先划清合法图形，再逐一覆盖非零参数、零参数和遗漏方向。

01 · 知识点概念、理由与条件02 · 考点方法与完整例题03 · 坑点边界与错因

一、知识点 理解概念

1. “定”意味着对所有合法变化成立

定点是所有合法动线或曲线都经过的同一点；定直线是所有合法动点都落在的同一有效直线；定值是不随合法参数变化的同一数。几幅图、几个特例只能帮助发现候选，不是一般证明。

先列真实双曲线、两不同交点、指定支、连线有效和分母非零等条件。参数设法遗漏的合法方向须另验，不能把设法的缺口改成原题限制。

2. 定点看系数，定直线看固定线式

若动线写 $y=kx+t$ 并已证 $t=\alpha k+\beta$，可写 $y=k(x+\alpha)+\beta$，每个合法 $k$ 都过 $(-\alpha,\beta)$。若还存在合法竖直线，不能默认已被有限 $k$ 覆盖，须单核。

定直线则证明动点坐标满足固定 $A_0x+B_0y+C_0=0$，且 $(A_0,B_0)\ne(0,0)$；同时证明原题所需交点存在，不能只证条件式。落在一条线不自动意味着遍历整线。

3. 定值是带条件的恒等式

联立曲线得到根和积，把动对象的系数、坐标或比值表示成参数函数，再借原曲线与几何关系逐步证明消参后的式子恒定。每次除法都先查非零，遇 $0/0$ 回未除法式或几何，不为方便删合法参数。

有向分点和数量积也可用于消元，必须保两端真实、同一坐标基与向量端点；长度比不直接定方向，见有向关系与长度关系。

二、考点 方法与例题

1. 完整域与特殊分支的证明顺序

先列原题合法域，再选能覆盖它的直线设法。用韦达前核最高次项与两不同实根，用坐标交点公式前核两线确相交而非平行或重合。定点代入所有成员、定线代入动点、定值证恒等，均覆盖全部合法参数。

最后单列设法特殊的零参数、水平或竖直成员；若原几何不允许，写明排除依据，若允许，回原关系证结论。只有一般非零参数与合法特殊情况全齐，才完成证明。

例题 01 轴对称后连线经过的固定点

已知点$(\sqrt{6},1)$在离心率为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$的双曲线$C:\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1(a,b>0)$上．

(1)求$C$的方程；

(2)过点$P(1,0)$的直线与$C$相交于$B,D$两点，$B$关于$x$轴的对称点为$A$，求证：直线$AD$过$x$轴上的定点，并求出该定点坐标．

答案与解析

（1）求标准方程。 $e^2=4/3$ 给 $a^2+b^2=(4/3)a^2$，所以 $a^2=3b^2$。代 $(\sqrt6,1)$ 得 $6/a^2-1/b^2=1$，从而 $b^2=1,a^2=3$，方程为 $x^2/3-y^2=1$。

（2）覆盖全部合法动线。 竖直线 $x=1$ 给 $1/3-y^2=1$ 无实点，不能截两点，故所有合法 $BD$ 均可设 $y=k(x-1)$。消元得

$$(3k^2-1)x^2-6k^2x+3(k^2+1)=0,\qquad\Delta=12-24k^2.$$

两不同交点等价 $k^2<1/2,k^2\ne1/3$，包括 $k=0$。设横根和 $S=6k^2/(3k^2-1)$、积 $T=3(k^2+1)/(3k^2-1)$。$B=(x_1,y_1),D=(x_2,y_2)$，轴反射 $A=(x_1,-y_1)$；两根不同保证 $x_1\ne x_2$，连线 $AD$ 有效。

$k\ne0$ 时，$y_1+y_2=k(S-2)=2k/(3k^2-1)\ne0$，故 $AD$ 与横轴相交。保留原交点公式，从 $y-y_2=(y_2+y_1)(x-x_2)/(x_2-x_1)$ 令 $y=0$，得

$$x=\frac{x_1y_2+x_2y_1}{y_1+y_2} =\frac{2T-S}{S-2} =\frac{6/(3k^2-1)}{2/(3k^2-1)}=3.$$

