向量投影与范围：数量、向量和模分别回答

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投影数量是带正负的数，投影向量还带有方向，它的模才是非负长度。固定参照方向后，数量积可用投影理解；动点最值还须保留实际可行区域及端点。

一、知识点概念与依据

1. 参照非零，三个投影对象不要混淆

取非零参照向量b，与b同向的单位向量为 $\vec e=\vec b/|\vec b|$ 。a可以为零，但b为零时没有参照方向，下面公式无定义。

所求对象	公式	类型及符号
a在b方向的投影数量p	$p=\vec a\cdot\vec e=(\vec a\cdot\vec b)/\lvert\vec b\rvert$	有正负的实数
a在b方向的投影向量	$p\vec e=\dfrac{\vec a\cdot\vec b}{\lvert\vec b\rvert^2}\vec b$	与b共线的向量，可能为零
投影向量的模	$\lvert p\vec e\rvert=\lvert p\rvert$	非负实数

a非零时， $p=|\vec a|\cos\theta$ 。若 $0\le\theta<\pi/2$ ，p正且投影向量与b同向；若 $\pi/2<\theta\le\pi$ ，p负且投影向量与b反向；θ=π/2时投影为零。a为零时直接得p=0，不谈夹角。

2. 垂足给几何意义，单位方向给分母

把a表示为 $\overrightarrow{AB}$ ，向沿b方向的直线分别作A、B的垂足 $A_1,B_1$ 。投影向量为 $\overrightarrow{A_1B_1}$ 。直角三角形的有向分量为 $|\vec a|\cos\theta$ ，所以投影向量为 $|\vec a|\cos\theta\,\vec e$ 。

将参照b换成−b，指定正方向反转，投影数量变号；但投影向量不变，因为公式的数量积与最后的参照向量同时变号。投影在一条直线上的几何向量，与人为选取的直线正向无关。

3. 被投影对象须完整，投影具有线性性

参照b固定且非零时，数量积对被投影向量满足分配律，因此投影数量与投影向量都具有线性性。投影a+b要使用整体a+b，不能只保留a的一部分。

若投影向量写成 $c\vec b$ ，其模是 $|c||\vec b|$ ，不是系数c；负系数只说明方向反向。回答“数量”应停在实数，“向量”还要乘单位方向，“模”则再取非负长度。

4. 动点数量积化成带范围的函数

先判断哪些长度和方向固定。P在线段AC上，可设 $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AC}$ ， $t\in[0,1]$ ；不含端点时改为开区间。再用固定向量表示每个目标，例如 $\overrightarrow{PA}=-\overrightarrow{AP}$ ，不同起点要用减法衔接。

把数量积展开，常得到一次或二次函数。二次式配方后，先看顶点是否在允许区间内，再比较端点；全实数上的极值不一定可行。求范围必须上下界都算，并说明等号点确能达到。连续函数沿闭线段取遍最小值与最大值之间所有数；开端点处的值则需另查内部能否再取。

若只固定两个非零向量的模而允许所有夹角，

-|\vec a||\vec b|\le\vec a\cdot\vec b\le|\vec a||\vec b|,

等号分别在反向、同向时取到。实际动点区域可能不允许这些方向，此时只能视为界，不能直接称可取最值。若其中一个向量为零，点积直接为0，不使用夹角。

5. 固定参照时才能按常数换算范围

参照b固定且非零，投影数量范围由数量积范围整体除以正数 $|\vec b|$ 得到。若b也随动点变化，分母不能当常量。

投影数量 $p\in[L,U]$ 时，投影向量的范围为 $\{p\vec e:L\le p\le U\}$ ，不是一个实数区间。其模范围为 $|p|$ 的范围：若L、U跨过0，最小模是0，最大模为 $\max(|L|,|U|)$ ；不能仅把两端绝对值照抄为新区间。

二、考点方法与例题

1. 先读题目要数量还是向量

写清被投影的整体与非零参照，先算点积，再按对象选择除以参照模或模平方。缺点积时先由给出的组合模平方反求；给坐标时直接用对应分量乘积和。

例题 01 组合向量在固定方向的投影

题目

已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}|=1$ ， $|\vec{b}|=2$ ， $|\vec{a}-\vec{b}|=\sqrt{7}$ ，则 $\vec{a}+\vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量是（）

A． $\frac{1}{4}\vec{b}$ B． $\frac{3}{4}\vec{b}$ C． $-\frac{1}{4}\vec{b}$ D． $-\frac{3}{4}\vec{b}$

答案与解析

解析

由差向量模平方，

7=|\vec a-\vec b|^2=1+4-2\vec a\cdot\vec b,

故 $\vec a\cdot\vec b=-1$ 。被投影对象为整体a+b，与b的点积为 $-1+4=3$ 。参照模平方为4，所以投影向量

\frac{(\vec a+\vec b)\cdot\vec b}{|\vec b|^2}\vec b=\frac34\vec b.

