先把“更好”改写成可计算的目标。平均表现、波动大小和某个阈值的成功率，是三个不同问题。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

指标要回答题目真正的问题

题目目标	应比较的量	不能替代它的量
平均收益最大、平均成本最小	相应期望	单次最可能结果
同均值下表现更稳定	方差或标准差	只看均值
达标或晋级概率最大	达标事件的概率	仅凭均值、方差排序

$E(X)=\sum x_ip_i$ 聚合有方向的数值贡献，$D(X)=\sum(x_i-E(X))^2p_i$ 聚合双侧平方距离；若达标要求 $X\ge r$，则加总所有 $x_i\ge r$ 对应概率。三种加权规则不同，因此“同均值且小方差”不自动等于“达标概率大”。比较前要统一变量意义、单位和可行范围。

参数无界与一次试验有限不矛盾

每个固定正整数 $n$ 都有限，并不意味着所有允许的 $n$ 共享一个上界。均值随 $n$ 增大，要讨论最大值，还须检查题给范围与边界能否达到；不能凭现实生产有上限就替题目编一个上限。若另给 $n\le n_0$，才在该明确条件下求最大。

考点

先建分布，再按目标作决定

1. 写随机变量、单位、阈值和可行参数范围。
2. 识别两点分布，并区分均匀不放回、固定次数同概率独立等机制。缺少独立同概率条件时，在解析中明确所用模型，不改写题干。
3. 求均值、方差用于概览；若指定晋级，另算晋级事件。
4. 不同指标若结论冲突，分别写明准则，不以“实力相当”代替所有比较。
5. 带参数的最大值另核范围与可达到性。

例题 01 知识竞赛的人选

题目

为更好利用“学习强国”平台开展学习，推动学习型单位建设，某单位组织开展“学习强国”知识竞赛．竞赛设置6个不同的题目，参赛人员从中随机抽取3个题目进行作答，若所抽取的3个题目全部作答正确，则进入下一轮比赛，否则退出比赛．对这6个题目，某科室的甲能正确作答其中的4个题目，乙能正确作答每个题目的概率均为$\frac{2}{3}$，且甲乙对每个题目的作答都是相互独立的．

(1)已知甲乙两人总共正确作答3个题目，求甲答对1道乙答对2道的概率；

(2)如果该科室要在甲乙两人中选择一人去参加竞赛，你认为派谁去较为合适？说明理由．

答案与解析

解析

记甲、乙答对题数为 $A,B$。甲从6题均匀抽3题，固定会4题，因此至少答对1题。乙按题给各次独立作答模型，每题成功率 $2/3$。

答对数	0	1	2	3
甲概率	0	$1/5$	$3/5$	$1/5$
乙概率	$1/27$	$2/9$	$4/9$	$8/27$

甲各项来自 $\binom4k\binom2{3-k}/\binom63$；乙各项来自 $\binom3k(2/3)^k(1/3)^{3-k}$，两行均归一。

（1）两人独立，$A+B=3$ 的完整组合为 $(1,2),(2,1),(3,0)$，不含不可能的 $(0,3)$。相应联合概率为 $4/45,2/15,1/135$，总和 $31/135$，故

$$P(A=1,B=2\mid A+B=3)=\frac{4/45}{31/135}=\frac{12}{31}.$$

（2）由表，$E(A)=E(B)=2$，$D(A)=2/5$，$D(B)=2/3$。若以同平均答对数下更稳定为准则，甲更合适。

但题设晋级要求三题全对：$P(A=3)=1/5$、$P(B=3)=8/27$，后者比前者大 $13/135$。因此以晋级概率更高为目标，应选乙。推荐甲只对应稳定性目标，不能作为晋级概率最优的结论。

本题结论

（1）12/31；（2）按晋级概率选乙，按答对数稳定性选甲。

混合类别计数与参数边界

同一件属于互斥类别，合并类别的概率相加，但两个类别的计数不能因此说成独立。解概率方程时先分端点，除幂因子只允许在内点；若各小问另设样本量，须说明是否沿用上一问参数。

例题 02 产品等级的三个问题

题目

某工厂生产的产品分为一等品、二等品和三等品.已知生产一件产品为一等品、二等品、三等品的概率分别为${P}_{1},{P}_{2},{P}_{3}$，且${P}_{1}+{P}_{2}+{P}_{3}=1$.从该工厂生产的产品中随机抽取n件，设其中一等品的数量为X，二等品的数量为Y.

