按定义比较输出：非减夹值与中点不等式

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定义中的严格号、量词和比较对象决定能推出什么。非减允许同值平台，中点性质则要求对所有不同输入证明固定差号；两类证明都不能用图形印象或少数样点替代。

一、知识点概念与依据

1. 非减允许相等，严格递增不允许

在题设范围内，非减指任意 $u<v$ 都有 $f(u)\le f(v)$ 。严格递增则要求 $f(u)<f(v)$ 。严格增一定非减；反过来不成立，因为非减允许不同输入输出相等的平台。非减仍禁止输入增大而输出变小，与输出关系为 $\ge$ 的非增不同。

题目对术语另有定义时，先按题内定义读。只有一个输入的集合没有不同输入可比较，不能用这种退化情形冒充题目要求的非退化区间性质。图看似向上也不足以判断严格性，要核所有输入对，或找到一对等值输入反驳严格增。

2. 两端同值，非减就把中间输出锁定

若 $f$ 非减，合法 $u\le x\le v$ 同属保证非减的范围，则

f(u)\le f(x)\le f(v).

当输入等于端点时相应关系是等号，内部时由定义得到。若 $f(u)=f(v)=k$ ，上下界同为 $k$ ，只可能 $f(x)=k$ ，于是整个 $[u,v]\cap D$ 都同值。

这只靠顺序，不需连续性、可微性或线性插值。若两端输出不同，只能得到界，不能给中间值取平均，也不能保证两界间所有输出可达；非减与最值是否取得仍是不同问题。

3. 递推造已知值，夹值负责最后一步

关系 $f(x/3)=f(x)/2$ 中，输入每次除3，输出每次除2，倍率不同。若每次调用都在原域，从已知输入 $r$ 可逐次得到

f(r/3^n)=f(r)/2^n\qquad(n=0,1,2,\ldots).

第0步是初值；第 $n$ 步成立后，把合法 $r/3^n$ 代入原关系，得到第 $n+1$ 步。不能将2024强行看成3的幂。

若直接链够不到目标，可以从两个初值走不同步数，让两条链生成相同输出且输入落在目标两侧。精确比较正分母时取倒数会反向；须核三个输入都合法、两端确实一左一右，再用非减夹定。

4. 中点输入与平均输出不是同一个对象

中点函数值是先平均输入再调用： $f((u+v)/2)$ ；平均输出是先分别调用再平均： $[f(u)+f(v)]/2$ 。一般并不相等。区间包含两点间中点，任意离散域却不一定，须先核三次调用都合法。

下面原题将中点输出严格小于平均输出称作“凹函数”，严格大于称作“凸函数”。这是该题专用约定，始终以它写出的不等式为准，不靠名称记忆或曲线弯曲印象判断。需要证明的是任意不同合法 $u,v$ 都符合比较；一个数值例不能证明全称性质。

5. 固定差的方向，分子与分母分别核号

记

\Delta(u,v)=\frac{f(u)+f(v)}2-f\left(\frac{u+v}2\right).

$\Delta>0$ 对应中点输出较小， $\Delta<0$ 对应中点较大， $\Delta=0$ 不满足原题任一严格方向。一次式 $kx+b$ （包括常值）两种平均恰相等，所以相同的线性项在差中抵消。

对正域上的 $f(x)=x+4/x$ ，任取 $u,v>0$ 、 $u\ne v$ ，逐项代入得

\begin{aligned} \Delta&=\frac{u+4/u+v+4/v}{2}-\left(\frac{u+v}{2}+\frac8{u+v}\right)\\ &=2\left(\frac1u+\frac1v\right)-\frac8{u+v}\\ &=\frac{2(u+v)^2-8uv}{uv(u+v)}\\ &=\frac{2u^2-4uv+2v^2}{uv(u+v)} =\frac{2(u-v)^2}{uv(u+v)}>0. \end{aligned}

分子严格正来自 $u\ne v$ ，分母正来自 $u,v>0$ ，两个理由都必须有。 $u=v$ 时只得0；若移到负域或跨零范围，分母符号和中点合法性都须重核。改变严格号也要重新处理等号情形。

