含参集合与分类讨论

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含参数的集合要先求实际成员，再按题设检查归属、数量或包含关系。本章把逐项匹配、条件否定、方程降次和区间退化统一起来：每个分支都说明条件从何而来，最后回代原集合，不让简化步骤丢掉边界。

一、知识点概念与依据

1. 指定成员来自哪一项，候选就从哪一支产生

$c\in\{u(a),v(a),w(a)\}$ 表示 $c=u(a)$ 、 $c=v(a)$ 、 $c=w(a)$ 至少一式成立，各支是“或”。同一个参数来自两个分支不矛盾，合并候选时记一次即可。每个候选仍须回代所有原项，检查有意义、指定成员确实存在及明确的数量要求。

集合相等比较实际成员，不按书写位置配对。两边各有两个不同成员时，才可列两种一一对应；若项可能重复，先去重分类。删除共同成员删的是那个值本身，不是随手划去一个位置。

分母非零和固定成员常可先锁定对应。例如右边含 $0$ ，左边已有非零 a 和固定 $1$ ，另有 $b/a$ ，则只能由 $b/a=0$ 提供零；先写 $a\ne0$ ，再得 $b=0$ ，不能把合法性留到最后。

2. “三个元素”与“三项写法”必须分开

$\{1,1,5\}=\{1,5\}$ 是合法集合。只有题干明确它有三个元素，才因实际仅两个而排除。部分原题未明说数量，资料答案却默认各项不同；本章把两种读取分开，不以答案倒推额外条件。

下面是同法归并后必须保留的条件对照，不作为独立原题：

$A=\{12,a^2+4a,a+10\}$ 且 $5\in A$ ，逐项候选为 $a=-5,1$ 。前者实际为 $\{12,5\}$ ，后者为 $\{12,5,11\}$ ，两者都合法；通常去重定义保留两值，附加三元素约定才只留 $1$ 。不能因 $-5$ 从两支产生就排除。
$\{-x,\lvert x\rvert\}$ 对任意实数均可定义。 $x>0$ 有两个成员； $x=0$ 或 $x<0$ 时两项相同而只剩一个。只有额外要求两元素，才有 $x>0$ 。当 $x<0$ 时 $-x>0$ ，前面的负号不代表负数。
$\{1,m+2,m^2+4\}$ 含 $5$ 的参数为 $m=3,1,-1$ ，对应实际集合 $\{1,5,13\}$ 、 $\{1,3,5\}$ 、 $\{1,5\}$ ； $m=2$ 给 $\{1,4,8\}$ 不合法。通常读取保留三个参数，附加三元素约定才排除 $m=-1$ 。

这些差别不是额外增加题型，而是同一方法的适用条件。正式例题分别保留明确数量、重复分支、所问值不唯一和参数增加但结果相同四种不同情况。

3. 不属于否定完整条件，范围也要符合提问

属于要求对象范围、表达式合法性与所有筛选条件同时成立；不属于表示至少一条失败，不是将每条都取反后同时要求成立。点集须代入整个数对，不能只核一个坐标。

只有对象已经在范围内、原式有意义且剩单个实数不等式时，才可直接用 $>0$ 的否定 $\le0$ 或 $<0$ 的否定 $\ge0$ 。代入已给对象常能避免先除以未知符号参数；确需除以参数时，先分类零与正负。

“完整参数范围”要求不多不少；“必然成立的断言”只要由题设推出即可。若合法范围为 $2<a\le4$ ， $a>2$ 与 $a\le4$ 都是真的必要结论，却各自不是充分条件。题目措辞未说清时，应说明歧义，不能把真必要条件硬判假。

4. 不同实根的数量先由实际次数决定

解集计不同根，不计重数。恰一个只接受一根；至多一个允许空集；至少一个排空集。若限定整数、正数或某区间，还要筛选所得实根，判别式不能直接给最后成员数。

对 $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$ ，先分类：

系数情况	实数解集
$\alpha=0,\ \beta\ne0$	单根 $-\gamma/\beta$
$\alpha=\beta=0,\ \gamma\ne0$	空集
$\alpha=\beta=\gamma=0$	$\mathbb R$
$\alpha\ne0$	真正二次方程，才可用判别式

在最后一支乘非零数 $4\alpha$ 后配方，等价得到

4\alpha^2x^2+4\alpha\beta x+4\alpha\gamma=0 \quad\Longleftrightarrow\quad (2\alpha x+\beta)^2=\beta^2-4\alpha\gamma=\Delta.