$k=0$ 不可先约掉：此时 $BD$ 是横轴，端点不同，$A=B$，所以 $AD$ 也是横轴，仍过 $(3,0)$。因此每条合法 $AD$ 都过固定点 $(3,0)$。例如非零 $k=1/2$ 在合法域且 $AD$ 不为横轴，它与横轴只有该交点，故横轴上共同定点确唯一。

轴对称与连线定点的原解图

例题 02 两条顶点连线的交点轨迹

已知双曲线$C$的中心为坐标原点，左、右顶点分别为${A}_{1}\left( -4,0\right)$，${A}_{2}\left( 4,0\right)$，虚轴长为6．

原件配图

  

(1)求双曲线$C$的方程；

(2)过点$R\left( 6,0\right)$的直线$l$与$C$的右支交于$M$，$N$两点，若直线${A}_{1}M$与${A}_{2}N$交于点$P$．证明：点$P$在定直线上；

答案与解析

（1）求方程。 两顶点给 $a=4$，虚轴全长 $6$ 给 $b=3$，所以 $x^2/16-y^2/9=1$。

（2）先证同右支域与交点存在。 水平线 $y=0$ 只与右支交一个顶点，不合法；故设 $MN:x=my+6$ 覆盖全部合法线，包括竖直 $m=0$。代入得

$$(9m^2-16)y^2+108my+180=0,$$

判别式 $5184m^2+11520>0$。$m=\pm4/3$ 降次须排。设纵根和 $S=-108m/(9m^2-16)$、积 $T=180/(9m^2-16)$，两横坐标和与积分别为

$$x_1+x_2=\frac{192}{16-9m^2},\qquad x_1x_2=\frac{144m^2+576}{16-9m^2}.$$

故恰 $|m|<4/3$ 时同右支；大于时横积负为异支。原线在 $y=0$ 给 $x=6$，不是顶点，所以合法端点 $y_i\ne0,x_i>4$。

设 $k_1=y_1/(x_1+4),k_2=y_2/(x_2-4)$，均非零且有定义。由 $M$ 在曲线上，

$$\frac{x_1+4}{y_1}=\frac{16y_1}{9(x_1-4)}.$$

用此原方法转换：

$$\frac{k_2}{k_1} =\frac{16T}{9m^2T+18mS+36} =\frac{2880/(9m^2-16)}{-576/(9m^2-16)}=-5.$$

分母原为 $9(x_1-4)(x_2-4)>0$，所有除法合法。两斜率不同，确有唯一有限交点 $P$。联立 $y=k_1(x+4),y=-5k_1(x-4)$，因 $k_1\ne0$ 得 $x+4=-5(x-4)$，所以

$$x=\frac83.$$

原解还写 $(x+4)/(x-4)=-5$；其除数也合法，因为若 $x=4$，第二线给 $y=0$ 而第一线给 $y=8k_1\ne0$，矛盾。这里先不除未知 $x-4$ 也可直接得到结论。

全部合法 $m$ 含 $0$ 已覆盖。$m=0$ 实际端点为 $(6,\pm3\sqrt5/2)$，斜率比仍 $-5$，交点真实存在。因此 $P$ 始终落在定直线 $x=8/3$ 上，不额外声称遍历该整线。

2. 斜率设法特殊，不等于原图形无效

例1的 $k=0$ 对应合法横轴，必须回原几何；$x=my+n$ 的 $m=0$ 是竖直弦，其相关顶点连线斜率仍可能有效。另一完整两问在同右支交点与斜率比，先求同支域，再证所有合法参数的定值，不能删掉第一问条件。

三、坑点 辨析与纠错

1. 有几个特例不等于“恒”

特例只作候选或检查。正式证明须逐项代换依据、一般合法参数与所有特殊分支，不以图像像是固定或数值抽样替代。

2. 公式失效时回原几何

交点坐标式分母为零，可能是真平行/重合，也可能仅参数设法特殊；先检原对象。不能为约分剔除合法0值，也不能只证“若交点存在则落在线上”而不证题目需要的存在。

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