分段模型的求参与阈值范围

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数据属于哪一段，有时必须在解方程之前判断。求出各段公式后，新的输入和阈值问题仍要逐段筛选，不能把接缝或原可行域丢掉。

一、知识点概念与依据

1. 未知阈值也需要先分类

若平台段在所有 $n\ge M$ 上取同一个值，而某观测值不等于平台值，则该观测必在平台前。只有这个逻辑成立，才能把数据代入前段公式。不能先假定容易算的分支，最后恰好得到合理数就省去入口依据。

列各段范围与端点归属，再用合法数据求参数，最后把阈值回代验证原分支假设。模型没有给连续性时，不能自行让两公式接缝相等；只有图上明确连接同一点等条件才支持这样处理。

2. 全表检查包括另一分支

前三个数据可落在同一直线上，第四个却反向变化。一次拟合的两个点通过并不能证明整个表是一条直线；带绝对值的候选应检查折点位置、左右分支及全部数据。

结构	适用的观测特征	核验边界
一次式	等距输入的输出差固定	不能只看局部共线
二次式	等距输入的二次差固定	必须先核输入等距
绝对值式	分界两侧可分别为一次关系	两侧及分界都要验

不等距时不能直接比较未经换算的差值。有限数据吻合只证明在这些数据点通过，不能唯一决定任意函数，也不保证未来处处适用。应统一时点、对象和单位，独立解参后核全表；近似拟合保留残差，不改原观测。参数需要足够独立条件，含平移幂式先减平移再取比；不同对象是否共用参数也要先读清，不能暗改字母。

3. 每段内取交，不同段取并

阈值要求 $f(t)\ge c$ 或 $f(t)<c$ 时：

在每一段内解公式条件。
与该段原输入范围取交，两个条件须同时满足。
各段合法结果取并，任一段成立均可。
单独回验接缝与严格边界，再说明是时刻、时长还是整数个数。

接缝按真实所属分支计算，不因另一段公式容易算就换段。

有效区间若连成 $[a,b]$ ，持续时长是 $b-a$ ，不是终点 $b$ ，也不因两端都包含就加1。若分成几段，应区分最长连续时长与累计时长；若是整数件号或日期，才按实际项数计数。

原药物折线题的完整题干、原图与逐段证明已在分段函数例题。其图连接 $(0,0),(3,6),(12,0)$ ，两段为 $2t$ 和 $8-2t/3$ ；“不少于4”给 $[2,3]\cup(3,6]=[2,6]$ ，连续时长4小时，不能把6小时当时长。这里仅按题给曲线理解阈值，不作实际用药判断。

4. 严格阈值的下界未必能取到

若有效时间为 $(T,\infty)$ ，任一合法 $t$ 之前还有合法 $(T+t)/2$ ，因此没有最小时间， $T$ 只是下界。方程 $f(T)=c$ 的根恰在严格限制边界上，不能称为“已经符合”。

“至少经过多久”并不会自动把输出条件的严格小于改成小于等于。若只允许整数小时，应回验满足条件的最小整数及前一个整数；临界点恰为整数而又被严格排除时，须再后移一个。

二、考点方法与例题

1. 用平台值排除错误分支

先判断观测是否可能在平台段，再求前段系数与阈值；新输入重新比较阈值。序号是正整数，不随手推广成任意实数。

例题 01 装配时间模型与熟练阶段

题目

某重装企业的装配分厂举行装配工人技术比赛，根据以往技术资料统计，某工人装配第n件工件所用的时间(单位：分钟)f(n)大致服从的关系为

f\left( n\right)=\left\{ \begin{aligned}\frac{k}{\sqrt{n}},n<M\\\frac{k}{\sqrt{M}},n\ge M\end{aligned}\right.

(k，M为常数).已知该工人装配第9件工件用时20分钟，装配第M件工件用时12分钟，那么可大致推出该工人装配第4件工件所用的时间是（）

A．40分钟 B．35分钟

C．30分钟 D．25分钟

答案与解析

解析

第 $M$ 件用时12分钟，故平台段所有 $n\ge M$ 都为12。而第9件为20，不等于12，因此必有 $9<M$ ，可代入前段。

$k/\sqrt9=20$ 得 $k=60$ ； $k/\sqrt M=12$ 得 $M=25$ ，确有 $25>9$ ，验证分支假设。第4件 $4<25$ ，所以 $f(4)=60/2=30$ 分钟，选C；A、B、D均不符该分支计算。原题是逐件用时， $n$ 为正整数。