选B。A系数不足，C、D符号不符。对应投影数量为3/2，投影向量的模也为3/2；向量系数3/4既不是投影数量也不是模，因为b不是单位向量。

本题结论

选B，投影向量为 $3\vec b/4$ 。

例题 02 坐标点积求有向投影数量

题目

已知向量 ${a}^{\to }=\left( 2,1\right)$ ， ${b}^{\to }=\left( -1,3\right)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影数量为（）

A． $\frac{\sqrt{10}}{10}$ B． $\frac{\sqrt{10}}{5}$ C．2 D． $\sqrt{2}$

答案与解析

解析

$\vec a\cdot\vec b=2(-1)+1\times3=1$ ， $|\vec b|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}>0$ 。题目只求投影数量，因此

p=\frac1{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10},

选A。B多乘2，C、D未正确按参照模归一化。若问投影向量才需继续得到 $\vec b/10$ ，本题不能把向量当作数量作答。

本题结论

选A，投影数量 $\sqrt{10}/10$ 。

2. 线段上的动点先参数化

用一个参数表示线段位置，写准反向位移的负号，代固定基底点积得到二次式。最小值既要有下界，也要确认顶点参数允许；若求完整范围，再查上界及连续取值。

例题 03 沿一条边移动的点积最小值

题目

在 $\triangle ABC$ 中， $AB=2,AC=4,\angle BAC=60^{\circ}$ ， $P$ 是 $AC$ 上一动点，则 $\vec{PA}\cdot \vec{PB}$ 的最小值为（）

A． $\frac{1}{2}$ B． $-\frac{1}{2}$ C． $\frac{1}{4}$ D． $-\frac{1}{4}$

答案与解析

解析

PA从P指向A，与AP反向。

设 $\overrightarrow{AP}=t\overrightarrow{AC}$ ， $t\in[0,1]$ 。则 $\overrightarrow{PA}=-t\overrightarrow{AC}$ ， $\overrightarrow{PB}=\overrightarrow{AB}-t\overrightarrow{AC}$ 。

固定量 $\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AB}=4\times2\cos60^\circ=4$ ， $|\overrightarrow{AC}|^2=16$ ，所以

\overrightarrow{PA}\cdot\overrightarrow{PB} =-4t+16t^2=16\left(t-\frac18\right)^2-\frac14.

顶点t=1/8位于允许区间中，对应AP=1/2，最小值−1/4，选D。A、C非负，B低于实际下界，均不符。

若继续求全范围，端点t=0、1给0、12，最大值12；连续性保证全范围 $[-1/4,12]$ 。两个目标模随同一t变化，不是独立固定量；PB不是固定参照，不能把此范围除以一个固定“PB的模”冒充投影数量范围。

本题结论

选D，最小值 $-1/4$ ，在 $t=1/8$ 时取得。

3. 固定方向上看区域的最左与最右投影

沿固定非零参照方向选正向，找允许区域在这个方向的两个支撑边界。数量积等于参照模乘有向投影数量；证明两个极端能到达后，还要用区域内连续路径说明中间投影都可取。

例题 04 正八边形区域的固定方向投影

题目

如图，某八角楼空窗的边框呈正八边形.已知正八边形 $ABCDEFGH$ 的边长为 $4,P$ 为正八边形内的一点（含边界），则 $\vec{AP}\cdot \vec{AB}$ 的取值范围为（）

A． $\left[ 16-4\sqrt{2},8\sqrt{2}\right]$ B． $\left[ -8\sqrt{2},8\sqrt{2}\right]$

C． $\left[ 16-8\sqrt{2},16+8\sqrt{2}\right]$ D． $\left[ -8\sqrt{2},16+8\sqrt{2}\right]$

答案与解析

解析

A到B为正方向，M位于A左侧，N位于B右侧。

记AP在AB方向的投影数量为p，AB固定且模为4。正八边形内角为135°，故外侧直角三角形中∠HAM=∠CBN=45°，所以 $AM=BN=4\cos45^\circ=2\sqrt2$ 。

HG上的点投影到M， $p=-AM=-2\sqrt2$ ；CD上的点投影到N， $p=AN=4+2\sqrt2$ 。整个正八边形位于这两条平行边之间，因此

-2\sqrt2\le p\le4+2\sqrt2.

边界包含，两端可取；区域凸，连接任一左边界点与右边界点的线段仍在区域中，沿线段移动可取遍中间投影。因此完整点积范围为

\overrightarrow{AP}\cdot\overrightarrow{AB}=4p\in[-8\sqrt2,16+8\sqrt2],

选D。A、B上界不足，C下界漏掉允许的负值。P=A时AP为零，p直接为0，不使用夹角公式。

若另问投影向量范围，令 $\vec e=\overrightarrow{AB}/4$ ，应答 $\{p\vec e:-2\sqrt2\le p\le4+2\sqrt2\}$ 。其模范围是 $[0,4+2\sqrt2]$ ，因为p跨过0，而不是给两个带符号端点取绝对值后直接列区间。

本题结论

选D，点积范围 $[-8\sqrt2,16+8\sqrt2]$ 。