实数平方非负，所以负判别式无根；零判别式给一个值 $2\alpha x+\beta=0$ ；正判别式给正负两个不同值。因 $2\alpha\ne0$ ，分别对应一个、两个不同实根。系数为零不能混入这个推导。

退化值不一定是参数零。例如 $(k-1)x^2+(k+2)x+3=0$ 在 $k=1$ 时为 $3x+3=0$ ，只有根 $-1$ ；其余 k 的判别式为 $(k-4)^2$ ，只有 $k=4$ 给重根， $k=2,3$ 则各有两根。因此一个实根对应 $k=1$ 或 $k=4$ ，关键是检查最高次系数 $k-1$ ，不是机械排 $k=0$ 。

另一个同法情形 $ax^2-3x+2=0$ 至多一根： $a=0$ 得根 $2/3$ ， $a\ne0$ 须 $9-8a\le0$ ，故 $a=0$ 或 $a\ge9/8$ ；边界重根为 $4/3$ ，大于边界为空集。这与下面三问例题共用同一完整分类，不再另设数字变式卡。

5. 区间描述式先分空集、单点与正长度

$l\le x\le r$ 在 $l>r$ 时为空， $l=r$ 时为单点， $l<r$ 时才有正长度；若至少一端严格， $l=r$ 也无成员。非空不等于正长度。方程集合则按实际方程判空，不能套区间规则。

包含方向决定谁先判空：被包含方为空可自动成立，但题干明确非空就须排除；非空集合不能包含于空集。单点要实际检验归属，非空段再比较端点，所有原参数限制始终保留。

例如 $B=\{x\mid1-m\le x\le1+m\}$ 包含于 $[-1,3]$ ： $m<0$ 是空集， $m=0$ 是合法单点 $\{1\}$ ， $m>0$ 时两闭端须在外区间内，得 $m\le2$ 。合并为 $m\le2$ ； $m=2$ 两集合相等也合法，不能误删。这个中心区间与正式例题的移动区间使用同一空/单点/段分类。

线性方程也可能退化成空集：固定 $A=\{x\in\mathbb R\mid x^2-8x+15=0\}=\{3,5\}$ ， $B=\{x\in\mathbb R\mid ax+1=0\}$ 。若 $B\subseteq A$ ，则 $a=0$ 的 B 为空，可保留； $a\ne0$ 时成员 $-1/a$ 须为 $3$ 或 $5$ ，得 $a=-1/3,-1/5$ 。共有 $0,-1/3,-1/5$ 三个合法参数， $a=3$ 的根 $-1/3$ 越界。若预先除以 a，就会漏整支空集。

空集对任意集合都是子集；要求真子集时，外集合还必须非空。被包含方非空而外集合为空，则连子集关系也不成立。

6. 端点来自成员，真包含只须排除完全相等

内集合闭端本身是成员，必须被外集合接纳；内集合不取的开端可能与外边界重合。证明不包含时，开端不能当反例，须在实际越界段内取点。图面上画开的两界不能强迫参数严格不等。

对 $A=\{x\mid0<x<a\}$ 、 $B=(0,2)$ ， $a\le0$ 给空集； $0<a\le2$ 使任意内成员均在 B； $a>2$ 可取 $(a+2)/2$ 越界。因此包含完整范围是 $a\le2$ ，不是漏空集的 $0<a\le2$ ，也不能漏掉相等边界 $a=2$ 。

真包含是在包含之后，保证外集合还有一个额外成员；不是两端都必须扩展。若 $A=[1,2]$ 、 $B=[1,a]$ 且 $a\ge1$ ，则 A 真包含于 B 须 $a>2$ ；B 包含于 A 须 $1\le a\le2$ ；相等须 $a=2$ 。左端始终同为 $1$ ，不妨碍真包含， $a=1$ 的单点也需保留。

相等的两端条件可能要求不同参数，不能因为假设图画得出来就断言实际可实现。空集分支与“没有参数解”也须区分：前者是原集合无成员，后者是参数集合无成员。

二、考点方法与例题

1. 逐项匹配并回代整个集合

列全部成员来源或对应分支，先用固定值、非零分母和明确成员数排除不可能项。候选回代两个实际集合，必要时去重；数量未说明就不能额外要求互异。最后再算所问式，特别检查参数增加是否使结果改变。