这只证明题设的中点比较，不自动推出任意权重的平均不等式、连续性或导数性质，不能扩大结论范围。

6. 每个输出都能匹配，等价于值域包含

“对任意 $x_1\in A$ ，存在 $x_2\in B$ ，使 $g(x_1)=h(x_2)$ ”，等价于 $g(A)\subseteq h(B)$ 。对应的 $x_2$ 可随 $x_1$ 改变，不要求一个固定输入服务所有输出；只要求两个值域有交集又太弱。

先证明两个完整值域，再按低端不高于、高端不低于的方向列包含条件。求出参数后，可明确给 $x_2$ 的恢复式，以证明每个目标输出确有合法对应输入。

二、考点方法与例题

方法一：合法初值、两条递推、等高夹定

从关系选合法输入求初值，明确使用的是哪条关系；记录输入与输出不同的缩放倍率，生成目标两侧同值输入，证明位置顺序，再由非减夹值。无需猜全域解析式。

方法二：任意两点固定作差，再按原定义命名

先核输入不同及中点合法，固定“平均输出减中点输出”，逐项代入、消去相同线性部分、通分因式分解，分别解释严格平方与分母的符号。最后把差号还原为题设不等式，命名不能反写。

$f\left( x\right)$ 的定义域为 $D$ ，若对于任意的 ${x}_{1}$ ， ${x}_{2}\in D$ ，当 ${x}_{1}<{x}_{2}$ 时，都有 $f\left( {x}_{1}\right)\le f\left( {x}_{2}\right)$ ，则称 $f\left( x\right)$ 在 $D$ 上为非减函数.设函数 $f\left( x\right)$ 在 $\left[ 0,1\right]$ 上为非减函数，且满足以下三个条件：① $f\left( 0\right)=0$ ；② $f\left( 1-x\right)=1-f\left( x\right)$ ；③ $f\left( \frac{x}{3}\right)=\frac{1}{2}\cdot f\left( x\right)$ ，则 $f\left( \frac{1}{2024}\right)$ 等于（）

A． $\frac{1}{32}$ B． $\frac{1}{64}$ C． $\frac{1}{128}$ D． $\frac{1}{256}$

答案与解析

解析

先用① $f(0)=0$ 与②的反射关系。②中取 $x=0$ ，得 $f(1)=1$ ；取 $x=1/2$ ，得 $f(1/2)=1-f(1/2)$ ，所以 $f(1/2)=1/2$ 。原解析将这里的依据写为③，实际用的是②；本轮依据所给正文校正，不声称重新核过原扫描。

再按③迭代。从输入1开始，每次除3，输出除2：

次数 $n$	输入 $1/3^n$	输出
0	$1$	$1$
1	$1/3$	$1/2$
2	$1/9$	$1/4$
3	$1/27$	$1/8$
4	$1/81$	$1/16$
5	$1/243$	$1/32$
6	$1/729$	$1/64$
7	$1/2187$	$1/128$

从输入 $1/2$ 开始，合法输入依次为 $1/2,1/6,1/18,1/54,1/162,1/486,1/1458$ ，对应输出依次为 $1/2,1/4,1/8,1/16,1/32,1/64,1/128$ 。每一步调用前后的输入都在 $[0,1]$ 。

因为 $2187>2024>1458>0$ ，所以 $1/2187<1/2024<1/1458$ 。三输入均在同一非减范围，故

\frac1{128}=f(1/2187)\le f(1/2024)\le f(1/1458)=\frac1{128}.

于是目标等于 $1/128$ ，选 C。A、B 分别更大，D 更小，都违反两侧界。两个不同输入同值正说明这里不能把非减替换成严格增，不是题设矛盾；推导没有使用连续性或线性插值，也没有虚构到 $1/2024$ 的直接递推。

本题结论

C， $1/128$ 。

例题 02 限定值域、中点性质与输出对应

题目

设函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $I$ ，一般地，对于 $\forall {x}_{1}$ ， ${x}_{2}\in I\left( {x}_{1}\ne {x}_{2}\right)$ ，若 $f\left( \frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}\right)<\frac{f\left( {x}_{1}\right)+f\left( {x}_{2}\right)}{2}$ ，则称 $y=f(x)$ 为“凹函数”；若 $f\left( \frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}\right)>\frac{f\left( {x}_{1}\right)+f\left( {x}_{2}\right)}{2}$ ，则称 $y=f(x)$ 为“凸函数”.对于函数 $y=x+\frac{t}{x}$ 有如下性质：如果常数 $t>0$ ，那么该函数在 $(0,\sqrt{t}]$ 上是减函数，在 $[\sqrt{t},+\infty )$ 上是增函数.

