. 共面方向不能替代原直线的位置

向量允许平移，原线段的位置却是题目的几何信息。证明向量共面之后必须补共同起点与点的连接，不能把所有不相连端点直接称共面。

2. 两种系数条件不要混用

EG⃗=xEF⃗+yEH⃗\vec{EG}=x\vec{EF}+y\vec{EH} 的 x,yx,y 不要求和为 11；将 GG 写成同一基点下 E,F,HE,F,H 的三个位置向量时，权重为 1−x−y,x,y1-x-y,x,y，才自动和为 11。子段比换整段份额要用各部分之和作分母，不直接拿右边子段倍数作分母。