(1)已知X的数学期望$E\left( X\right)=4$，X的方差$D\left( X\right)=2.4$，求${P}_{1}$的值.

(2)若$n=20$，且$P\left( Y=6\right)=P\left( Y=8\right)$，求${P}_{2}$的值.

(3)已知${P}_{1}=0.4$，${P}_{2}=0.3$，在抽取的n件商品中，一等品和二等品的数量之和为M. M的数学期望是否有最大值，若有，求出最大值；若没有，说明理由.

答案与解析

解析

题干只说随机抽取，没有明确各件独立且等级概率固定。以下采用“各件等级相互独立、同一组 $P_1,P_2,P_3$”模型；若从固定等级数量的有限总体不放回抽样，须换模型。

（1）在此模型下 $X\sim B(n,P_1)$，所以 $nP_1=4$、$nP_1(1-P_1)=2.4$。除以4得 $1-P_1=0.6$，故 $P_1=0.4,n=10$。

（2）此问另给 $n=20$，不能同时要求前问的 $n=10$。先检查 $P_2=0,1$：$Y$ 分别恒为0、20，等式两边均0，两端都满足本问局部等式。内点 $0<P_2<1$ 时，

$$\binom{20}6P_2^6(1-P_2)^{14}=\binom{20}8P_2^8(1-P_2)^{12}$$

可约去正因子，得 $4(1-P_2)^2=13P_2^2$。两边正根给 $2(1-P_2)=\sqrt{13}P_2$，所以

$$P_2=\frac2{2+\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}-4}{9}.$$

另一代数根为负，舍去。若仅用本问局部条件，完整解是0、1及上述内点值；“三类概率和1”不保证每类严格正。若明确沿用 $P_1=0.4$，还需 $P_2\le0.6$，此时排除1但仍保留0及内点值。只有再要求三类均正，才只留内点解。

（3）一级或二级概率 $0.4+0.3=0.7$，$M=X+Y$，所以 $E(M)=0.7n$。允许的正整数 $n$ 未给共同上界，均值无最大值；每次取样有限并不改变这个判断。

这是拓展，考试可用：同件的一级、二级指示 $U_i,V_i$ 乘积恒0，故协方差为 $0-0.4\times0.3=-0.12$。不同件独立使跨件协方差0，因而 $\operatorname{Cov}(X,Y)=-0.12n$。单类方差分别为 $0.24n,0.21n$，相加是 $0.45n$，但

$$D(M)=0.45n+2(-0.12n)=0.21n=0.7(1-0.7)n.$$

负相关不妨碍期望直接相加，却改变方差求和。

本题结论

（1）P₁=0.4；（2）局部条件下有0、1及2/(2+√13)，沿用前问参数时排除1；（3）无最大值。

坑点

稳定不保证任何一侧目标更优

方差衡量均值两侧总波动，不单独记录上尾或下尾概率；均值相同也不保证各种目标事件的概率相同。请在竞赛完整题中分别按题定指标比较。目标未明确时应分别报告不同准则的结论，而不是无条件推荐一个方案。

不擅补概率边界与现实上限

请在产品完整题中分别检查概率端点与样本量范围。约分前要核零因子情形，最优化前要写清题设可行域；类别名称和现实生产背景不能代替题面给定的概率范围与样本量约束。

可在放回与不放回抽题的完整比较中练习按抽样机制比较数字特征。

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