圆上点的最值与范围

约 1839 字大约 6 分钟

同一个圆，距离、线性式与斜率商要采用不同模型，并把每个端点能否达到说清楚。

一、知识点理解概念

1. 先认清目标，再谈最值

设动点 $P(x,y)$ 在真圆 $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ 上， $r>0$ 。到定点的距离、到直线的距离、带符号的线性式、斜率商是四种不同目标，不能因为都含 $x,y$ 就共用一个“距离最值”公式。以下结论针对整个圆周，不是圆盘，也不是任意部分弧。

2. 圆周到定点：两条三角不等式

记圆心 $O(a,b)$ ，定点 $Q$ ， $s=OQ$ 。三角不等式与反向三角不等式给出

|s-r|\le PQ\le s+r.

若 $s>0$ ，直线 $OQ$ 与圆的两个交点达到端点；沿圆周连续移动可取满中间值。若 $s=0$ ，距离恒为 $r$ 。特别地， $Q$ 在圆内时最小距离为 $r-s$ ，不是 $0$ ；只有 $Q$ 在圆周上才有最小值 $0$ 。圆盘内允许取 $P=Q$ ，这是另一个问题。

3. 圆周到直线：先投影，后取绝对值

对直线 $Ax+By+C=0$ ，要求 $h=\sqrt{A^2+B^2}>0$ 。写 $P=O+\boldsymbol w$ ， $|\boldsymbol w|=r$ ，有向距离为

\frac{Aa+Bb+C+(A,B)\cdot\boldsymbol w}{h}.

数量积项在 $[-rh,rh]$ 内，沿正、负法向的半径达到两端，沿圆周连续移动取得全部中间值。记圆心到直线距离 $d=|Aa+Bb+C|/h$ ，再对有向距离取绝对值，便得

\min d(P,l)=\max(0,d-r),\qquad \max d(P,l)=d+r.

若直线与圆相交，有向区间包含 $0$ ，最小距离就是 $0$ ，不能误写成 $|d-r|$ 。

4. 线性量保留正负号

令 $U=x-a,V=y-b$ ，则 $U^2+V^2=r^2$ 。对 $F=px+qy+c$ ，恒等式

(p^2+q^2)(U^2+V^2)-(pU+qV)^2=(pV-qU)^2\ge0

给出完整范围

pa+qb+c-r\sqrt{p^2+q^2}\le F\le pa+qb+c+r\sqrt{p^2+q^2}.

当 $(p,q)\ne(0,0)$ 时， $(U,V)=\pm r(p,q)/\sqrt{p^2+q^2}$ 达到两端，连续性补足中间值；当 $p=q=0$ 时 $F\equiv c$ ，不必除以零。负端可以是真实最小值，不要提前把 $F$ 改为 $|F|$ 。

5. 斜率商要排除未定义点

商 $G=(y-v)/(x-u)$ 只在 $x\ne u$ 时定义。设 $G=k$ ，转为过 $Q(u,v)$ 的非竖直直线

k(x-u)-(y-v)=0.

用直线与圆有公共点筛选 $k$ 后，还要检查公共点是否只剩被禁止的 $Q$ 、是否满足 $x\ne u$ 。若 $Q$ 在圆内，每个有限方向都与圆相交，且交点不同于 $Q$ ，故可取全部实数。若 $Q$ 在圆外且圆不碰竖直线 $x=u$ ，两个切线斜率给出可达闭端区间。若 $Q$ 恰在圆上，仅在 $Q$ 相切的方向不能当作可达商值。圆上存在 $x=u$ 时，商可能无界或分段，竖直方向不等于一个实数“无穷大”。

二、考点方法与例题

1. 一个轨迹，分别建立目标模型

先将原条件化成真圆，并反向检查圆上每一点都允许。点距用圆心距及半径；点线距用法向投影；线性量用中心值加投影幅度；商用过固定点的直线与圆有交点。最后逐个核等号点、分母与原范围。目标是距离平方时，可先求非负距离范围再平方，因为平方在非负区间单调；这不能直接推广给带符号线性量或斜率商。

2. 三种目标放在同一道题中

读清商的分母和分子，其固定点未必就是上一问的定点。

例题 01 动点与三个表达式

已知 $M\left( x,y\right)$ ， $A\left( 1,2\right)$ ， $B\left( -2,-1\right)$ ，且 $\left| MA\right|=\sqrt{2}\left| MB\right|$ ，点 $Q\left( -2,2\right)$ ．

(1)求 $\left| MQ\right|$ 的最大值和最小值；

(2)求 $\frac{y-2}{x-2}$ 的最大值和最小值；

(3)求 $y-x$ 的最大值和最小值．

答案与解析

先确定整个轨迹。原距离等式两边非负，平方是等价变形：

x^2+y^2-2x-4y+5=2x^2+2y^2+8x+4y+10,

即 $(x+5)^2+(y+4)^2=36$ 。反过来，圆上每一点满足平方后的等式，开非负平方根即回原条件，故没有遗漏点或多余点。圆心 $O(-5,-4)$ ，半径 $6$ 。

（1）点距。 $OQ=\sqrt{3^2+6^2}=3\sqrt5>6$ ，所以最小值 $3\sqrt5-6$ ，最大值 $3\sqrt5+6$ 。在

M=O\pm\frac6{\sqrt5}(1,2)

分别取得最近、最远位置，确实在原轨迹上。

（2）斜率商。圆上 $x\in[-11,1]$ ，所以 $x-2\le-1$ ，商处处有定义。此问对应固定点 $R(2,2)$ ，不是 $Q(-2,2)$ 。令商为 $k$ ，直线 $kx-y-2k+2=0$ 与圆相交或相切，当且仅当

\frac{|-7k+6|}{\sqrt{k^2+1}}\le6 \iff13k^2-84k\le0 \iff0\le k\le\frac{84}{13}.

平方时两边非负，分母恒正。对区间内每个 $k$ 都有真实交点，所有交点都满足 $x\ne2$ ；两端相切也允许。因此最小值为 $0$ ，最大值为 $84/13$ 。

（3）线性量。保留平行线法：令 $y-x=b$ ，则 $x-y+b=0$ 。圆心到该线距离不超过半径，等价于 $|b-1|/\sqrt2\le6$ ；相切时达到两端 $b=1\pm6\sqrt2$ 。

也可令 $X=x+5,Y=y+4$ ，则 $X^2+Y^2=36$ ， $y-x=1+Y-X$ 。由 $(Y-X)^2\le2(X^2+Y^2)=72$ ，且 $X=-Y=\pm3\sqrt2$ 时等号可达，最小值为 $1-6\sqrt2$ ，最大值为 $1+6\sqrt2$ 。两种方法都保留了线性量的正负号。