例题 01 明确三个元素时的筛选

题目

已知集合 $A$ 中有三个元素： $a-3$ ， $2a-1$ ， ${a}^{2}+1$ ，集合 $B$ 中也有三个元素：0，1， $x$ ．

(1)若 $-3\in A$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)若 ${x}^{2}\in B$ ，求实数 $x$ 的值．

答案与解析

解析

（1） $-3$ 必须来自三个项之一。 $a^2+1\ge1$ ，不能等于 $-3$ ； $a-3=-3$ 给 $a=0$ ， $2a-1=-3$ 给 $a=-1$ 。分别代回得到 $\{-3,-1,1\}$ 与 $\{-4,-3,2\}$ ，都恰有三个不同成员且含 $-3$ 。

（2） $x^2\in\{0,1,x\}$ 给 $x^2=0$ 或 $x^2=1$ 或 $x^2=x$ ，三支分别产生 $0$ 、 $\pm1$ 、 $0,1$ ，合并为 $0,1,-1$ 。 $x=0$ 或 $1$ 使实际集合仅为 $\{0,1\}$ ，违背明确的三元素条件； $x=-1$ 得 $\{0,1,-1\}$ ，且 $x^2=1$ 在其中，合法。

本题结论

（1） $a=0$ 或 $-1$ ；（2） $x=-1$ 。

例题 02 共同成员之外是否还有新值

题目

已知集合 $A=\left\{ 0,4,{a}^{2}\right\}$ ， $B=\left\{ 0,4,3a-2\right\}$ ，若 $A=B$ ，则a的值是（）

A．1或2 B． $-1$ 或0 C．1 D． $-1$

答案与解析

解析

两边都有 $0,4$ 。若 $a^2\notin\{0,4\}$ ，它必须由另一边 $3a-2$ 产生，故 $(a-1)(a-2)=0$ 。此分支仅 $a=1$ 合法，给两边 $\{0,4,1\}$ ； $a=2$ 的平方为 $4$ ，应放入下一分支。

若 $a^2\in\{0,4\}$ ，候选为 $a=0,2,-2$ ；对应 $3a-2=-2,4,-8$ ，只有 $a=2$ 不向另一边加入新值。此时两集合都为 $\{0,4\}$ ，同样相等。

故按现题干去重定义，完整参数为 $1$ 或 $2$ ，选 A。资料答案 C 依赖额外三元素约定而排除 $2$ 。B、D 中的 $-1$ 给额外值 $1$ 与 $-5$ ， $0$ 给 $0$ 与 $-2$ ，均不相等。

本题结论

按现题干选 A；额外要求三元素时才选 C。

例题 03 参数不唯一会改变所问值

题目

已知集合 $A=\left\{ 1,a,b\right\}$ ， $B=\left\{ {a}^{2},a,ab\right\}$ ，若 $A=B$ ，则 ${a}^{2023}+{b}^{2022}=$ （）

A． $-1$ B．0 C．1 D．2

答案与解析

解析

先说明资料答案所依据的额外条件：若两边确有三个不同元素，则 $a\ne1$ 、 $b\ne1$ 、 $a\ne b$ 。删除共同成员 $a$ 后有 $\{1,b\}=\{a^2,ab\}$ ，两边各有两个不同成员，只可能有两种配对。

第一种： $a^2=1$ 且 $ab=b$ 。由 $a\ne1$ 得 $a=-1$ ，再由 $(a-1)b=0$ 得 $b=0$ 。

第二种： $a^2=b$ 且 $ab=1$ ，故 $a^3=1$ 。因

a^3-1=(a-1)(a^2+a+1),\qquad a^2+a+1=(a+1/2)^2+3/4>0,

实数解仅 $a=1$ ，与额外条件冲突。保留 $(-1,0)$ ，回代两集合均为 $\{-1,0,1\}$ ，所问值为 $-1$ ，对应资料答案 A。

但现题干没有明说三元素。取 $a=1$ 时，两边恒为 $\{1,b\}$ ，任意实数 $b$ 都合法，所问值显然不唯一。更直接地，四项都能实现： $(a,b)=(-1,0)$ 给 $-1$ ； $(-1,1)$ 给 $0$ ； $(1,0)$ 给 $1$ ； $(1,1)$ 给 $2$ 。逐组回代都确实相等，所以缺少数量条件时不能认定唯一选项。

