温差冷却、周期与剩余时间

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环境温度是固定基准，衰减的是温差。每次重新开始冷却时，初温与计时都重置；完整周期还必须包含加热阶段。

一、知识点概念与依据

1. 从温度中分离真正衰减的量

题给模型

\theta(t)=\theta_0+(\theta_1-\theta_0)e^{-kt},\quad k>0,\ t\ge0,

其中 $\theta_0$ 为固定环境温度， $\theta_1$ 是本段初温。令温差 $D=\theta-\theta_0$ ，得到 $D(t)=D(0)e^{-kt}$ 。只有温差倍率等于指数因子，环境基准本身没有被乘小。

在本页高于环境的冷却情形， $D(0)>0$ ，温度严格下降并在有限时间仍高于环境；不能用模型给出到达低于环境的冷却时间。若初温恰等于环境，温差为0且恒温，应单独处理，不能除以初始温差。

温度单位应一致， $k$ 与时间单位相配。环境或接触条件改变时，原 $k$ 未必仍可用。有些题另用 $(1/2)^{t/k}$ ，这里的 $k>0$ 表示温差减半所需时间，量纲为时间；它不是前式 $e^{-kt}$ 中量纲为时间倒数的衰减常数，不能因为同名就视作同一参数。区分记为半衰期 $H$ 与衰减常数 $\lambda$ 时， $2^{-t/H}=e^{-(\ln2/H)t}$ ，故 $\lambda=\ln2/H$ 。按同一单位时段还可记 $q=2^{-1/H}$ ，模型因子为 $q^t$ 。

2. 剩余时间不等于总时间

若原模型中已冷却 $t_0$ ，从现在再经历 $s$ ，温差为 $D(0)q^{t_0+s}=D(t_0)q^s$ 。因此可以把当前温度作为新初温、当前时刻作为0，再求“还需要”。前提仍是同一环境和接触条件。

目标高于环境且不超过当前温度时， $D(t_0)q^s=D_{\rm target}$ ，其中 $0<q<1$ 。取对数求出的 $s$ 是本段额外时长，不可再减或再加一次已过时间。

3. 周期要回到相同温度和控制阶段

完整循环是“上限开始冷却→到下限启动加热→回到上限停止加热”。若冷却用时 $c$ 、加热用时 $h$ ，周期为 $L=c+h$ ，不是单独的冷却时间。

过程	温度状态	是否回到原控制阶段
上限冷却至下限	降到触发点	否，接下来加热
下限加热回上限	回到上限	是，停止加热并开始冷却

初始恰为上限冷却起点时，写总时间 $T=nL+s$ ， $0\le s<L$ 。

余时	所处状态	使用的时间
$s=0$	回到上限并开始新冷却	新冷却起点
$0<s<c$	本周期冷却中	从本段上限开始经过 $s$
$s=c$	刚到下限，触发加热	冷却终点
$c<s<L$	加热中	还需具体加热规律才知中间温度

若初始状态不同，须先处理开头不完整阶段，扣去它以后才按周期分解。

加热总耗时只给两端，不能推出每分钟匀速升温。若余时落在加热中间却没有加热规律，温度不足以确定；不可自行线性插值。

4. 近似时间与阈值安排分开

先保留精确换底式，到最后才代参考数。对数相减形成很小分母时，输入舍入会放大，输出多写几位小数并不能恢复精度。

“大约、精确到1分钟”按题目作近似；“至少等待至不高于目标”则解不等式。若只可选整数分钟，筛选达标最小整数并回代它与前一整数。连续时间的精确阈值不是一个取整后的整数。

二、考点方法与例题

1. 当前温差作为新的初始量

先由已知温度求同单位时段温差倍率，再用当前温差和目标温差取比。明确求的是还需时长，并最后与总时长对照。

例题 01 从现在70度继续冷却

题目

把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是 ${\theta }_{1}{}^\circ\mathrm{C}$ ，空气的温度是 ${\theta }_{0}{}^\circ\mathrm{C}$ ，那么 $t\mathrm{min}$ 后物体的温度 $\theta$ （单位： ${}^\circ\mathrm{C}$ ）可由公式 $\theta ={\theta }_{0}+\left( {\theta }_{1}-{\theta }_{0}\right){\left( \frac{1}{2}\right)}^{\frac{t}{k}}$ 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数．现有 $100{}^\circ\mathrm{C}$ 的物体，放在 $10{}^\circ\mathrm{C}$ 的空气中冷却．1min后物体的温度是 $70{}^\circ\mathrm{C}$ ，那么该物体的温度降至 $20{}^\circ\mathrm{C}$ 还需要冷却的时间约为（参考数据： $\lg 2\approx 0.3010,\lg 3\approx 0.4771$ ）（）

A．2.9min B．3.4min

C．3.9min D．4.4min

答案与解析

解析

环境10摄氏度，初始温差90，1分钟后温差60，所以每分钟倍率 $q=(1/2)^{1/k}=2/3$ 。从现在70摄氏度降到20摄氏度，温差由60到10，额外时间 $s$ 满足

60(2/3)^s=10,\qquad s=\frac{\lg6}{\lg(3/2)}=\frac{\lg3+\lg2}{\lg3-\lg2}.

