柱锥台与旋转体的结构

约 2772 字大约 9 分钟

先按完整定义分清几何体，再判断它能怎样生成、截切或组合。名称中的“直”“正”和“平行截得”都是条件。

一、知识点理解概念

多面体由平面多边形围成，公共边为棱，棱的公共端点为顶点。底面至少三条边且有面积，不能是弧边图形或退化线段。几棱柱、几棱锥、几棱台按底面边数命名，不按总面数。

几何体	定义与结构	不能省略的条件
棱柱	两底面平行，侧面为四边形，相邻侧面公共边互相平行	不仅仅是有两个平行面
棱锥	一个多边形底面，其余面为三角形，且共有底面外一点	各侧面共同一个顶点
棱台	用平行底面的平面，在棱锥顶点与底面之间截得的两底间部分	能还原同一个锥顶，截面平行底面

棱柱可看作将底面沿同一向量平移形成：两底全等，对应底边平行相等，侧棱平行等长，侧面是平行四边形。棱台各侧面内的平行截线产生相似三角形，所以所有侧棱按相同比例截取，两底相似，侧面为梯形。只看上、下底相似或侧面像梯形，并不足以断言是棱台。

高是顶点到锥底面，或柱、台两平行底面间的垂直距离；侧棱是连接顶点的边。正棱锥的侧面等腰三角形还有自己的高，称斜高，它不同于体高。

所有非退化体都要求底面有面积、高大于 $0$ 。锥顶在底面内、截面过锥顶或与底面重合，都不产生正常台体。上底退为点或两底等大，可分别用于公式的锥、柱边界检验，但不是由有限锥顶截得的非退化棱台。

旋转体由平面图形绕其所在平面内固定直线旋转而成，该直线为轴。本章的圆柱、圆锥、圆台均为轴垂直底面的模型。

圆台勾股式中的水平差是两底半径差；轴截面的整条底边却是直径，不要混同。圆柱平行底面的截面半径不变；圆锥按距顶点的比例变化；圆台半径在两底半径之间。

旋转时要转动整个平面区域，而不仅是边界。一般三角形绕某直线可能形成组合体或挖空体，未必是单独一个圆锥。母线也不是任取上、下圆周两点的连线，而有对应轴向条件。

半圆弧绕直径旋转生成球面，半圆面旋转生成球体。半径 $R>0$ 时，球面是到球心距离等于 $R$ 的点集；球体是距离不大于 $R$ 的点集。过球心的两球面点连线段为直径，长 $2R$ 。

平面穿过球体内部才截得圆面；过球心的是大圆面，其他是小圆面。相切只得一点，不相交则无截面，不能无条件说“球的截面都是圆面”。详见球的截面。

先找底面、侧面和对应棱，再逐项核查“直”“正”“平行截得”等限定。否定“必然”只需一个合法反例；确认“必然”要从完整条件推出。别把“可能有一个矩形侧面”读成“所有侧面均为矩形”。

下列命题错误的是（）

A．侧棱垂直于底面的棱柱一定是直棱柱

B．底面是正多边形的棱柱一定是正棱柱

C．棱柱的侧面都是平行四边形

D．斜棱柱的侧面有可能是矩形

答案与解析

本题选错误命题。

A 正确，这是直棱柱定义。
B 错误：正多边形底面可以平移成斜棱柱，尚缺侧棱垂直底面。
C 正确：两对应底边平行相等、两侧棱平行相等，围成平行四边形。
D 正确：侧棱不垂直整个底面，仍可能垂直底面内某一条边，使对应侧面为矩形。例如以 $xy$ 平面内的正方形为底，沿 $(0,1,1)$ 平移，沿 $x$ 方向的底边与侧棱垂直，但侧棱并不垂直底面。