从独立模型的拟合期望格出发，把每个因子的来历与计算自检连起来。

01 · 知识点概念、关系与适用条件02 · 考点先归纳方法，再看例题03 · 坑点辨析错因，检查遗漏

知识点

四格与拟合期望

四格按 $a,b/c,d$ 排列，$n=a+b+c+d>0$，记行总 $r_1=a+b,r_2=c+d$，列总 $s_1=a+c,s_2=b+d$。要求四个边际都正，但单个观察格可以为0。

在 $H_0$ 独立的模型下，以样本边际频率拟合未知总体边际概率。例如交叉概率拟合为 $(r_1/n)(s_1/n)$，乘 $n$ 得拟合期望人数 $e_a=r_1s_1/n$。

观察格	拟合期望格	观察减期望
$a$	$e_a=r_1s_1/n$	$D/n$
$b$	$e_b=r_1s_2/n$	$-D/n$
$c$	$e_c=r_2s_1/n$	$-D/n$
$d$	$e_d=r_2s_2/n$	$D/n$

这里 $D=ad-bc$。这些期望数可以非整数，是用样本边际拟合出的模型基准，并非题目已经知道真实总体概率而算得的精确期望。

从偏差平方和到闭式

平方防止正负抵消，再除以该格期望，避免只用绝对差而忽略格的尺度。Pearson统计量为

$$\chi^2=\sum_{\text{四格}}\frac{(\text{观察}-\text{期望})^2}{\text{期望}}.$$

也记 $K^2$；上标2是统计量名称的一部分，不必先另设一个观测变量 $\chi$。

先展开第一格：

$$a-e_a=\frac{an-(a+b)(a+c)}n=\frac{a(a+b+c+d)-(a^2+ab+ac+bc)}n=\frac Dn.$$

每行、每列的期望和都等于观察和，因此偏差和为0，余三格依次为 $-D/n,-D/n,D/n$。于是

$$\chi^2=\frac{D^2}{n^2}\left(\frac1{e_a}+\frac1{e_b}+\frac1{e_c}+\frac1{e_d}\right),$$

$$\begin{aligned} \frac1{e_a}+\frac1{e_b}+\frac1{e_c}+\frac1{e_d} &=n\left(\frac1{r_1}+\frac1{r_2}\right)\left(\frac1{s_1}+\frac1{s_2}\right)\\ &=n\frac{r_1+r_2}{r_1r_2}\frac{s_1+s_2}{s_1s_2}=\frac{n^3}{r_1r_2s_1s_2}. \end{aligned}$$

相乘消去 $n^2$，得

$$\boxed{\chi^2=\frac{n(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}}.$$

该代数推导不等于证明统计量的近似分布；临界分布理论是进一步内容，课内可按给定表使用。

非负性、表方向与适用范围

正边际下 $\chi^2\ge0$，且等号等价于本样本 $ad=bc$。交换整行或整列只使 $D$ 变号，转置只交换边际因子，统计量不变。平方会丢失方向，哪组比例更高要回看组内频率。

整行或整列为空时闭式分母0，不能套式。可算不等于近似临界表可靠，还须检查随机成对观察、独立单位或合理设计近似、足够大的拟合期望格，见使用前提。跨不同样本量或设计，较大统计量不直接表示更大的关联效应。

考点

五步计算与双路核验

1. 根据当前表写 $a,b,c,d$ 及类别，不规定性别必须放行或列；核四格和、行列和与 $n$。
2. 分别算 $ad,bc$，先相减再平方。$(ad-bc)^2$ 不是 $(ad)^2-(bc)^2$。
3. 写四个正边际再相乘；不漏因子，不额外再乘一个 $n$。保留精确数值到阈值比较完成。
4. 另算四期望格，偏差平方除以期望后相加，应和闭式一致。完整换行/换列也应不变，只换一格不是合法自检。
5. 明确近似前提后，按指定水平解释结论；不要把计算成功当成抽样设计已经合格。

例题 01 篮球迷调查的四格计算

题目

某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据，以下结论最准确的是（   ）

		男生	女生
篮球迷		90	20
非篮球迷		60	30

附：${χ}^{2}=\frac{n{(ad-bc)}^{2}}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$

$P\left( {X}^{2}\ge k\right)$	0.10	0.05	0.01	0.005
k	2.706	3.841	6.635	7.789

A．有99．5%的把握认为是否是篮球迷与性别有关

B．有$99\%$的把握认为是否是篮球迷与性别有关

C．在犯错误的概率不超过0.1的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关

D．在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关

答案与解析

解析

按题表方向取 $a=90,b=20,c=60,d=30$，四边际110、90、150、50，总数200，$ad-bc=1500$。补齐为：

	男生	女生	合计
篮球迷	90	20	110
非篮球迷	60	30	90
合计	150	50	200

$$\chi^2=\frac{200(90\times30-20\times60)^2}{110\times90\times150\times50}=\frac{200}{33}\approx6.060606.$$

在 $H_0$ 拟合下，四格期望依次82.5、27.5、67.5、22.5，偏差7.5、−7.5、−7.5、7.5，故也可核验

$$\chi^2=7.5^2\left(\frac1{82.5}+\frac1{27.5}+\frac1{67.5}+\frac1{22.5}\right)=\frac{200}{33}.$$

因为 $3.841<200/33<6.635$，可在0.05水平拒绝独立，但未达到0.01及0.005两档。A、B不符合；C的0.1档也能拒绝，但题问“最准确”，D给出在选项中能支持的更严格0.05档，故按题内档位约定选D。

原表0.005列写7.789，常用对应值为7.879；保留题表，此误植不影响本题使用的3.841、6.635两界。选项所说“犯错误的概率”应理解为 $H_0$ 成立且近似适用时程序的误拒风险，不是看到此数据后本次结论错误的概率，也不是变量有关的概率。方向可另看男生篮球迷比例 $90/150=3/5$ 与女生 $20/50=2/5$；检验不说明性别造成兴趣差异。

本题结论

D（按题内证据档约定）

带后续抽样的完整应用

消防测试完整三问同时补表、估计放回独立抽样概率并完成指定水平检验，可以比较三种任务需要的条件。

坑点

统计量不只是积差

$ad-bc$ 的绝对值、比例差与卡方值不是同一个量。比较不同表时，必须同时检查分母、总人数和研究设计；统计量大不是“有关系的概率大”。

精度与零格分别检查

近阈值时过早舍入可能改判。观察格0并非一律非法，边际为0才使此闭式失效；期望很小时还需另查近似可靠性。

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