本题结论

30分钟，选C。

2. 另一分支核验后比较全部候选最值

先用收入而非单价求系数，再按全表选择销量模型。把收入写成分段式，分别求能达到的最小值，比较全部分段候选；最后确认日期为合法整数。

2022年第24届北京冬季奥林匹克运动会，于2022年2月4日星期五开幕，将于2月20日星期日闭幕．该奥运会激发了大家对冰雪运动的热情，与冰雪运动有关的商品销量持续增长．对某店铺某款冰雪运动装备在过去的一个月内（以30天计）的销售情况进行调查发现：该款冰雪运动装备的日销售单价 $P(x)$ （元/套）与时间x（被调查的一个月内的第x天）的函数关系近似满足 $P(x)=1+\frac{k}{x}$ （k为正常数）．该商品的日销售量 $Q(x)$ （个）与时间x（天）部分数据如下表所示：

$x$	10	20	25	30
$Q(x)$	110	120	125	120

已知第10天该商品的日销售收入为121元．

(1)求k的值；

(2)给出两种函数模型：① $Q(x)=ax+b$ ，② $Q(x)=a|x-25|+b$ ，请你根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述该商品的日销售量 $Q(x)$ 与时间x的关系，并求出该函数的解析式；

(3)求该商品的日销售收入 $f(x)$ （ $1\le x\le 30$ ， $x\in {N}^{*}$ ）（元）的最小值．

答案与解析

解析

（1）第10天 $(1+k/10)110=121$ ，得 $k=1$ 。

（2）由10和20两点，一次式会给 $Q=x+100$ ，虽25处也给125，却在30处给130而不是120，不能符合全表。绝对值式代10、20得 $15a+b=110,5a+b=120$ ，所以 $a=-1,b=125$ ， $Q=125-\lvert x-25\rvert$ 。回代25和30分别125、120，四点均通过。实际日期是1至30的正整数。

（3） $1\le x<25$ 时 $Q=100+x$ ，收入 $f=101+x+100/x$ ； $25\le x\le30$ 时 $Q=150-x$ ，收入 $f=149+150/x-x$ 。

前段因 $x>0$ ， $(\sqrt x-10/\sqrt x)^2\ge0$ 给 $x+100/x\ge20$ ，故 $f\ge121$ ，等号 $x=10$ 是合法整数。后段随 $x$ 增大， $150/x$ 与 $-x$ 都严格减，所以末日30给最小 $149+5-30=124$ 。比较 $121<124$ ，全局最小为第10天121元。折点25属于后段，且两段值一致；不能只找最大销量日或省去另一分支。

本题结论

（1） $k=1$ ；（2）选②；（3）第10天收入最少121元。

3. 逐段重算原答案的阈值缺口

先按原文确定严格号，再逐段解，不能由某段最大值高于阈值就推整个区间都高。若原问“最早”含糊，分别给整个解集与“高值阶段以后持续低于”的解释，不替题目偷偷补条件。

例题 03 分段变化与严格阈值

题目

以下仅作分段函数练习，阈值沿原题设定，不能据此判断当前法规或饮酒后可驾车时间。

我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等于 $20mg/100ml$ ，已知一驾驶员某次饮酒后体内每 $100ml$ 血液中的酒精含量 $y$ （单位： $mg$ ）与时间 $x$ （单位： $h$ ）的关系是：当 $0<x<\frac{11}{3}$ 时， $y=-\frac{270}{11}{x}^{2}+\frac{1080}{11}x$ ；当 $x\ge \frac{11}{3}$ 时， $y=\frac{110}{x}$ ，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过

     $h$才可驾车.

答案与解析

解析

这里只核原题数学模型，不据此建议实际驾车时间。原文字将等于20也列入不允许侧，因此要求 $y<20$ 。

第一段 $0<x<11/3$ ：

-\frac{270}{11}x^2+\frac{1080}{11}x<20\iff27x^2-108x+22>0.

两根为 $r_1=(18-\sqrt{258})/9$ 、 $r_2=(18+\sqrt{258})/9$ ，满足 $0<r_1<11/3<r_2$ 。向上二次式在两根外为正，与该段取交得 $(0,r_1)$ 。原解用最大值与右端值都大于20来断言全段大于20，是错误的；接近0的输出接近0。

第二段 $x\ge11/3>0$ ， $110/x<20$ 等价 $x>11/2$ 。临界 $11/2$ 输出恰20，必须排除。全解为

\left(0,\frac{18-\sqrt{258}}9\right)\cup(11/2,\infty).

若问经历高值阶段以后一直低于阈值，则需超过5.5小时，开区间无最小值；5.5是下界，不是已达到条件的时刻。若按全部正时间问最早，初期区间也符合，同样没有最小正时刻。原答案5.5应保留为其所算临界值，但不能当作原严格题意下已取到的最早时刻。

本题结论

原答案5.5仅是后段临界下界；严格条件完整解集如上，无所声称的最小时刻。