按给定参考数为 $0.7781/0.1761\approx4.4185$ 分钟；用实际对数高精度计算约4.4190分钟，两种口径都约4.4，选D。A、B、C不符。若从初始100摄氏度算，总时间按参考数约5.4185分钟，按高精度对数约5.4190分钟，都不是题问“还需要”。原补讲把参考数之商写为4.4191，数值不准确，不能与实际对数计算混为一谈。不能以70与20的总温度比替代60与10的温差比。

本题结论

还需约4.4分钟，选D。

2. 三问连续追踪倍率、首次到达与循环

先确定冷却倍率，再分别使用每问的初温。循环问先定一整周期和余时所处阶段，最后只把该冷却段的局部时间代入。

例题 02 循环结束后重新计时

题目

把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为 ${\theta }_{1}{}^\circ\mathrm{C}$ ，空气的温度为 ${\theta }_{0}{}^\circ\mathrm{C}$ ，那么 $t\mathrm{min}$ 后物体的温度 $\theta$ （单位： ${}^\circ\mathrm{C}$ ）可由公式 $\theta ={\theta }_{0}+\left( {\theta }_{1}-{\theta }_{0}\right){e}^{-kt}$ 求得，其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为 $20{}^\circ\mathrm{C}$ ，把水放在空气中冷却，水的温度从 $100{}^\circ\mathrm{C}$ 冷却到 $60{}^\circ\mathrm{C}$ 需要30min.

(1)求 ${e}^{-k}$ ；

(2)小王想喝 $40{}^\circ\mathrm{C}$ 的温水，发现水的温度为 $100{}^\circ\mathrm{C}$ ，如果他等待水温自然冷却，至少需要等待多少min？

(3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于 $35{}^\circ\mathrm{C}$ ，电热水壶不加热，水的温度冷却到 $35{}^\circ\mathrm{C}$ ，电热水壶开始加热，直至水的温度达到 $80{}^\circ\mathrm{C}$ 才停止加热，且水的温度从 $35{}^\circ\mathrm{C}$ 加热到 $80{}^\circ\mathrm{C}$ 需要8min.现该电热水壶中水的温度为 $80{}^\circ\mathrm{C}$ ，经过98min后，此时壶中水的温度是多少？

答案与解析

解析

（1）环境20，初始温差80，30分钟后温差40，故 $e^{-30k}=1/2$ 。 $e^{-k}>0$ ，唯一正根为 $(1/2)^{1/30}$ 。

（2）从100降到40，目标温差20，为原温差的 $1/4$ 。因此 $(1/2)^{t/30}=1/4$ ，得 $t=60$ 分钟。温度严格下降，60分钟前高于40，60分钟恰到40，确为首次到达。

（3）本问从80开始，温差60；下限35的温差15，同样是 $1/4$ ，冷却需60分钟。加热8分钟回到80，控制状态也恢复冷却起点，所以周期68分钟。 $98=68+30$ ，剩余30分钟落在第二段冷却，而非加热。

重新取本段初温80、局部时间30，得到 $\theta=20+60(1/2)^{30/30}=50$ 摄氏度。60分钟触发加热、68分钟停止，边界与题给规则吻合。本题不用也不能假定中间加热匀速。

本题结论

（1） $e^{-k}=(1/2)^{1/30}$ ；（2）60分钟；（3）50摄氏度。

3. 按指定精度报告时间

起点确定温差系数，目标温度先减环境。写出合法对数商后代参考值；若另问保证达标的整数时刻，再单独检查邻近整数。

例题 03 茶水冷却时间与报告精度

题目

这里只按题设温度建立数学模型，不构成实际饮用温度建议。

西湖龙井，中国十大名茶之一，属绿茶，其产于浙江省杭州市西湖龙井村周围群山，并因此得名，具有1200多年历史.泡制龙井的口感与水的温度有关：经验表明，在 $25^{\circ}C$ 室温下，龙井用 $85^{\circ}C$ 的水泡制，再等到茶水温度降至 $60^{\circ}C$ 时饮用，可以产生最佳饮用口感.经过研究发现，设茶水温度从 $85^{\circ}C$ 开始，经过 $x$ 分钟后的温度为 $y^{\circ}C$ 且满足 $y=k{a}^{x}+25\left( k\in R,0<a<1,x\ge 0\right)$ .

(1)求常数 $k$ 的值；

(2)经过测试可知 $a=0.9227$ ，求在 $25^{\circ}C$ 室温下，刚泡好的龙井大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感？ $($ 结果精确到 $1$ 分钟 $)$ (参考数据： $\lg 2\approx 0.3010,\lg 3\approx 0.4771$ ， $\lg 7\approx 0.8451,\lg 0.9227\approx -0.0349$ )

答案与解析

解析

（1） $x=0,y=85$ 给 $85=k+25$ ，所以 $k=60$ 。

（2） $60(0.9227)^x+25=60$ 等价于 $(0.9227)^x=35/60=7/12$ 。底数正且非1，真数正，故

x=\frac{\lg(7/12)}{\lg0.9227}=\frac{\lg7-2\lg2-\lg3}{\lg0.9227}.

按参考数， $x\approx[0.8451-2(0.3010)-0.4771]/(-0.0349)\approx6.7049$ 分钟，精确到1分钟为7分钟。分子、分母均负，所以时间正。

用模型常数的更高精度对数重算约6.70分钟，仍取7。7分钟温度约59.16摄氏度，6分钟约62.03摄氏度，故若另问不高于60的最小整数安排，也为7；连续阈值则是未取整的对数商，不是恰7。

本题结论

（1） $k=60$ ；（2）按题目精确到1分钟，约7分钟。