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外观

用焦点距离转换证明最短距离

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定义先换出可比较的折线，再证明等号点确在线段与指定支的交集中。

一、知识点 理解概念

1. 有向定义先看实际支

右支满足 PF1−PF2=2aPF_1-PF_2=2a，可将近焦半径换成远焦半径减 2a2a，或将远者换成近者加 2a2a；左支交换。根式 x=⋯x=\sqrt{\cdots} 先指定非负横坐标，平方后不能把左支收回。

目标含焦点距离与固定点距离时，选能组成同一条折线路径的换法，常数符号须由原支确定，不能为了得较小值任意挑 ±2a\pm2a。

2. 三角不等式的等号是有次序的位置

PA+PB≥ABPA+PB\ge AB 的等号是 PP 在线段 ABAB 上。若 A≠BA\ne B，∣PA−PB∣≤AB|PA-PB|\le AB 的等号在直线 ABAB 两端外侧射线，含端点；正差 PA−PB=ABPA-PB=AB 对应 BB 在线段 APAP 上，反差对应 AA 在线段 BPBP 上。

若 A=BA=B，距离差恒零、绝对差也恒零，所有允许点取等号，不能再说两不同端点给外侧方向。处理带符号差或外层绝对值时，先分清所求是哪一个表达式，不能直接搬另一种界。

二、考点 方法与例题

1. 下界与取得它的点要分别证明

先认曲线、支、焦点与 a,ca,c，再换焦半径并列全体允许点都成立的不等式。等号的线段或射线要与指定支联立：线段参数 0≤t≤10\le t\le1、射线的方向和下界都不可丢。

可用连续曲线式在参数区间两端异号，证明区间内有真交点，再由坐标符号和曲线式确认支。仅在延长线相交不足以取线段等号。最后回原目标核数值、非负性与长度单位。

例题 01 根式曲线上的两段距离

已知PP为曲线C:x=1+y22C:x=\sqrt{1+\frac{{y}^{2}}{2}}上任意一点，A(−3,0)A(-\sqrt{3},0)，B(0,22)B(0,\sqrt{22})，则∣PA∣+∣PB∣\left| PA\right|+\left| PB\right|的最小值为（    ）

A．2+152+\sqrt{15} B．55

C．434\sqrt{3} D．77

答案与解析

原式等价 x2−y2/2=1,x≥1x^2-y^2/2=1,x\ge1，为右支，a=1,c=3a=1,c=\sqrt3。AA 为左焦点，设右焦点 A′=(3,0)A'=(\sqrt3,0)，定义给 PA=PA′+2PA=PA'+2，所以

PA+PB=PA′+PB+2≥A′B+2=3+22+2=7.PA+PB=PA'+PB+2\ge A'B+2=\sqrt{3+22}+2=7.

等号须在线段 A′BA'B 且属右支。设 P(t)=(3(1−t),22t)P(t)=(\sqrt3(1-t),\sqrt{22}t)，0≤t≤10\le t\le1，代曲线式得 f(t)=2−6t−8t2f(t)=2-6t-8t^2；f(0)=2>0,f(1)=−12<0f(0)=2>0,f(1)=-12<0，中间有零点且横坐标正，于是属右支。还可精确解 t=1/4t=1/4 或 −1-1，取 1/41/4 在原线段内，实际 P=(33/4,22/4)P=(3\sqrt3/4,\sqrt{22}/4)，曲线值 27/16−11/16=127/16-11/16=1。

因此下界达到，最小值 7，选D。A/B/C 不等于该实际最短值，不能因图上看似连接便省略等号存在。

例题 02 右焦半径与到定点的距离

已知双曲线CC:x23−y2=1\frac{{x}^{2}}{3}-{y}^{2}=1的右焦点为F2{F}_{2}，点P在C的右支上，且Q(2,12)Q\left( 2,\frac{1}{2}\right)，则∣PQ∣+∣PF2∣\left| PQ\right|+\left| P{F}_{2}\right|的最小值为（    ）

A．4−234-2\sqrt{3} B．17−23\sqrt{17}-2\sqrt{3}

C．15−23\sqrt{15}-2\sqrt{3} D．652−23\frac{\sqrt{65}}{2}-2\sqrt{3}

答案与解析

a=3,b=1,c=2a=\sqrt3,b=1,c=2，左焦点 F1=(−2,0)F_1=(-2,0)、右焦点 F2=(2,0)F_2=(2,0)。右支定义给 PF2=PF1−23PF_2=PF_1-2\sqrt3，故

PQ+PF2=PQ+PF1−23≥QF1−23=652−23.PQ+PF_2=PQ+PF_1-2\sqrt3 \ge QF_1-2\sqrt3=\frac{\sqrt{65}}2-2\sqrt3.

要证明线段 F1QF_1Q 与右支真交。设 P(t)=(−2+4t,t/2)P(t)=(-2+4t,t/2)，0≤t≤10\le t\le1，曲线式为

f(t)=(−2+4t)23−t24−1=61t2−64t+412.f(t)=\frac{(-2+4t)^2}{3}-\frac{t^2}{4}-1 =\frac{61t^2-64t+4}{12}.

f(1/2)=−17/16<0f(1/2)=-17/16<0，f(1)=1/12>0f(1)=1/12>0，所以 t∈(1/2,1)t\in(1/2,1) 有零点。此时 x>0x>0，曲线又迫使 x≥3x\ge\sqrt3，确属右支且在线段内。故三角等号可取，最小值为 65/2−23\sqrt{65}/2-2\sqrt3，选D，其为正数，因为 65/4>1265/4>12。A/B/C 的根式距离均不是 QF1QF_1。

右支距离转换的原解示意图
右支距离转换的原解示意图

原解只写“共线”，这里补足线段次序与右支存在；图仅作关系示意，焦点坐标按题式计算，不能从标注位置把焦点当顶点。

三、坑点 辨析与纠错

1. 界、最值与确界要区分

不等式给界，实际允许点取等号才叫达到该界的最值。等号不达时仍须重新优化；只有能证明允许值任意逼近某界，才能称其为上、下确界，未取得的普通界不自动是确界。双曲线无界，目标还可能无最大值或无最小值，不能凭一个候选宣告都有。

2. 支与共线都不是可省条件

换焦半径错支会错 2a2a 的符号；三角等号只说共线会漏次序；只看示意图会漏是否真交。必须用实际联立、参数范围或连续变号证明存在，最后返回原距离式。