弦长、中点弦与有关面积

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由半弦勾股连接长度，再用中点方向和真实面积关系求解。

一、知识点理解概念

1. 弦长、半弦与弦心距

真圆半径 $r>0$ ，圆心到弦所在直线的距离 $d<r$ 。垂足平分弦，半弦与弦心距、半径组成直角三角形；过圆心时直接为直径。因此

L=2\sqrt{r^2-d^2},\qquad L^2=4(r^2-d^2),\qquad d^2=r^2-\frac{L^2}{4}.

真弦必须 $0<L\le2r$ ， $L=2r$ 为过心直径。 $d=r$ 仅一个切点，形式上的零长度不代表两个不同端点； $d>r$ 没有弦。

2. 中点给法向量，但圆心不能给唯一方向

弦中点 $M$ 必须在圆内。若 $M\ne O$ ，圆心到弦的垂足恰为 $M$ ，所以 $\overrightarrow{OM}$ 是弦线非零法向量：

(M-O)\cdot(X-M)=0,\qquad OM<r.

反过来，此线过 $M$ 且垂直 $OM$ ， $M$ 为垂足； $OM<r$ 保证两个交点，它们关于垂足对称，确以 $M$ 为中点。若 $M=O$ ，式子只是 $0=0$ ，不能表示唯一直线；所有过心直径都合条件。

3. 消元后的根差也能给整弦

非竖直弦线 $y=kx+b$ 的两个交点横坐标为 $x_1,x_2$ ，则纵坐标差为 $k(x_1-x_2)$ ，故

L=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|.

若消元二次式为 $\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$ ，须 $\alpha\ne0,\Delta>0$ 。由两根和、积得

(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=\frac{\beta^2}{\alpha^2}-\frac{4\gamma}{\alpha}=\frac{\Delta}{\alpha^2},

所以 $L=\sqrt{1+k^2}\sqrt\Delta/|\alpha|$ 。改用纵坐标差时， $L=\sqrt{1+1/k^2}|y_1-y_2|$ 要求 $k\ne0$ ；水平线不能除 $k$ ，竖直弦没有有限斜率，可直接用 $|y_1-y_2|$ 。

4. 面积的长度因子必须对应真实底高或对角线

三角形以弦 $AB$ 为底，面积是 $AB$ 乘第三点到该弦所在直线的垂距再除 $2$ ，不是任意两条长度的积。

对角线在内部相交的凸四边形，按边界顺序记 $A,B,C,D$ ，令两对角线 $AC,BD$ 交角为 $\theta\in(0,\pi)$ ，则

S=\frac12 AC\cdot BD\sin\theta.

这是交点分出的四个三角形面积相加所得：各小段乘积合并为两整条对角线的乘积。垂直时 $\sin\theta=1$ 。必须核点的顺序、交点和角确是目标四边形对应的对象，不能拿两条弦的乘积随意叫面积。

二、考点方法与例题

1. 有真弦之后才使用半弦勾股

先读圆心、核 $r>0$ ，算真直线的圆心距并核 $d<r$ ；再用整弦公式。已知弦长反求参数时先核 $0<L\le2r$ ，回代过点、真圆与弦长条件，包含竖直线的可能性也须另查。

例题 01 直线被圆截得的弦长

直线 $x+2y+1=0$ 被圆 ${(x-2)}^{2}+{(y-1)}^{2}=25$ 所截得的弦长等于（）

A． $2\sqrt{5}$ B． $3\sqrt{5}$ C． $4\sqrt{5}$ D． $5\sqrt{5}$

答案与解析

圆心 $O=(2,1)$ ，半径 $r=5$ ，直线法向量 $(1,2)\ne\boldsymbol0$ 。距离

d=\frac{|2+2\times1+1|}{\sqrt5}=\sqrt5<5,

所以有两个不同交点。半弦平方 $25-5=20$ ，半弦 $2\sqrt5$ ，整弦为

L=2\sqrt{25-5}=4\sqrt5,

选 C。A只有半弦，B、D均不满足 $L^2=4(25-5)=80$ ；不能漏掉整弦的因子 $2$ 。若 $d=r$ 只剩切点与形式零长度；若 $d>r$ 则无弦，不给负根号硬作几何解释。

2. 角度给方向，中点给法向量

倾斜角不是 $90^\circ$ 时可先算斜率，过已知点写线；竖直情形直接写横坐标常数。给弦中点时优先用圆心到中点的向量，先核中点在圆内且不等于圆心，再写法向式。用斜率负倒数法时，也需确认所除斜率存在且非零。

例题 02 弦长与中点条件的两个问题

已知圆 $C:{x}^{2}+{y}^{2}=8$ 内有一点 $P\left( -1,2\right)$ ，直线过点P且和圆C交于A，B两点，直线l的倾斜角为 $\alpha$ .