本题结论

现题干不能确定唯一值；补充两集合各有三个元素后，才有资料答案 A。

例题 04 最终值相同也要核全参数

题目

已知 $a\in R$ ， $b\in R$ ，若集合 $\left\{ a,\frac{b}{a},1\right\}=\left\{ {a}^{2},a+b,0\right\}$ ，则 ${a}^{2024}+{b}^{2025}$ 的值为（）

A． $-2$ B．1 C． $-1$ D．2

答案与解析

解析

原分式要求 $a\ne0$ 。右边含 $0$ ，左边的 $a$ 与 $1$ 均非零，故只能 $b/a=0$ ，得到 $b=0$ 。

于是 $\{a,0,1\}=\{a^2,a,0\}$ 。若 $a=1$ ，两边都为 $\{0,1\}$ ，合法；若 $a\ne1$ ，右边为了含左边的 $1$ ，只能 $a^2=1$ ，配合 $a\ne0,1$ 得 $a=-1$ 。回代也相等。

按通常去重定义，参数为 $(1,0)$ 或 $(-1,0)$ ；资料依额外三元素约定只保留后者，但该排除并非现题干所要求。两组都使偶次幂 $a^{2024}=1$ 、正次幂 $b^{2025}=0$ ，因此所问值均为 $1$ 。其他三个选项不符。

本题结论

选 B，值为 $1$ ；现题干允许两组参数。

同一固定成员法还解释了明确三元素的相等条件：A 的三元素为 $1,a+b,a$ ，B 的三元素为 $0,b/a,b$ 。先 $a\ne0$ ，再由零的来源得到 $a+b=0$ ，于是 $b/a=-1$ ；这个 $-1$ 在 A 中只能由 a 提供，所以 $a=-1,b=1$ 。回代两边均为三元素集 $\{-1,0,1\}$ ，因此 $b-a=2$ 。此处数量条件明确，与例题04不能无条件排除重复的情形不同。

2. 代入属于与不属于，核完整范围和提问意图

给定对象先代入原完整条件，保留“且”“或”和原范围。求得参数后将每个端点回代所有成员条件，说明为什么取或不取；若题干只说“则”，还要区分真实必要断言和完整范围。

例题 05 不属于包含等号边界

题目

已知集合 $A=\{x\left| 2mx-3>0\right.\}$ ，若 $1\notin A$ 且 $3\in A$ ，则实数m的取值范围是（）

A． $\left\{ m\left| \frac{1}{2}<m\le \frac{3}{2}\right.\right\}$ B． $\left\{ m\left| \frac{1}{2}\le m<\frac{3}{2}\right.\right\}$ C． $\left\{ m\left| m>\frac{3}{2}\right.\right\}$ D． $\left\{ m\left| m\le \frac{1}{2}\right.\right\}$

答案与解析

解析

$1\notin A$ 表示 $2m-3>0$ 不成立，即 $2m-3\le0$ ，得 $m\le3/2$ 。 $3\in A$ 给 $6m-3>0$ ，得 $m>1/2$ 。同时满足得到 $1/2<m\le3/2$ 。

$m=1/2$ 使输入 $3$ 的结果为 $0$ ，不满足严格大于，排除； $m=3/2$ 使输入 $1$ 的结果为 $0$ ，恰好不属于，又使输入 $3$ 的结果为 $6>0$ ，所以保留。

B 的两个端点均反了；C 使 $1$ 属于，D 使 $3$ 不属于，均与题设冲突。

本题结论

选 A， $1/2<m\le3/2$ 。

例题 06 “则”与“完整范围”的措辞差别

题目

已知集合 $A=\left\{ x\left| 2x\right.-a<0\right\}\left( a\in R\right)$ ，且 $1\in A$ ， $2\notin A$ ，则（）

A． $a\le 4$ B． $a>2$

C． $2<a<4$ D． $2<a\le 4$

答案与解析

解析

由 $1\in A$ 得 $2-a<0$ ，所以 $a>2$ ；由 $2\notin A$ 得 $4-a\ge0$ ，所以 $a\le4$ 。完整范围为 $2<a\le4$ 。端点 $a=2$ 使 $1$ 不属于，排除； $a=4$ 使两次代入分别为 $-2$ 和 $0$ ，全部符合，保留。