(1)已知函数 $f(x)=x+\frac{4}{x}$ ， $x\in \left[ 1,3\right]$ ，利用上述性质，求函数 $f(x)$ 的单调区间和值域；

(2)证明： $f(x)=x+\frac{4}{x}$ 在 $(0,+\infty )$ 上是凹函数；

(3)已知函数 $g(x)=\frac{4{x}^{2}-12x-3}{2x+1}$ 和函数 $ℎ(x)=-x-2a$ ，若对任意 ${x}_{1}\in [0,1]$ ，总存在 ${x}_{2}\in [0,1]$ ，使得 $ℎ\left( {x}_{2}\right)=g\left( {x}_{1}\right)$ 成立，求实数 $a$ 的值.

答案与解析

解析

（1）转向点 $\sqrt4=2$ 在 $[1,3]$ 内，故减段 $[1,2]$ 、增段 $[2,3]$ 。 $f(1)=5,f(2)=4,f(3)=13/3$ ，两外端比较给最大5，最小4在2。

完整值域不能只由三个样点断定。任意 $z\in[4,5]$ ，取较小根 $r=(z-\sqrt{z^2-16})/2$ 。 $r\ge1$ 等价于 $\sqrt{z^2-16}\le z-2$ ，平方后正是 $z\le5$ ； $r\le2$ 等价于 $z-4\le\sqrt{z^2-16}$ ，平方后正是 $z\ge4$ 。各次平方两侧都非负，因此 $r\in[1,2]$ 合法，且 $r+4/r=z$ ，证明完整值域 $[4,5]$ 。

（2）任取不同正输入 $u,v$ ，中点也正。按知识部分完整作差，线性项抵消后通分，得到

\frac{f(u)+f(v)}2-f\left(\frac{u+v}2\right)=\frac{2(u-v)^2}{uv(u+v)}>0.

因分子严格正、分母正，中点输出严格小于平均输出，故符合本题的“凹函数”定义。不是拿一个输入对或图形形状证明所有输入，也不由名称推出额外性质。

（3）在 $x\in[0,1]$ ，分母 $2x+1\in[1,3]$ 恒正。核展开

(2x+1)^2-8(2x+1)+4=4x^2-12x-3,

所以 $g(x)=(2x+1)+4/(2x+1)-8$ 。令 $r=2x+1$ ，它将 $[0,1]$ 一一对应到 $[1,3]$ ，第一问已证明完整输出 $[4,5]$ ，下移8得 $g([0,1])=[-4,-3]$ 。转向输入为 $x=1/2$ ，完整减段 $[0,1/2]$ 、增段 $[1/2,1]$ ；原解只写 $(1/2,1]$ 是正确子段，不必把转向点删去。输出核验为 $g(0)=-3,g(1/2)=-4,g(1)=-11/3$ 。

$h(x_2)=-x_2-2a$ 在 $[0,1]$ 严格减，完整值域 $[-1-2a,-2a]$ ；每个区间内输出 $w$ 都可用 $x_2=-w-2a\in[0,1]$ 恢复。

原量词等价于

[-4,-3]\subseteq[-1-2a,-2a].

左端要求 $-1-2a\le-4$ ，除负数反向得到 $a\ge3/2$ ；右端要求 $-2a\ge-3$ ，得到 $a\le3/2$ ，合为 $a=3/2$ 。回代两个完整值域同为 $[-4,-3]$ ，每个 $g$ 输出 $w$ 可取 $x_2=-3-w\in[0,1]$ ，所以必要与充分都成立。

本题结论

（1）减 $[1,2]$ 、增 $[2,3]$ ，值域 $[4,5]$ ；（2）按题设定义成立；（3） $a=3/2$ 。