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外观

响应取对数：回代曲线与平均的区别

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观测、拟合值、反变换值分开记；指数回代恢复的是模型曲线，不是每个真实响应。

知识点

变换哪一列，决定在哪个尺度拟合

所有取自然对数的量必须正；0或负数不能直接代入。无说明加常数再取对数，会变成另一个模型，不能作为自动修补。

情形新坐标线性拟合回到原变量
响应呈指数型、yi>0y_i>0zi=ln⁡yiz_i=\ln y_i，拟合 z^=a^+b^x\hat z=\hat a+\hat bxy^=ea^+b^x=ea^(eb^)x\hat y=e^{\hat a+\hat bx}=e^{\hat a}(e^{\hat b})^x
幂模型 Y=AxBY=A x^B，x,y,A>0x,y,A>0u=ln⁡x,z=ln⁡yu=\ln x,z=\ln y，拟合 z^=c^+B^u\hat z=\hat c+\hat Buy^=ec^xB^\hat y=e^{\hat c}x^{\hat B}，A^=ec^\hat A=e^{\hat c}
仅解释变量取对数u=ln⁡xu=\ln x，响应仍为 yyy^=a^+b^u\hat y=\hat a+\hat bu 只恢复 u=ln⁡xu=\ln x，不对响应取指数

指数幅度是截距的指数 ea^e^{\hat a}，指数率是 b^\hat b，不是把截距本身当幅度。真实 zi=ln⁡yiz_i=\ln y_i 与拟合 z^i\hat z_i 是不同量；指数、对数互逆，只说明可把拟合值回代成正的预测，不证明它恰为观测或算术均值。

对数中心对应几何平均

含截距OLS在 (x,z)(x,z) 中经过 (xˉ,zˉ)(\bar x,\bar z)。回代得到

y^(xˉ)=ezˉ=exp⁡(1n∑ln⁡yi)=(∏yi)1/n,\hat y(\bar x)=e^{\bar z}=\exp\left(\frac1n\sum\ln y_i\right)=\left(\prod y_i\right)^{1/n},

这是正响应的几何平均，不自动等于原响应算术平均 yˉ\bar y。若同时对解释变量取对数，则原输入也要恢复为 euˉe^{\bar u}。

若只是 u=axu=a^x 而响应未变，中心在 (u,y)(u,y)，须解 ax∗=uˉa^{x_*}=\bar u 找原输入，不能把 uˉ\bar u 直接当 xx；未知 aa 仍须另估，而非一次按固定新列求全部参数。

为什么反变换不自动是条件均值

拓展：给定同一 xx 时，若 ln⁡Y=μ(x)+ε\ln Y=\mu(x)+\varepsilon，则 Y=eμ(x)eεY=e^{\mu(x)}e^\varepsilon。相应期望存在时，提出给定 xx 下的常量，得

E(Y∣x)=eμ(x)E(eε∣x).E(Y\mid x)=e^{\mu(x)}E(e^\varepsilon\mid x).

仅有 E(ε∣x)=0E(\varepsilon\mid x)=0，不能将 E(eε∣x)E(e^\varepsilon\mid x) 换成 e0=1e^0=1。例如误差 −1,1-1,1 各占一半，均值0，但指数平均为 (e−1+e)/2>1(e^{-1}+e)/2>1。因此直接 eμ(x)e^{\mu(x)} 不是普遍的原响应算术条件均值，样本估计 ez^e^{\hat z} 更不能升级为已知真实均值。

若另有给定 xx 的误差中位数为0等条件，因指数严格递增，eμ(x)e^{\mu(x)} 可解释为相应条件中位数；这个条件不能默认，且样本拟合值仍有估计误差。

损失尺度已经改变

对数拟合最小化的是 ∑[ln⁡yi−z^i]2\sum[\ln y_i-\hat z_i]^2，不是 ∑[yi−ez^i]2\sum[y_i-e^{\hat z_i}]^2。前者的残差与后者原响应残差不同，不能把两个原始平方和数字直接比较优劣。若要评价原响应误差，须逐点回代再另算 yi−ez^iy_i-e^{\hat z_i}；预测还要核输入范围、单位、样本背景及外推条件。

考点

对数拟合的回代步骤

  1. 确认每个被取对数的观测正，区分原观测和拟合值记号。
  2. 在对应新坐标使用题给线或求系数；不混用原平均与变换平均。
  3. 对响应拟合值施指数，恢复幅度；若解释变量也变换，再恢复原输入。
  4. 只称模型预测或反变换值，别无条件称真实响应或原尺度条件均值。
  5. 比较效果时使用相同响应尺度；现实解释仍核定义域、范围与单位。

例题 01 指数曲线的回代

题目

在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线y=ebx+ay={e}^{bx+a}的周围．令z^=ln⁡y\hat{z}=\ln y，求得线性回归方程为z∧=0.25x−2.58{z}^{\land }=0.25x-2.58，则该模型的非线性回归方程为________．

答案与解析

解析

规范地记逐点变换 zi=ln⁡yiz_i=\ln y_i，需 yi>0y_i>0；z^=0.25x−2.58\hat z=0.25x-2.58 是拟合值，不应把每个实际 ln⁡yi\ln y_i 都直接等同于拟合值。原题将变换和拟合符号混写，但其回代意图明确。

对拟合值取指数，得到 y^=ez^=e0.25x−2.58>0\hat y=e^{\hat z}=e^{0.25x-2.58}>0。这与原填空的曲线表达一致，但用帽号明确它是模型预测。

对数尺度残差为 ln⁡yi−z^i\ln y_i-\hat z_i，原尺度残差为 yi−ez^iy_i-e^{\hat z_i}；不能比较两种SSE的原数字宣称更好。

拓展：若 ln⁡Y=μ(x)+ε\ln Y=\mu(x)+\varepsilon，且相应期望存在，则

E(Y∣x)=eμ(x)E(eε∣x).E(Y\mid x)=e^{\mu(x)}E(e^\varepsilon\mid x).

即使 E(ε∣x)=0E(\varepsilon\mid x)=0，后一因子也不必为1。例如误差在 −1,1-1,1 各占一半，平均0，但 E(eε)=(e−1+e)/2>1E(e^\varepsilon)=(e^{-1}+e)/2>1。所以指数回代的趋势值不自动等于原响应条件算术均值；不额外假定误差分布便作此承诺。

本题结论

y^=e0.25x−2.58\hat y=e^{0.25x-2.58}

区分仅变输入与变换响应

冷却模型四选项完整辨析 u=axu=a^x 的新中心；农产品销量两问只对观看人次取对数，响应一直是千件。二者都不能误当“响应取对数后再指数回代”。

坑点

估计与真实平均是两道不同的问题

非线性指数不与平均任意交换；零对数误差均值不意味着指数误差均值1。缺少条件时，回代值不是已知真实算术条件均值，也不是每个未来观测。

不靠加常数或改符号隐瞒定义域

非正响应不适用原ln变换；加常数意味着另建模型，必须说明。已知回归线可按题设回代，但正预测并不自动保证现实有效，原尺度残差需重新计算。