按资料“选择完整范围”的意图，D 正确，C 漏掉 $4$ 。但原题只写“则”，A 的 $a\le4$ 与 B 的 $a>2$ 也都由题设必然推出，不能直接说它们为假。若按断言真假理解，A、B、D 均成立；单选 D 依赖完整范围这一意图。

本题结论

完整范围是 D；原题若按必然断言读取，则 A、B、D 都成立。

3. 按实际次数建立完整根数分类

先解最高次系数等于零的分支，再在非零支按判别式分类。合并允许根数，重根算一个、空集算零；把退化值与零判别式边界代回。三个数量提问应从同一个完整分类读取，不独立套三条公式。

例题 07 一个分类回答三个小问

题目

已知集合 $A=\left\{ x|a{x}^{2}+2x+1=0,a\in R\right\}$ ．

(1)若集合 $A$ 中只有一个元素，求实数 $a$ 的值；

(2)若集合 $A$ 中至多有一个元素，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)若集合 $A$ 中有两个元素，求实数 $a$ 的取值范围．

答案与解析

解析

原描述式明确 $a$ 是实数，本题沿资料语境收集实数根。先作完整分类： $a=0$ 时方程为 $2x+1=0$ ，解集 $\{-1/2\}$ ； $a\ne0$ 时 $\Delta=4-4a$ 。因此 $a<1$ 且 $a\ne0$ 有两个不同实根； $a=1$ 时 $(x+1)^2=0$ ，仅一个根 $-1$ ； $a>1$ 无实根。

（1）恰一个来自一次方程或二次重根，故 $a=0$ 或 $1$ 。（2）至多一个还允许空集，故 $a=0$ 或 $a\ge1$ 。（3）恰两个必须同时是真正二次和正判别式，故 $a<1$ 且 $a\ne0$ ，即 $(-\infty,0)\cup(0,1)$ 。

形式上 $a=0$ 使 $4-4a>0$ ，却不能据此说有两个根，因为此时已经不是二次方程。

本题结论

（1） $a\in\{0,1\}$ ；（2） $a=0$ 或 $a\ge1$ ；（3） $a<1$ 且 $a\ne0$ 。

4. 区间包含先判空，再核开闭端与严格性

先读包含方向与原参数范围，分空集、单点、有长度情形。非空时给端点条件的必要与充分理由：闭端直接用，开端需取实际越界成员。真包含再找额外对象或排除相等；反向包含重新列条件，别从示意图推断存在解。

例题 08 两边都是开端，不要求参数严格

题目

设集合 $A=\{x|-2<x<1\}$ ， $B=\{x|x<a-1\}$ ，满足 $A\subseteq B$ ，则实数a的取值范围是（）

A． $\{a|a\le -1\}$ B． $\{a|a\ge -1\}$ C． $\{a|a\ge 2\}$ D． $\{a|a\le 2\}$

答案与解析

解析

若 $a-1\ge1$ ，任取 $x\in A$ ，有 $x<1\le a-1$ ，从而 $x<a-1$ ，故 $A\subseteq B$ 。于是 $a\ge2$ 充分，边界 $a=2$ 对应 $B=(-\infty,1)$ ，同样包含 $A$ 。

反过来，若 $t=a-1<1$ ，令 $u=\max(t,-2)$ ，则 $u<1$ 。取 $x=(u+1)/2$ ，有 $-2<x<1$ 且 $x>t$ ，所以这个实际 $A$ 成员不在 $B$ 。因此所有 $a<2$ 都不合法。

原图画出 $a-1>1$ 的一种情况，不能据图排除 $a-1=1$ 。A 没有合法参数；B 还允许不合格的 $a=0$ ；D 也混入非法值并漏掉 $a>2$ 。

本题结论

选 C， $a\ge2$ 。

例题 09 一端相等仍可真包含

题目

已知集合 $A=\left[ 9,13\right]$ ， $B=\left[ m+1,2m-1\right]$ ．

(1)若 $A\subseteq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)若 $A\subsetneq B$ ，求实数 $m$ 的取值范围．

