抛物线点处切线、外点切线与切点弦

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先分清给定点与未知切点，再判断切线数量；切点弦是连接两个切点的另一条直线。

一、知识点理解概念

1. 点式中的坐标必须属于切点

平面内真抛物线 $y^2=2px$ ， $p>0$ 。先验证 $P=(x_0,y_0)$ 在曲线上，即 $y_0^2=2px_0$ ，才能写 $P$ 处切线

y_0y=p(x+x_0).

顶点 $P=O$ 时给 $x=0$ ，是竖直切线，公式无需除 $y_0$ 。完整四种方向的点式如下，每行都先要求 $P$ 在对应曲线上：

曲线， $p>0$	$P$ 处切线	顶点切线
$y^2=2px$	$y_0y=p(x+x_0)$	$x=0$
$y^2=-2px$	$y_0y=-p(x+x_0)$	$x=0$
$x^2=2py$	$x_0x=p(y+y_0)$	$y=0$
$x^2=-2py$	$x_0x=-p(y+y_0)$	$y=0$

所以“切线一定有斜率”不成立；也不能把横轴型的水平线结论原封不动用于纵轴型。

2. 重根、同侧与接触方向相互验证

对右开口，因为 $p\ne0$ ，点式写成 $x=y_0y/p-x_0$ 。代回曲线且用 $2px_0=y_0^2$ ，得

y^2-2y_0y+y_0^2=(y-y_0)^2=0.

接触点确为 $P$ 。进一步，曲线点 $(y^2/(2p),y)$ 的横坐标减直线上同纵坐标点的横坐标为

\frac{y^2-(2y_0y-y_0^2)}{2p}=\frac{(y-y_0)^2}{2p}\ge0.

曲线整体在该线同一侧，只在 $P$ 接触。也可直接看邻近曲线点与 $P$ 的割线方向：除非零 $y-y_0$ 后为 $((y+y_0)/(2p),1)$ ，当 $y\to y_0$ 时趋于 $(y_0/p,1)$ ，正是点式的方向。这里不是把“只有一个交点”当切线定义；平行轴的单交点直线不具备此接触方向。

3. 有限斜率切线族与遗漏方向

当 $y_0\ne0$ 时，切线斜率 $k=p/y_0\ne0$ 。另从 $y=kx+c$ 联立得

k^2x^2+(2kc-2p)x+c^2=0,\qquad\Delta=4p^2-8pkc.

$k\ne0$ 时是真二次式，切线条件给 $c=p/(2k)$ 。所以全部非竖直切线为

y=kx+\frac{p}{2k},\qquad k\ne0,

再另补顶点切线 $x=0$ ，才是完整切线族。 $k=0$ 的水平线只与右开口曲线有一个交点，但不相切，不能代进含 $1/k$ 的式子。

4. 让未知切点的切线通过给定点

给定一般点 $R=(a,b)$ ，令未知切点

T=\left(\frac{t^2}{2p},t\right),\qquad t\in\mathbb R.

$T$ 天然在曲线上，其切线 $ty=p(x+t^2/(2p))$ 经过 $R$ ，当且仅当

t^2-2bt+2pa=0,\qquad\Delta_t=4(b^2-2pa).

因此 $b^2>2pa$ 有两条不同实切线， $b^2=2pa$ 有一条， $b^2<2pa$ 没有实切线。等号正是 $R$ 在曲线上；不等号两种情形的 $R$ 都不在曲线上，不能把“曲线外一点”一律理解为有两条。

每个实根给唯一切点与切线；两不同 $t$ 对应切线的 $x$ 系数同为非零 $p$ ，但 $y$ 系数不同，所以不可能是同一条线。 $t=0$ 自动给顶点切线 $x=0$ ，无需另除 $t$ ，不会漏竖直线。

5. 切点弦是连接两切点的另一条线

恰有两不同切点 $T_1=(x_1,y_1),T_2=(x_2,y_2)$ 时，它们的切线都经过 $R$ ，所以

b y_i=p(x_i+a),\qquad i=1,2.

于是两切点所在直线为 $by=p(x+a)$ 。因为 $p>0$ ，这始终是有效直线；但只有两实切点时，才称两点切点弦。若只有一个切点，此线退化为该点的切线；若没有实切点，不能凭形式写出一条线就称它是真实切点弦。

这个联系也可反向使用：已知两个曲线点的切线交于 $R$ ，原端点弦便满足该线式，免去重复求端点。不要把切点弦与从 $R$ 引出的两条切线混为一谈。

二、考点方法与例题

方法一：先判断给的是切点还是一般点

给曲线上点：回代曲线后用点式，再用完全平方验证接触；顶点直接保留竖直切线。
给一般点 $R$ ：参数化未知切点，求 $t^2-2bt+2pa=0$ 的全部实根。逐根核切点在曲线上、切线过 $R$ ，并按判别式确认数量。
求两切点连线：先有两不同实切点，再写 $by=p(x+a)$ 。若从端点切线交点出发，也先确认两端点不同，才能由两点确定弦线。

方法二：设过点直线也要覆盖方向

右开口中，过 $R=(a,b)$ 的非水平直线可统一设 $x=a+m(y-b)$ ，包括 $m=0$ 的竖直线。联立得

y^2-2pmy-2pa+2pmb=0,\qquad\Delta=4p^2m^2+8pa-8pmb.

这是真二次式，令 $\Delta=0$ 求 $m$ ，再恢复直线和重根切点。未覆盖的水平线 $y=b$ 不是切线，说明这一点才算无遗漏。若改用 $y=kx+c$ ，则要另查顶点竖直线 $x=0$ 是否过 $R$ ，即是否 $a=0$ 。

完整例题：把方法放回整道题

中点弦与过指定点的切线：完整两问。先区分第一问的弦中点与第二问给定的曲线外点，保留两问，不能把弦公式与切线公式互换。
焦点弦两端切线交点到弦的距离：完整四选项。先从端点切线得到交点与端点弦的联系，再求原题距离并核最小值的可达构型。

三、坑点辨析与纠错

1. 一般点代入点式，得到的未必经过该点

错法是看到 $R=(a,b)$ ，直接把 $by=p(x+a)$ 称为“过 $R$ 的切线”。把 $R$ 自身代入此式，要求 $b^2=2pa$ ，恰好是 $R$ 在曲线上的条件。因此真正的曲线外点必不在这条所谓点式直线上，不是“外形像切线就能用”。

正确做法是让未知切点的切线过 $R$ ，先解实切点数。恰有两切点时，直接代得的那条线实际是切点弦，而不是过 $R$ 的任一切线。

2. 丢掉零参数，就会丢掉顶点切线

切点参数 $t$ 可以为0；曲线上点的 $y_0$ 也可为0。先除它们、只写有限斜率族，会漏顶点竖直 $x=0$ 。对纵轴型要交换 $x,y$ ，顶点切线改为水平 $y=0$ ，不能笼统声称“水平线从不相切”。

3. 方程存在不等于切点或弦真实存在

参数方程无实根，就没有实切线；一个实切点也不构成两点切点弦。最终要核真实直线、曲线上的切点、通过给定点、数量以及参数遗漏的方向。只有这些条件同时满足，代数候选才完成几何证明。