(1)当 $\alpha=135^{\circ}$ 时，求 $AB$ 的长；

(2)当弦 $AB$ 被点P平分时，求直线l的方程.

答案与解析

上传KB题干第（1）问写作 $a=135^\circ$ ，按其前句的倾斜角 $\alpha$ 统一为同一符号，不另设参数 $a$ 。

（1） $k=\tan135^\circ=-1$ ，过 $P=(-1,2)$ 得 $y-2=-(x+1)$ ，即 $x+y-1=0$ 。圆心 $O=(0,0)$ ， $r^2=8$ ，圆心距 $d=1/\sqrt2$ ，故 $d^2=1/2<8$ ，真弦存在。

AB=2\sqrt{8-\frac12}=\sqrt{30}.

（2） $OP=(-1,2)\ne\boldsymbol0$ ， $OP^2=5<8$ 。中点弦以此为法向量，得 $-(x+1)+2(y-2)=0$ ，即

x-2y+5=0.

保留原解的斜率路线： $k_{OP}=2/(-1)=-2$ ，存在且非零，所以 $k_{AB}=1/2$ ；点斜式 $y-2=(x+1)/2$ 得同一结果。

回核 $P$ 在线上，圆心距 $5/\sqrt5=\sqrt5<\sqrt8$ ；该线垂直 $OP$ ，所以 $P$ 确为垂足和两交点中点。若中点是圆心，零向量方程不能给唯一直线，所有直径都可，不照搬本题唯一结果。

3. 最值保留几何联系，并构造等号方向

两条垂直弦通过圆内点 $M$ 时，在过 $M$ 的两条弦方向取正交坐标轴。圆心的两个正交分量给它到两条弦的距离 $d_1,d_2$ ，于是 $d_1^2+d_2^2=OM^2$ 。把这个联系与弦长、面积一起使用；上界算出之后，必须证明等号要求的弦方向能实际取到。

例题 03 过定点的直线与两条弦组成的四边形

已知直线 $l:ax-y+\sqrt{2}-a=0\left( a\in R\right)$ ，圆 $O:{x}^{2}+{y}^{2}=4$

(1)求证：无论a取何值，直线l均与圆O相交；

(2)已知AC、BD是圆O的两条相互垂直的弦，且垂足为 $M\left( 1,\sqrt{2}\right)$ ，求四边形ABCD的面积的最大值．

答案与解析

上传KB第（2）问有“相互两直”字样；结合其完整原解，按两条弦互相垂直规范化，不额外添加新的角度条件。

（1）直线改写为 $a(x-1)-y+\sqrt2=0$ ，对任意实数 $a$ 恒过 $M=(1,\sqrt2)$ ，且 $y$ 系数为 $-1$ ，是真直线。 $OM^2=1+2=3<4$ ，定点在圆内。圆心到线的距离不超过 $OM<2$ ，所以任意 $a$ 均有两个不同交点。

（2） $M$ 在圆内，且是两条垂直弦的交点，因此在各弦内部。设圆心到 $AC,BD$ 的距离为 $d_1,d_2$ ，过 $M$ 沿两弦建正交轴，圆心的两个分量满足

d_1^2+d_2^2=OM^2=3.

各 $d_i^2\le3<4$ ，两条弦都真实存在。按 $A,B,C,D$ 沿圆周的边界顺序， $AC,BD$ 是内部相交的垂直对角线，四个小三角形面积相加给

S=\frac12 AC\cdot BD=2\sqrt{(4-d_1^2)(4-d_2^2)}.

令 $u=4-d_1^2>0,v=4-d_2^2>0$ ，则 $u+v=8-3=5$ 。由 $(\sqrt u-\sqrt v)^2\ge0$ ，得 $2\sqrt{uv}\le u+v=5$ ，所以 $S\le5$ 。

等号当且仅当 $u=v$ ，即 $d_1^2=d_2^2=3/2$ 。将两条垂直弦的方向取为与 $OM$ 各成 $45^\circ$ ，两个垂距均为 $OM/\sqrt2=\sqrt6/2$ ，且小于半径，满足所有条件，故上界可达，最大面积为 $5$ 。