答案与解析

解析

（1） $9,13$ 都在 $A$ 中，要进入 $B$ ，必须 $m+1\le9$ 且 $2m-1\ge13$ ，即 $7\le m\le8$ 。反向，在此范围内任一 $x\in[9,13]$ 均有 $m+1\le9\le x\le13\le2m-1$ ，所以条件充分。

（2）相等要求 $m+1=9$ 与 $2m-1=13$ 同时成立，分别得到 $m=8$ 与 $m=7$ ，不可能同时。因此整个 $[7,8]$ 都已经真包含。 $m=7$ 时 $B=[8,13]$ ，多出 $8$ ； $m=8$ 时 $B=[9,15]$ ，多出 $15$ ，两个边界都不能排除。

资料从“B 非空”直接推出左右端严格大小，不够严谨： $m=2$ 仍可给单点 $\{3\}$ 。本题因 B 要包含两个不同成员 $9,13$ ，才可另证它有正长度；最终 $[7,8]$ 不受这处中间表述错误影响。

本题结论

两问均为 $m\in[7,8]$ 。

例题 10 反向包含可能根本无参数解

题目

已知集合 $A=\left\{ \left. x\right|-2\le x\le 5\right\}$ ．

(1)若 $B\subseteq A$ ， $B=\{x\left| m+1\le x\le 2m-1,m\right.$ 为常数 $\}$ ，求实数m的取值范围．

(2)若 $A\subseteq B$ ， $B=\{x\left| m+1\le x\le 2m-1,m\right.$ 为常数 $\}$ ，求实数m的取值范围．

(3)若 $B=\{x\left| m+1\le x\le 2m-1,m\right.$ 为常数 $\}$ ，是否存在实数m，使得 $A=B$ ？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．

答案与解析

解析

（1） $m<2$ 时 $m+1>2m-1$ ，B 为空，自动包含于 A。 $m\ge2$ 时 B 非空，闭端必须满足 $m+1\ge-2$ 与 $2m-1\le5$ ，得 $m\ge-3$ 且 $m\le3$ ；与本支相交为 $2\le m\le3$ 。合并得 $m\le3$ 。 $m=2$ 给单点 $\{3\}$ ， $m=3$ 给 $[4,5]$ ，都合法。

（2）A 非空，反向包含须 $-2,5$ 都在 B，即 $m+1\le-2$ 和 $2m-1\ge5$ ，分别要求 $m\le-3$ 、 $m\ge3$ ，矛盾，无参数解。

假设A包含于B所需的数轴位置，B左界m加1不大于负2且右界2m减1不小于5，四端均闭

这幅原解析图只表示假设包含所需的相对位置，不证明同一个 $m$ 真能让两界同时处于这些位置。

（3）相等又要求 $m+1=-2$ 与 $2m-1=5$ ，分别给 $-3$ 与 $3$ ，仍不可能。因此不存在这样的 $m$ 。第一问“B 为空”与第二问“参数解集为空”说的不是同一个集合。

本题结论

（1） $m\le3$ ；（2）没有参数解；（3）不存在使 $A=B$ 的实数 $m$ 。

例题 11 题干明说非空时必须排除空集

题目

设集合 $A=\left\{ -1,1\right\}$ ，集合 $B=\left\{ x|{x}^{2}-2ax+1=0\right\}$ ，若 $B\ne \varnothing$ ， $B\subseteq A$ ，则 $a$ 等于（）

A． $-1$ B．0 C．1 D． $\pm 1$

答案与解析

解析

B 是 $\{-1,1\}$ 的非空子集，只可能为 $\{-1\}$ 、 $\{1\}$ 、 $\{-1,1\}$ 。

若只有成员 $-1$ ，代入得 $2+2a=0$ ，即 $a=-1$ ；回代为 $(x+1)^2=0$ ，充分成立。若只有成员 $1$ ，代入得 $2-2a=0$ ，即 $a=1$ ；回代为 $(x-1)^2=0$ ，也成立。

若同时含 $-1,1$ ，同一参数须同时等于 $-1$ 与 $1$ ，不可能。所有非空子集已经穷尽，故 $a=\pm1$ 。A、C 各漏一值；B 的 $a=0$ 产生空集，虽是子集，却违反本题明确的非空条件。

本题结论

选 D， $a=\pm1$ 。